趙紅霞

(甘肅省定西市安定區(qū)公園路中學(xué)，甘肅 定西　743000)

含兩個(gè)參數(shù)的一類實(shí)二次型

趙紅霞

(甘肅省定西市安定區(qū)公園路中學(xué)，甘肅 定西743000)

摘要：研究含兩個(gè)參數(shù)a,b的一類實(shí)二次型，證明可以通過與參數(shù)a,b無關(guān)的正交線性變換把f(x1,x2)化為標(biāo)準(zhǔn)形，并討論該二次型f(x1,x2)的正定性。

關(guān)鍵詞：實(shí)二次型；正交線性變換；標(biāo)準(zhǔn)形；正定

二次曲線可以看成是笛卡爾平面上二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的圖像。對(duì)二次曲線的研究可以追溯到2000多年前的古希臘時(shí)期。事實(shí)上，古希臘數(shù)學(xué)家在他們的著作中使用純幾何方法已經(jīng)得到了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于二次曲線的大部分性質(zhì)和結(jié)果。二次曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對(duì)二次曲線的研究一直是非常活躍的。

多項(xiàng)式也是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，二次型(二次齊次多項(xiàng)式)這種特殊的多項(xiàng)式，起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)型問題的研究。二次型的理論在數(shù)學(xué)和物理的許多分支中都有應(yīng)用。

本文討論一類含兩個(gè)參數(shù)的實(shí)二次型，證明可以通過與參數(shù)無關(guān)的正交線性變換把這類二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并討論這類二次型的正定性。

定義1[1]在秩等于r的實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)的典范形式

中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p叫做f(x1,x2,…,xn)的正慣性指標(biāo)，負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p叫做f(x1,x2,…,xn)的負(fù)慣性指標(biāo)，正、負(fù)慣性指標(biāo)的差叫做f(x1,x2,…,xn)的符號(hào)差。

引理1[2]設(shè)n元實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)的秩為r，正慣性指標(biāo)為p。則

1)f(x1,x2,…,xn)是正定的當(dāng)且僅當(dāng)p=r=n；

2)f(x1,x2,…,xn)是負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng)p=0，r=n；

3)f(x1,x2,…,xn)是半正定的當(dāng)且僅當(dāng)p=r

4)f(x1,x2,…,xn)是半負(fù)定的當(dāng)且僅當(dāng)p=0，r

5)f(x1,x2,…,xn)是不定的當(dāng)且僅當(dāng)0

引理2[1]實(shí)二次型是正定的當(dāng)且僅當(dāng)它的一切主子式都大于零。

證明 情形1 b≠0。

對(duì)于特征根λ1=a+b，解方程組

(1)

情形2 b=0。

證明由定理1可知：

(ⅲ)當(dāng)a+b>0,a-b=0時(shí)，f(x1,x2)半正定，即當(dāng)a=b>0時(shí)f(x1,x2)半正定；

(ⅵ)當(dāng)a+b<0,a-b=0時(shí)f(x1,x2)半負(fù)定，即當(dāng)a=b<0時(shí)f(x1,x2)半負(fù)定；

(ⅶ)當(dāng)a+b=0,a-b>0時(shí)f(x1,x2)半正定，而a+b=0,a-b>0當(dāng)且僅當(dāng)a=-b,b<0

(ⅷ)當(dāng)a+b=0,a-b<0時(shí)f(x1,x2)半負(fù)定，而a+b=0,a-b<0當(dāng)且僅當(dāng)a=-b,a<0a=-b當(dāng)且僅當(dāng)a=-b<0，因而當(dāng)a=-b<0時(shí)f(x1,x2)半負(fù)定；

(ⅸ)當(dāng)a+b=0,a-b=0時(shí)，即a=b=0時(shí)，f(x1,x2)=0，此時(shí)不考慮。

因此推論1得證。

其實(shí)，推論1中f(x1,x2)正定的條件是充分必要的，即有

a>0且a2-b2>0

參考文獻(xiàn)：

[1]張禾瑞，郝鈵新．高等代數(shù)(第五版)[M]．北京：高等教育出版社，2007年6月．346-370

[2]張遠(yuǎn)達(dá)，熊全淹．線性代數(shù)[M]．北京：人民教育出版社，1962年12月．243-246

中圖分類號(hào)：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1671-864X(2015)12-0268-02