趙　乾，唐國金

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙　410073)

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單框架控制力矩陀螺部分失效時的空間站姿態(tài)機動方法*

趙乾，唐國金

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙410073)

摘要：對金字塔構型單框架控制力矩陀螺(SGCMG)的失效特性進行分析。結合SGCMG部分失效的特點，構建運用Legendre偽譜法的重規(guī)劃姿態(tài)機動路徑求解方法?？紤]SGCMG失效情況的不可預測性，設計自適應操縱律，該操縱律可以根據(jù)指令力矩與輸出力矩的偏差對SGCMG的失效情況進行診斷，從而調節(jié)操縱律的內部參數(shù)，實現(xiàn)失效情況操縱律的自適應調節(jié)。仿真結果表明，采用姿態(tài)機動路徑重規(guī)劃算法與自適應操縱律，在控制力矩陀螺部分失效的情況下，仍可以實現(xiàn)空間站的大角度姿態(tài)機動。姿態(tài)機動方法可以有效應對空間站大角度姿態(tài)機動過程中可能出現(xiàn)的SGCMG部分失效情況，從而提高空間站姿態(tài)機動任務的安全性與可靠性。

關鍵詞：姿態(tài)機動；控制力矩陀螺；路徑規(guī)劃；操縱律

在空間站建造與運營的過程中，往往需要通過姿態(tài)機動來輔助完成交會對接、艙段轉移等特定的任務[1]?？臻g站的姿態(tài)機動通常采用姿控發(fā)動機作為執(zhí)行機構，采用這種方式需要耗費大量的燃料?？刂屏赝勇?Control Moment Gyroscopes, CMG)是一種角動量交換執(zhí)行機構，僅需電能就能夠進行工作，不需要消耗燃料[2]。然而，在姿態(tài)機動過程中，CMG持續(xù)地與空間站進行角動量交換，很容易出現(xiàn)飽和或奇異現(xiàn)象，從而失去控制能力。為了有效減少姿態(tài)機動任務中的燃料消耗，美國麻省理工學院的Bedrossian于1996年提出了零燃料大角度姿態(tài)機動(Zero Propellant Maneuver, ZPM)的概念[3]。2007年3月，NASA成功實施了國際空間站180°ZPM在軌飛行試驗，節(jié)省了約50kg、價值約110萬美元燃料[4-5]。ZPM的基本思想是通過構造最優(yōu)控制框架，充分利用環(huán)境力矩與姿態(tài)動力學特性，規(guī)劃合適的姿態(tài)路徑與角動量軌跡，在姿態(tài)機動的過程避免CMG的飽和與奇異，從而實現(xiàn)零燃料消耗[6]。ZPM技術一方面可以避免姿態(tài)機動過程的大量燃料消耗，另一方面可以避免燃氣對太陽帆板、外露設備和試驗載荷的污染和影響。

作為一種姿態(tài)控制冗余執(zhí)行機構，CMG很有可能因故障而出現(xiàn)部分失效，這會對姿態(tài)控制問題帶來很大影響。國際空間站在運行過程中就曾出現(xiàn)陀螺部分失效的情況[1]。國內外已有學者對部分失效CMG的姿態(tài)控制問題開展了理論研究。Sands與Kim等以非冗余的三個單框架控制力矩陀螺(Single Gimbal Control Moment Gyroscopes, SGCMG)為研究對象，設計了無奇異角動量空間最優(yōu)安裝矩陣，并基于該設計實現(xiàn)了采用三個SGCMG的姿態(tài)機動[7]。Kasai與Kojima等通過構造操縱序列，實現(xiàn)了僅采用兩個SGCMG的大角度姿態(tài)機動[8]。Yamada等與Kwon等分別采用Lyapunov方法與線性變參數(shù)(Linear Parameter Varying, LPV)方法實現(xiàn)了僅采用兩個SGCMG的姿態(tài)速率阻尼與姿態(tài)定向[9-10]。目前雖然已有在操縱律構造與控制器設計等方面開展的研究，但都是基于在姿態(tài)機動控制任務之前SGCMG就已經(jīng)部分失效的假設，并未針對在姿態(tài)機動過程中SGCMG的失效情況開展研究。而機動過程中可能出現(xiàn)的SGCMG部分失效的更大不確定性，將對姿態(tài)機動任務的完成帶來更大的難度。

1SGCMG失效特性分析

為了實現(xiàn)三軸姿態(tài)控制，通常需應用由多個SGCMG組成的冗余系統(tǒng)。金字塔構型SGCMG是典型的冗余SGCMG系統(tǒng)，以金字塔構型的SGCMG作為研究對象。如圖1所示，金字塔構型的SGCMG由四個SGCMG組成，框架軸矢量分別位于金字塔的四個側面，角動量面與塔底面夾角均為β，β=54.73°。

圖1　金字塔構型SGCMGFig.1　Pyramid configuration SGCMG

SGCMG的飽和與奇異問題是限制其應用的重要因素。飽和是指所需的角動量超出SGCMG的外包絡的現(xiàn)象，而奇異是指在SGCMG角動量包絡的內部由于構形限制使SGCMG無法輸出所需力矩的現(xiàn)象。當SGCMG出現(xiàn)部分失效時，其飽和與奇異特性也將發(fā)生很大的變化。

無論是飽和還是奇異狀態(tài)，都可以通過解析推導并繪制奇異角動量超曲面的方法進行分析[11-12]。在奇異狀態(tài)下，即任何一個SGCMG都不能提供指定方向的控制力矩，如式(1)所示。

u·ci(δi)=0(i=1,2,…,n)

(1)

其中，u是指令力矩方向單位向量，ci(δi)為每個SGCMG可提供的力矩方向單位向量。定義δS為SGCMG的奇異框架角狀態(tài)。奇異角動量HS是控制力矩陀螺處于奇異框架角狀態(tài)時的角動量[9]，可通過式(2)求得。

(2)

其中，gi為第i個SGCMG的框架軸方向單位向量。

第i個SGMG的奇異力矩方向單位向量為：

(3)

由于每個奇異狀態(tài)δS都可能存在HS和-HS與之對應，兩種情況可用式(4)的符號函數(shù)區(qū)別。

εi=sign(u·hi)

(4)

對于一個冗余的SGCMGs系統(tǒng)，每一個框架角狀態(tài)δS都對應一個角動量HS，但并不是每一個奇異角動量HS都對應一個框架角狀態(tài)，這是因為框架角是一個n維空間的量，而角動量是一個三維的量，對于一個奇異角動量狀態(tài)δS，可能存在n-3維空間的奇異角動量HS對應這個δS。

奇異狀態(tài)可劃分為顯奇異與隱奇異兩類[9]。隱奇異可以通過SGCMG的零運動來脫離奇異狀態(tài)，而SGCMG一旦陷入顯奇異便很難脫離。奇異點的顯隱性可通過判定矩陣Q的正定性得到。

Q=NTPN

(5)

金字塔構型的SGCMG由四個陀螺組成，即n=4。當一個陀螺發(fā)生失效時，僅有三個陀螺進行工作，所有的隱奇異點都將退化為顯奇異點， 即角動量包絡內部將僅存在顯奇異點。那么，零運動操縱律將無法有效解決顯奇異問題[9]，可采用引入力矩誤差的魯棒操縱律。關于操縱律的設計，將會在第3節(jié)中給出。

圖2中的不規(guī)則網(wǎng)格半球為正常工作情況下的金字塔構型SGCMG角動量包絡半球，內部由散點構成的曲面為單陀螺失效情況下奇異角動量曲面。由圖2可知，當SGCMG的單個陀螺失效時，其角動量包絡發(fā)生了很大的變化，角動量空間約縮小為原來的70%。因此，如果在大角度姿態(tài)機動的過程中，SGCMG發(fā)生了部分失效情況，需要對姿態(tài)機動路徑與角動量路徑進行重規(guī)劃。對于角動量空間內部的內奇異面，需采用合適的操縱律進行規(guī)避。

2姿態(tài)機動路徑重規(guī)劃

在姿態(tài)機動過程中，如果SGCMG始終能夠正常工作，那么跟蹤參考姿態(tài)機動路徑完成機動，其參考姿態(tài)路徑在機動實施之前就已經(jīng)確定。如果在姿態(tài)機動過程中CMGs部分失效，那么需要對姿態(tài)機動路徑進行重規(guī)劃。姿態(tài)機動路徑重規(guī)劃的算法采用偽譜法，偽譜法是一種求解最優(yōu)控制問題的間接法，近年來它被廣泛應用于軌道優(yōu)化、編隊飛行及再入軌跡優(yōu)化等方面的各類最優(yōu)控制問題[13]。

Legendre偽譜法將狀態(tài)變量與控制變量在勒讓德-高斯-洛巴托(Legendre-Gauss-Lobatto，LGL)節(jié)點處同時離散，并采用Legendre多項式擬合狀態(tài)變量與控制變量。n階Legendre多項式可表示為：

(6)

(7)

狀態(tài)變量與控制變量可由LGL節(jié)點處的離散量擬合得到，即

(8)

(9)

(10)

狀態(tài)變量的微分可由LGL節(jié)點處的離散量計算。

(11)

其中，Dki為(N+1)×(N+1)矩陣的元素，由Legendre多項式計算。

(12)

控制模型的微分方程可以轉化為代數(shù)方程。姿態(tài)控制模型為：

(13)

其中，σ為姿態(tài)修正的羅德里格斯參數(shù)，G(σ)表示為[(1-σTσ)I3/2+σσT+[σ×]]/2，ω是空間站的角速度，ω0(σ)是軌道角速度，J為空間站的轉動慣量，ucmg為SGCMG控制力矩，τenv為環(huán)境力矩，h為控制力矩陀螺的角動量。

根據(jù)式(6)～(12)，可將式(13)中的微分方程轉化為代數(shù)方程，如式(14)所示。

(14)

其中，σk,ωk與hk分別為LGL節(jié)點處的姿態(tài)、角速度與角動量。

同時，需要考慮邊界和過程約束：

(15)

其中：hm為部分失效陀螺的角動量包絡最小角動量半徑，在姿態(tài)機動的過程中，角動量幅值要始終小于該值；σs與σf分別為初始、終端狀態(tài)的姿態(tài)，ωs與ωf分別為初始、終端狀態(tài)的姿態(tài)的角速度。

采用序列二次規(guī)劃(Sequential Quadratic Programming， SQP)算法對由式(14)與式(15)所構成的非線性規(guī)劃問題進行求解，采用SNOPT工具包進行求解，該工具包可以有效求解帶有稀疏矩陣的非線性規(guī)劃問題[14]。

3自適應操縱律設計

圖3　單框架控制力矩陀螺工作流程Fig.3　Performing process of SGCMG

因此，需要設計合適的操縱律，實現(xiàn)在控制力矩陀螺部分失效情況下的自適應操縱。

定義失效向量為：

Eill=[γ1,γ2,γ3,γ4]T

(16)

當γi=1時，表示第i個陀螺正常工作；當γi=0時，表示第i個陀螺出現(xiàn)故障。該失效向量Eill不可以檢測。控制力矩陀螺所輸出的力矩為：

(17)

其中，C(δ)=Acosδ-Bsinδ，Mill=diag(Eill)。

由于C(δ)是通過δ計算得到的，當陀螺停轉時，該陀螺的框架角和框架角速度仍然具有物理意義，仍然可以被檢測。但是，該陀螺此時并不輸出力矩。

構建一個用于檢測控制力矩陀螺失效情況的函數(shù)。

(18)

定義失效矩陣為：

(19)

該矩陣將作為檢測信息反饋給操縱律。

非對稱魯棒逆操縱律可以有效規(guī)避SGCMG角動量空間內的隱奇異與內部顯奇異空間[16-17]。對非對稱魯棒逆操縱律進行了改進，在非對稱魯棒逆操縱律中引入反饋矩陣，從而實現(xiàn)對SGCMG工作狀態(tài)的自檢測以及自適應操縱。定義自適應非對稱魯棒逆操縱律為：

(20)

式中：k為奇異系數(shù)，

(21)

W為非對稱矩陣，

(22)

矩陣A為近似單位矩陣，

(23)

其中，

εi=ε0sin(ωt+φi)。

(24)

為了驗證該操縱律的有效性，給出一個算例。給定輸入指令力矩Tcom=[-0.8Nm0.5Nm1Nm]，設定在第80s第4個CMG失效。圖4、圖5給出了不同操縱律的對比情況。圖4(a)、圖4(b)與圖4(c)為采用傳統(tǒng)魯棒操縱律情況下輸出力矩、框架角與框架角速度變化曲線，圖5(a)、圖5(b)與圖5(c)為采用自適應非對稱魯棒逆操縱律的變化曲線。由對比可知，傳統(tǒng)魯棒操縱律并不能及時響應控制力矩陀螺的失效狀態(tài)，因此當一個陀螺失效時，控制力矩陀螺所提供的輸出力矩與指令力矩存在很大偏差。當采用自適應非對稱魯棒逆操縱律時，失效情況可以及時被檢測，并將該信息反饋給操縱律，從而調整操縱律的內部參數(shù)，實現(xiàn)操縱律自適應調整。由圖5(a)可知，在該操縱律的作用下，輸出力矩僅僅在CMG部分失效的瞬時出現(xiàn)較大的力矩偏差，此后輸出力矩可以與指令力矩達到良好的吻合程度。

(a) 控制力矩變化曲線(a) Control torque versus time

(b) 框架角變化曲線(b) Gimbal angle versus time

(c) 框架角速度變化曲線(c) Gimbal rate versus time圖4　傳統(tǒng)操縱律算例Fig.4　Traditional steering law

4仿真驗證

設定空間站軌道高度約為380km，那么軌道角速度ω0≈0.0011rad/s。姿態(tài)機動時間為5000s，設定SGCMG部分失效時刻為3000s?？臻g站的角動量為diag(3×106kg·m25×106kg·m28×106kg·m2)。仿真結果如圖6所示。

(a) 控制力矩變化曲線(a) Control torque versus time

(b) 框架角變化曲線(b) Gimbal angle versus time

(c) 框架角速度變化曲線(c) Gimbal rate versus time圖5　自適應操縱律算例Fig.5　Adaptive steering law

圖6(a)與圖6(b)分別為空間站姿態(tài)角與角速度的變化曲線，空間站實現(xiàn)了偏航90°的大角度姿態(tài)機動，且滾轉與俯仰角變化約為10°。 圖6(c)為SGCMG角動量變化曲線，由于在約3000s處SGCMG出現(xiàn)了部分失效，角動量曲線發(fā)生了突變。圖6(d)為控制力矩變化曲線，控制力矩最大值不超過6Nm，在執(zhí)行機構所能承受的范圍內。圖6(e)和圖6(f)分別為SGCMG的框架角與框架角速度曲線，在約3000s處，陀螺4發(fā)生了失效現(xiàn)象，陀螺4不再提供角動量和控制力矩。圖6(g)為角動量幅值變化曲線，由圖6(g)可知，重規(guī)劃角動量路徑始終在最大允許值以內，并未發(fā)生飽和現(xiàn)象，說明重規(guī)劃的機動路徑是可行的。圖6(h)為奇異測度變化曲線，由該圖可知，采用自適應操縱律，一方面能夠在SGCMG部分失效的瞬時(約3000s處)及時響應失效狀態(tài)，另一方面，該操縱律還繼承了傳統(tǒng)操縱律在避免奇異方面的優(yōu)勢，在4400s附近接近奇異狀態(tài)時，可以迅速脫離，從而使SGCMG始終提供有效的控制力矩，完成大角度姿態(tài)機動任務。

(a)姿態(tài)變化曲線(a)Attitudeversustime(b)角速度變化曲線(b)Angularrateversustime

(c)角動量變化曲線(c)Momentumversustime(d)控制力矩變化曲線(d)Controltorqueversustime

(e)框架角變化曲線(e)Gimbalangleversustime(f)框架角速度變化曲線(f)Gimbalrateversustime

(g)角動量幅值變化曲線(g)Momentummagnitudeversustime(h)奇異測度變化曲線(h)Singularvalueversustime

圖6仿真結果

Fig.6Simulation results

5結論

結合SGCMG失效的特點，采用偽譜法與序列二次規(guī)劃求解重規(guī)劃姿態(tài)機動路徑?？紤]了控制力矩陀螺失效情況的不可預測性，設計了自適應非對稱魯棒操縱律，該操縱律既可以繼承傳統(tǒng)操縱律在避免奇異方面的優(yōu)勢，又能及時響應失效狀態(tài)從而進行自適應調節(jié)。算例分析表明，采用路徑重規(guī)劃策略與自適應操縱律，可以有效應對姿態(tài)機動過程中的部分失效問題，使空間站仍具備一定的姿態(tài)機動能力。該姿態(tài)機動策略，為空間站零燃料姿態(tài)機動任務的實施提供了有效的備份手段，從而提高姿態(tài)機動任務的安全性與可靠性。

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http://journal.nudt.edu.cn

Space station attitude maneuver method considering partial fault of single gimbal control moment gyroscopes

ZHAOQian,TANGGuojin

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：The fault character of pyramid configuration single gimbal control moment gyroscopes (SGCMG) was analyzed. The calculation approach solving the replanned attitude maneuver path was proposed based on the Legendre pseudo spectral method. Considering the unpredictability of the SGCMG fault, an adaptive steering law was designed. Using this steering law, the fault state of SGCMG was detected and the parameters of the steering law was self-tuned. The simulation results reveal that, the large angle attitude maneuver can be accomplished by using the path replanned method and the adaptive steering law, when the SGCMG encounter partial fault. The proposed method can cope with the partial fault state of the SGCMG during attitude maneuver effectively, thus improving the security and reliability of the space station attitude maneuver mission.

Key words：attitude maneuver; control moment gyroscopes; path planning; steering law

中圖分類號：V421.4

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)06-054-07

作者簡介：趙乾(1987—)，男，遼寧康平人，博士研究生，E-mail：zhaoqianmars@gmail.com；唐國金(通信作者),男,教授,博士，博士生導師，E-mail：tanggj@nudt.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11272346)；國家973計劃資助項目(2013CB733100)

收稿日期：*2014-12-23

doi:10.11887/j.cn.201506012