文 杰，韓金良，姚磊華，李論基

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）工程技術(shù)學(xué)院，北京 100083；2.中國地質(zhì)科學(xué)院 地質(zhì)力學(xué)研究所，北京 100081）

1 引 言

我國黃土覆蓋面積廣、厚度大，黃土塬、梁邊多發(fā)生降雨誘發(fā)的淺層滑坡。眾多研究表明，非飽和滲透系數(shù)函數(shù)是分析降雨入滲乃至滑坡發(fā)生機(jī)制時至關(guān)重要的材料參數(shù)[1－3]。由于基質(zhì)吸力的存在，非飽和滲透系數(shù)不同于飽和土，是隨基質(zhì)吸力或者體積含水率變化的函數(shù)，但具體為何種函數(shù)關(guān)系，尚難有定論[4－6]。

目前，常用的非飽和滲透系數(shù)的測定方法分為直接法和間接法[5]。間接法是以基質(zhì)吸力-體積含水率關(guān)系曲線為基礎(chǔ)，運(yùn)用統(tǒng)計模型來確定非飽和滲透系數(shù)的一種方法[7－9]。Lu 等[5]指出，統(tǒng)計模型適用于砂土等孔徑分布范圍較窄的粗顆粒土，細(xì)顆粒土，如黃土則不適合采用統(tǒng)計模型來進(jìn)行預(yù)測。

直接法主要為瞬態(tài)剖面法（室內(nèi)、野外），瞬態(tài)剖面法測定非飽和滲透系數(shù)由Richard和Weeks 于1953年提出，如今已成為測定非飽和滲透系數(shù)最常用的試驗方法。目前，對瞬態(tài)剖面法的研究主要集中于對室內(nèi)瞬態(tài)剖面法試驗裝置的改進(jìn)以及對數(shù)據(jù)的處理方法上[4－5]，關(guān)于原位瞬態(tài)剖面法測定非飽和滲透系數(shù)的研究較少，相比室內(nèi)瞬態(tài)剖面法而言，原位瞬態(tài)剖面法更接近自然條件，計算結(jié)果更具實際應(yīng)用價值。除此之外，Libardi[10]、邵明安[11－12]、張建豐[13]等提出了在田間測定條件下非飽和滲透系數(shù)的各種解法，上述田間測定方法在黃土邊坡中的適用性尚需進(jìn)一步的驗證。

本文擬從自然條件下黃土降雨入滲監(jiān)測數(shù)據(jù)出發(fā)，選取適用于瞬態(tài)剖面法、θ 法的數(shù)據(jù)計算得到黃土的非飽和滲透系數(shù)，分析黃土的非飽和滲透系數(shù)與體積含水率之間的關(guān)系，對比分析瞬態(tài)剖面法及θ 法計算結(jié)果，論證θ 法在非飽和黃土邊坡計算中的適用性。同時，嘗試根據(jù)實際情況對瞬態(tài)剖面法的數(shù)據(jù)處理以及θ 法的基本假定作出修正，以求得到更符合實際的結(jié)果。

2 降雨入滲監(jiān)測

降雨入滲監(jiān)測點(diǎn)位于寶雞市渭濱區(qū)峪泉鎮(zhèn)中巖山村7 組。2011年8月雨季曾經(jīng)發(fā)生滑坡，現(xiàn)今一遇雨季，老滑坡體前緣仍會出現(xiàn)次級滑坡，為典型的降雨入滲誘發(fā)的淺層黃土滑坡。

據(jù)鉆孔資料及露頭分析，滑坡底界為三門系紅黏土，滑體為覆蓋于三門系紅黏土之上的黃土，為揭示出降雨條件下誘發(fā)該滑坡的機(jī)制，在距離滑坡不遠(yuǎn)處埋置降雨入滲數(shù)據(jù)采集設(shè)備。

降雨入滲數(shù)據(jù)采集主要為含水率與負(fù)壓監(jiān)測，監(jiān)測設(shè)備采用美國Decagon 公司研制的EC-5 土壤水分傳感器、MPS-2 土壤水勢傳感器（見圖1），本次監(jiān)測共埋設(shè)了5 個EC-5 土壤水分傳感器通道、5 個MPS-2 土壤水勢傳感器通道，每個土壤水分傳感器通道和水勢傳感器通道埋置深度一致，水平距離為0.01 m。每個通道的埋置深度如表1 所示。

表1 傳感器編號及埋置深度Table 1 Sensor number and embedment depth

2014年7月16日12︰00 開始使用監(jiān)測儀器采集數(shù)據(jù)，7月20日以后采集間隔設(shè)置為30 min。

在監(jiān)測時段內(nèi)，根據(jù)寶雞市氣象局提供的2014年9月6～18日的降雨量數(shù)據(jù)，結(jié)合體積含水率與負(fù)壓監(jiān)測數(shù)據(jù)繪制成圖2、3。

圖2 9月6～18日體積含水率隨降雨量變化曲線Fig.2 Change curves of volumetric water content changes with rainfall from September 6-18

圖3 9月6～18日負(fù)壓隨降雨量變化曲線Fig.3 Change curves of negative pressure changes with rainfall from September 6-18

由圖2、3 分析可知，體積含水率總的變化趨勢是降雨時體積含水率增大，降雨停止后體積含水率減小，基質(zhì)吸力的變化趨勢為降雨入滲后基質(zhì)吸力迅速降低；通道5 所在位置靠近地表，具有一定的波動性，變化范圍大；通道1 位于土層較深處，體積含水率、基質(zhì)吸力變化范圍小，并且在降雨入滲發(fā)生較長一段時間后，體積含水率、基質(zhì)吸力發(fā)生改變，反映了水分運(yùn)移到土體深處需要一段時間，具有一定的滯后效應(yīng)。

原位瞬態(tài)剖面法、θ 法等試驗要求一個較長的雨水入滲過程后土體一定深度內(nèi)含水率接近飽和并且處處相等，然后在不發(fā)生蒸發(fā)作用或者蒸發(fā)作用微弱并可忽略不計的情況下進(jìn)行水分重分布過程[4－5]。

對2014年7月16日開始的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并結(jié)合中巖山村所在地區(qū)的實際氣象情況，自9月28日開始的監(jiān)測數(shù)據(jù)滿足瞬態(tài)剖面法等的要求，相應(yīng)的監(jiān)測數(shù)據(jù)變化見圖4、5。其中9月28日或更早的時間至10月2日為降雨入滲過程，土體內(nèi)體積含水率接近飽和且處處相等，10月2日至11月21日為土體水分的重分布過程，該過程中無降雨過程發(fā)生，期間中巖山地區(qū)持續(xù)陰天，溫度較低，場地表面無植被覆蓋，可忽略蒸發(fā)作用效應(yīng)，滿足相關(guān)原位試驗原理性要求。

圖4 9月28日至11月21日含水率變化情況Fig.4 Variation of volumetric water content from September 28 to November 21

圖5 9月28日至11月21日負(fù)壓變化Fig.5 Variation of negative pressure from September 28 to November 21

3 瞬態(tài)剖面法

3.1 原理

瞬態(tài)剖面法是一種適用于室內(nèi)或現(xiàn)場確定非飽和滲透系數(shù)的瞬態(tài)測量技術(shù)。該方法是指在瞬態(tài)流過程中量測一定深度內(nèi)的負(fù)壓和體積含水率剖面，負(fù)壓水頭加上重力水頭即總水頭，水頭剖面用于計算不同深度處的特定時間的水力梯度[4－5]。某一點(diǎn)的流速是從體積含水率剖面上的變化計算出來。原位瞬態(tài)剖面法要求先將試驗區(qū)土體用水浸濕，直到土體在水流作用下達(dá)到飽和狀態(tài)，這時通過地面的水流停止。將試驗區(qū)表面進(jìn)行一定的處理以防止蒸發(fā)和入滲，以后水在土體內(nèi)進(jìn)行的過程即為水分重分布過程（即非穩(wěn)態(tài)過程），然后開始量測重分布過程中含水率和吸力的變化數(shù)據(jù)用于計算。

由前述第2 節(jié)的說明及給出的圖4 看出，2014年10月2日之前體積含水率持續(xù)上升接近飽和，10月2日之后開始下降，因此，以10月2日為瞬態(tài)剖面法計算當(dāng)中的非穩(wěn)態(tài)過程的開始，即取10月2日至11月21日體積含水率、負(fù)壓數(shù)據(jù)作為瞬態(tài)剖面法計算用數(shù)據(jù)。

3.2 計算過程

排水過程中土層任意位置的總水頭 hw等于該位置的位置水頭z與測得的負(fù)壓水頭 hm之和（計算水頭時，取地表面為基準(zhǔn)面，向下為負(fù)），即

在特定的時間和特定的深度內(nèi)，水力梯度可以從該深度水頭剖面的坡度計算出來：

式中：iw為特定深度和特定時間內(nèi)的水力梯度；為所考慮深度處水頭剖面的坡度。

考慮向后差分格式的優(yōu)越性，使用向后差分格式對式（2）進(jìn)行求解，在某一計算時間段內(nèi)，某深度的平均水力坡度計算如下：

式中：hi,t1、hi,t2分別為 t1和t2時刻位置 zi處的水頭；hi+1,t1、hi+1,t2分別為 t1和t2時刻位置zi+1處的水頭。

水的流速由不同深度和時間的體積含水率剖面得出，通過地面的水流通量為0，特定時間在地面(z=0)和地面下某一深度z 之間水的總體積可以按體積含水率剖面積分的方法計算：

式中：Vw為地面及深度z 之間的土中水體積；θw(z)為體積含水率，為深度z 的函數(shù)；A為試驗區(qū)的平面面積。

使用式（4）計算一定深度范圍內(nèi)總含水率的變化時需假定體積含水率的分布函數(shù)，最常用的方法為分段線性擬合，該方法對數(shù)據(jù)的處理較為粗糙，張玉蓮[14]、王紅[15]等選用3 次樣條方程擬合體積含水率分布函數(shù)，樣條曲線有其自身的優(yōu)越性，但其物理意義不太明顯。本次試驗所在土層為均勻的黃土層，其體積含水率隨深度的分布應(yīng)為連續(xù)變化，本次計算擬用連續(xù)性函數(shù)來擬合體積含水率分布函數(shù)?？紤]以2014年10月2日為非穩(wěn)態(tài)過程的開始，即t=0 d，繪制6、10、15、23、30、40、50 d 的體積含水率，對深度z 曲線，如圖6 所示。擬合結(jié)果見表2。

圖6 不同時刻含水率隨深度的變化Fig.6 Variation of volumetric water content with depth at different times

表2 不同時刻含水率-深度的擬合公式Table 2 Fitting equations between volumetric water content and depth at different times

因此，選用對數(shù)函數(shù)來擬合體積含水率的分布情況（考慮對數(shù)函數(shù)參數(shù)必須大于0 的情況，深度為從0.000 1 m 開始；擬合常數(shù)為a、b），即

提取表2 中相關(guān)數(shù)據(jù)作擬合常數(shù)a、b 隨時間變化曲線，如圖7 所示，擬合公式見表3。

圖7 擬合參數(shù)a、b 隨時間變化Fig.7 Variation of a,b and time

表3 a、b 對時間擬合關(guān)系Table 3 Fitting relationship between a,b and time

根據(jù)不同時刻含水率對深度的擬合公式（5）及擬合常數(shù)a、b 對時間的擬合關(guān)系，可得非穩(wěn)態(tài)重分布過程體積含水率與深度和時間的關(guān)系式為

因此，起始位置以下一定深度內(nèi)總含水率Vw計算公式為

考慮曾經(jīng)因為降雨入滲試驗的需要，對以儀器埋置處為中心的4 m×4 m 范圍內(nèi)進(jìn)行簡單處理。

地面以下一定深度z 內(nèi)，從兩個相鄰時間間隔dt 計算出來的水體積差dVw為該時間間隔內(nèi)流過該深度點(diǎn)的水量，該點(diǎn)的流速 vw按下式計算：

該流速相應(yīng)于兩個相鄰時間所得水力梯度的平均值。將流速 vw除以平均水力梯度 iave可算出滲透系數(shù) kw為

對不同深度點(diǎn)和不同時間重復(fù)進(jìn)行非飽和滲透系數(shù)的計算，因此，在一個試驗中可計算出對應(yīng)于不同含水率的滲透系數(shù)值。

由于通道5 所在位置接近地表，負(fù)壓數(shù)據(jù)測量誤差較大，因此，選取通道1～4 的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。

選取4 個通道t 分別為6、10、23、40 d 數(shù)據(jù)用式（8）進(jìn)行計算，計算結(jié)果列出于表4 中。

表4 瞬態(tài)剖面法計算結(jié)果Table 4 Calculated results of transient profile method

分析表4 中數(shù)據(jù)可知，存在兩個滲透系數(shù)異常點(diǎn)，即平均體積含水率為39.2 %和38.7 %時，即1.32～2.22 m 深度范圍內(nèi)對應(yīng)的平均含水率，其異常原因在于最深處不能使用向后差分法計算水力坡度，只能取與上一個深度范圍相同的水力坡度，從而導(dǎo)致計算誤差出現(xiàn)異常。

剔除異常點(diǎn)后，將計算所得滲透系數(shù)與平均含水率數(shù)據(jù)繪制成圖8，擬合數(shù)據(jù)后得黃土的非飽和滲透系數(shù)與體積含水率變化曲線及關(guān)系式（10），相關(guān)系數(shù)為0.944 8。結(jié)果表明，黃土的非飽和滲透系數(shù)與體積含水率成指數(shù)型關(guān)系，當(dāng)含水率較大并發(fā)生一定變化時滲透系數(shù)變化較大；含水率較小時，含水率發(fā)生同樣的變化導(dǎo)致的滲透系數(shù)變化較小。

圖8 瞬態(tài)剖面法計算結(jié)果及擬合結(jié)果Fig.8 Calculated results of transient profile method and fitting result

4 θ 法

1980年Libardi 等[10]提出了一種在田間測定非飽和滲透系數(shù)的方法，即θ 法，該法假設(shè)蒸發(fā)及入滲作用微弱，地下水的重分布只受到重力場的作用。他們將此法分別用于巴西的淋浴土、巴西的氧化土、美國加州的Panohe 黏壤土。任理[16]在河北省南宮試驗場進(jìn)行試驗，用θ 法處理數(shù)據(jù)得到非飽和滲透系數(shù)，并用數(shù)值模擬驗證了所得參數(shù)的可靠性。但該法在黃土中適用性尚未得到證明。

4.1 基本假定

（1）通過積水入滲，在地面下一定深度范圍內(nèi)（0

（2）t＞0時，土體表面（z=0處）的水通量為0；

（3）準(zhǔn)飽和層內(nèi)只有重力作用，各處吸力S 相等，即?S/?z=0，故 ?φ/?z=?1；

（4）土體內(nèi)部在0～z 深度內(nèi)平均含水率θ*與某一給定深度z 的體積含水率θ 之間存在線性關(guān)系，θ?=mθ+n，m、n 均為擬合常數(shù)；

（5）非飽和滲透系數(shù)與體積含水率之間遵從如下關(guān)系式：

式中：β為擬合常數(shù)；θ0為水入滲一段時間（地下水重分布開始時）的準(zhǔn)飽和層內(nèi)體積含水率；k0為相應(yīng)的滲透系數(shù)（飽和滲透系數(shù)）。

4.2 公式推導(dǎo)

描述地下水一維垂向運(yùn)動的基本方程為Richards 方程：

對式（12）進(jìn)行積分，得

式中：φ為總水勢，包括吸力水頭S和位置水頭z兩項。

由基本假定（2）可知，式（13）的最后一項為0，因此式（13）可改寫為

式（14）左邊項表示土壤深度z 以內(nèi)貯存的水量隨時間的變化率，可簡化為

又根據(jù)基本假定（3）～（5），可將式（15）進(jìn)一步簡化為

在某一給定深度z 對式（16）從初始條件（t=0，θ=θ0）積分至任意時刻（t=t，θ=θ）可得

當(dāng)t 較大時，式（17）可簡化為

4.3 試驗數(shù)據(jù)

由于自然降雨具有大面積分布的特點(diǎn)，故可視降雨入滲過程中地下水流具有垂向一維性。通過圖4 曲線的變化趨勢看出，整個過程可以分為兩部分：9月29日或更早時間至10月2日為降雨入滲過程，此過程完成后整個土壤剖面內(nèi)體積含水率基本相同且達(dá)到最大值，整個土壤剖面可視為基本假定（1）所定義的準(zhǔn)飽和層；10月2日至11月21日中4 個通道體積含水率持續(xù)減小至穩(wěn)定，表明期間無降雨滲入，該過程可視為在重力作用下的土壤水分重分布過程。因此，將10月2日作為土壤水分重分布過程的開始，對應(yīng)于任理[16]所做野外試驗的重分布試驗的開始時刻，相應(yīng)的體積含水率視為0θ，計算選用的數(shù)據(jù)同樣為10月2日至11月21日數(shù)據(jù)。

4.4 計算步驟和結(jié)果

（1）由于通道5 臨近地面，測量結(jié)果具有一定的波動性，同時深度越大，水分重分布過程所需時間過長，因此選用10月2日以后通道2～4 的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。

（2）對通道2、3、4 的測量數(shù)據(jù)均進(jìn)行平均含水率 θ*與θ 的線性回歸（3 個計算深度至地面范圍內(nèi)，通過將該通道以上所有通道數(shù)據(jù)求算術(shù)平均值可得），得到的計算結(jié)果見圖9和表5。

（3）對每一計算點(diǎn)進(jìn)行θ0?θ與lnt 的線性回歸（t 的單位為h）。由于假設(shè)t 較大，式（18）計算中選用時間靠后的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其效果更佳，計算結(jié)果見圖10和表6。

圖9 θ*與θ 線性回歸趨勢Fig.9 Linear regression trend of θ* and θ

表5 θ*與θ 線性回歸方程Table 5 Linear regression equations of θ* and θ

圖10 θ0?θ與lnt 線性回歸趨勢Fig.10 Linear regression trend ofθ0?θ and lnt

表6 θ0?θ與lnt 線性回歸方程Table 6 Linear regression equations ofθ0?θ and lnt

（4）根據(jù)式（18）、基本假定（4）及表5、6中各線性回歸方程中的參數(shù)，由基本假定（5）即可求得3 個深度處黃土的非飽和滲透系數(shù)的函數(shù)表達(dá)式，將各公式中的系數(shù)取算術(shù)平均，并化成單位m/d，即可得到本方法所求結(jié)果，具體見表7。

4.5 對θ 法的修正

θ 法的基本假定（4）直接給出地表以下一定深度z 至地表范圍內(nèi)的平均含水率與該深度z 處的含水率呈線性關(guān)系，θ?=mθ+n，m、n為擬合常數(shù)，并且隨深度變化而變化，同時該假定中平均含水率直接通過若干個離散點(diǎn)數(shù)據(jù)取算術(shù)平均值求得，計算過程略顯粗糙。因此，考慮3.2 節(jié)中給出的體積含水率隨深度的分布函數(shù)對該基本假定進(jìn)行重新設(shè)定。

根據(jù)3.2 節(jié)可得體積含水率隨深度的分布函數(shù)如式（5），而平均含水率為含水率分布函數(shù)對深度進(jìn)行積分并除以深度（同樣考慮對數(shù)參數(shù)必須大于0，將積分起點(diǎn)設(shè)置為0.000 1），計算可得平均含水率分布函數(shù)如式（19）：

因此，對于任何深度處，平均含水率與該深度處含水率應(yīng)滿足以下條件：

將該式（20）代入式（16）重新進(jìn)行積分得最終結(jié)果為

式（20）表明平均含水率與某一深度處含水率呈線性關(guān)系，且其斜率恒定為1，因此，在計算滲透系數(shù)過程中無須進(jìn)行平均含水率計算以及某一深度處含水率的擬合分析。式（21）表明，θ0?θ與lnt仍呈線性關(guān)系，且斜率不變，但截距發(fā)生改變。應(yīng)用式（21）重新計算得到修正的θ 法所求滲透系數(shù)的結(jié)果，見表8。

表8 修正θ 法計算結(jié)果Table 8 Calculated results of modified θ method

修正的θ法與θ法的計算結(jié)果差異體現(xiàn)在中間結(jié)果 k0（飽和滲透系數(shù)）上，將兩種方法在不同通道處計算出的 k0值列于表9 中。

表9 修正θ 法與θ 法計算的 k0值Table 9 Calculated k0 of modified θ and θ methods

計算結(jié)果對比顯示，修正θ 法的計算中間值 k0具有較小的離散性，從一定程度上說明修正θ 法的可靠性。

6 結(jié)果對比

將瞬態(tài)剖面法結(jié)果數(shù)據(jù)及相應(yīng)體積含水率下θ法、修正的θ 法得到結(jié)果繪制于圖11 中。

圖11 3 種計算方法結(jié)果對比Fig.11 Comparison of three methods

由瞬態(tài)剖面法計算結(jié)果（圖8）分析可知，黃土的非飽和滲透系數(shù)與體積含水率呈指數(shù)關(guān)系，證明θ 法的假定（1）的合理性。從圖11 中可看出，瞬態(tài)剖面法與θ 法、修正的θ 法計算結(jié)果在數(shù)量級上具有一致性。同一體積含水率下，瞬態(tài)剖面法計算結(jié)果普遍大于θ 法，這是由于θ 法中對式（17）進(jìn)行簡化時需依賴于t 較大的情況，因此，依據(jù)式（18）進(jìn)行擬合時，需選用t 較大時的數(shù)據(jù)，但實際當(dāng)t 較大時水分重分布作用接近完成，滲流緩慢，因此，相比于瞬態(tài)剖面法，θ 法計算的結(jié)果偏小。由于對θ 法中平均含水率的求取進(jìn)行了接近實際情況的修正，使得平均含水率與體積含水率擬合關(guān)系中的斜率減小，從而導(dǎo)致所求的黃土的非飽和滲透系數(shù)較θ 法小，而計算的中間結(jié)果飽和滲透系數(shù) k0值具有更小的離散性。

由于θ 法作了t 較大的假定，求出的黃土的非飽和滲透系數(shù)較瞬態(tài)剖面法偏小，但結(jié)果與瞬態(tài)剖面法相比具有數(shù)量級上的一致性，同時θ 法計算過程中不需要負(fù)壓數(shù)據(jù)，減少了野外測試的工作量，并且計算過程極為簡單，可用于黃土的非飽和滲透系數(shù)的測定。在使用過程中需根據(jù)實際體積含水率的分布情況對基本假定（4）作出相應(yīng)的修正，以求得到更為合理的結(jié)果。

7 結(jié) 論

（1）使用瞬態(tài)剖面法處理黃土降雨入滲監(jiān)測數(shù)據(jù)，得出黃土的非飽和滲透系數(shù)與體積含水率之間的關(guān)系呈指數(shù)關(guān)系。

（2）θ 法求取非飽和滲透系數(shù)無需測定基質(zhì)吸力，試驗方法、求解過程簡單，對比瞬態(tài)剖面法計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)θ 法亦適用于黃土的非飽和滲透系數(shù)的求解，值得推廣。

（3）通過分析實際情況，嘗試用對數(shù)函數(shù)來擬合不同時間體積含水率與深度的分布關(guān)系，并將此關(guān)系應(yīng)用到瞬態(tài)剖面法計算過程以及對θ 法的改進(jìn)中，提高了計算結(jié)果可靠度。

（4）由于θ 法及相應(yīng)修正方法作了較多假定，瞬態(tài)剖面法計算結(jié)果大于θ 法以及修正的θ 法；基于含水率實際分布的修正θ 法計算結(jié)果與θ 法計算結(jié)果相差不大，表明含水率的分布對θ 法測定結(jié)果影響很小，但修正θ 法的計算中間結(jié)果飽和滲透系數(shù) k0值具有更小的離散性。

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