宋 璐，宋燕燕，馮艷平

（1.陜西中醫(yī)學(xué)院 醫(yī)學(xué)技術(shù)系，陜西 咸陽(yáng) 712046；2.解放軍信息工程大學(xué) 河南 鄭州 450001；3.鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 河南 鄭州 450121）

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，是研究聲波、光波和電磁波合成的基礎(chǔ)[1]，所以它是大學(xué)物理教學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容。而在理論教學(xué)中，學(xué)生很難理解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成過(guò)程，需要進(jìn)行課堂演示。而對(duì)于傳統(tǒng)的物理演示裝置來(lái)說(shuō)，雖然能夠直觀的顯示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成過(guò)程，但一般體積較大，精度低，演示內(nèi)容有限。文獻(xiàn)[2]提出了一種采用單片機(jī)為核心的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成實(shí)驗(yàn)儀，利用直接數(shù)字合成芯片產(chǎn)生正弦信號(hào)，解決了模擬函數(shù)頻率不準(zhǔn)，相位無(wú)法確定的問(wèn)題，但由于成本高，利用率低，不能隨時(shí)在課堂上演示，應(yīng)用范圍大受限制。文獻(xiàn)[3]提出了一種通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬實(shí)現(xiàn)多種簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的方法，改進(jìn)了傳統(tǒng)的演示形式，但由于需要使用C語(yǔ)言編程來(lái)實(shí)現(xiàn)，對(duì)使用者的編程能力要求較高，移植性和可操作性差，參數(shù)修改復(fù)雜，不利用學(xué)生單獨(dú)操作。

為此，設(shè)計(jì)了基于MATLAB GUI的程序，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)不同種類(lèi)的多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，并且由于引入了基于MATLAB的GUI（圖形用戶界面），使操作性大大提高，可以任意修改合成類(lèi)型和振動(dòng)參數(shù)，使得實(shí)驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確直觀，使用方便，可移植性高，有助于學(xué)生對(duì)各種振動(dòng)合成的理解。

1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的基本原理

1.1 同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在同一直線上同時(shí)進(jìn)行多個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為：

其中，i=1，2…n 則合振動(dòng)方程為[4]：

式中，

分別為振動(dòng)的振幅和初相位。

由式（2）可知，多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)可合成為一個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其軌跡為余弦或正弦曲線。

1.2 同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

如果兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同，利用旋轉(zhuǎn)矢量法分析兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量間的夾角或相位差將隨時(shí)間變化，因而它們的合矢量也將隨時(shí)間而變化，合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

當(dāng)兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率十分接近時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生拍現(xiàn)象[5]，拍頻為兩個(gè)分振動(dòng)頻率之差。

1.3 兩個(gè)同頻率、互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

兩個(gè)相互垂直同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，合振動(dòng)為一橢圓，橢圓的性質(zhì)由兩個(gè)分振動(dòng)的相位差Δφ來(lái)決定。如果兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率之間成整數(shù)比，那么它們的合振動(dòng)就是有一定規(guī)律的穩(wěn)定閉合曲線，稱(chēng)為李薩如圖形[6]。

2 MATLAB程序法實(shí)現(xiàn)振動(dòng)的合成

美國(guó)MathWorks公司推出的MATLAB是一套具備高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化軟件。由于MATLAB可以將矩陣運(yùn)算、圖形顯示、信號(hào)處理以及數(shù)值分析集于一體，構(gòu)造出的用戶環(huán)境使用方便、界面友好，因此MATLAB收到眾多科研工作者的歡迎[7]。

這里以同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成為例，利用MATLAB的.m文件編程實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)合成的仿真。假設(shè)兩路振動(dòng)參數(shù)為：振動(dòng)1振幅為 1 V，頻率100 Hz，初相位 π/6 rad；振動(dòng)2振幅為2 V，頻率100 Hz，初相位π/3 rad，設(shè)計(jì)的程序如下：

運(yùn)行后，兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成結(jié)果如圖1所示。

圖1 同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成Fig.1 Synthesis of harmonic vibration with the same direction and frequency

可以看出，兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成結(jié)果仍然是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。根據(jù)計(jì)算，得到合振動(dòng)振幅為2.909 3 V，初相位φ=50.103 9°，與理論計(jì)算結(jié)果一致。

但當(dāng)用戶需要頻繁修改仿真參數(shù)時(shí)，利用這種方法實(shí)現(xiàn)仿真的過(guò)程就會(huì)變得比較繁瑣，并且對(duì)于毫無(wú)編程經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生來(lái)說(shuō)也無(wú)法單獨(dú)完成。所以，如果能開(kāi)發(fā)出基于GUI的圖形界面程序的話，無(wú)須用戶面對(duì)復(fù)雜的代碼，只需輸入基本參數(shù)，就能實(shí)現(xiàn)各種情況下的振動(dòng)合成，將會(huì)是件很有意義的事情。

3 基于GUI的仿真系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

為了能夠簡(jiǎn)化用戶操作，方便不熟悉MATLAB的學(xué)生使用，采用了基于MATLAB的圖形用戶界面GUI，通過(guò)生成的包含GUI初始化和組件界面布局控制代碼M文件，將用戶需要的結(jié)果顯示出來(lái)。

3.1 振動(dòng)合成系統(tǒng)界面設(shè)計(jì)

在MATLAB的命令窗口輸入GUIDE命令或者點(diǎn)擊工具欄中的GUIDE圖標(biāo)，打開(kāi)空白的布局編輯器，選擇新建一個(gè)默認(rèn)的.fig文件，根據(jù)自己的需要設(shè)計(jì)GUI界面。設(shè)計(jì)好的振動(dòng)合成系統(tǒng)界面如圖2所示。

圖2 基于GUI的振動(dòng)合成系統(tǒng)Fig.2 Harmonic vibration synthesis system based on GUI

3.2 仿真結(jié)果

首先可以根據(jù)需要選擇待合成振動(dòng)的數(shù)目和合成模式，再分別輸入分振動(dòng)的各個(gè)參數(shù)，如果輸入有誤，可以通過(guò)點(diǎn)擊數(shù)據(jù)清空按鈕重新輸入，若沒(méi)有問(wèn)題，可直接點(diǎn)擊合成按鈕。

選擇合振動(dòng)個(gè)數(shù)3個(gè)，模式為同方向，分別輸入三路振動(dòng)參數(shù)如圖2所示，點(diǎn)擊合成按鈕，合成結(jié)果如圖3所示。

圖3 同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成Fig.3 Synthesis of harmonic vibration with the same direction and different frequency

根據(jù)圖3可以看出，同方向不同頻率，但頻率相互接近的三路振動(dòng)合成以后不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是出現(xiàn)了拍頻現(xiàn)象，與理論分析相符。

或者可以選擇合振動(dòng)個(gè)數(shù)為2個(gè)，合成模式為相互垂直，分別輸入兩路振動(dòng)參數(shù)，其中振動(dòng)1振幅為1 V，頻率500Hz，初相位 0 rad；振動(dòng) 2振幅為 1 V，頻率 300Hz，初相位0 rad，點(diǎn)擊合成按鈕，合成的李薩如圖形如圖4（a）所示；若頻率分別改為500 Hz和400 Hz，合成的李薩如圖形如圖4（b）所示。

圖4 同方向相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成Fig.4 Synthesis of harmonic vibration with the same direction perpendicular to each other

可以看出，當(dāng)頻率之比為無(wú)理數(shù)時(shí)，其合成的為一不閉合曲線，而當(dāng)它們的頻率之比為有理數(shù)時(shí)，得到的是一閉合曲線。

其他情況下的仿真過(guò)程與上述類(lèi)似，這里就不再一一贅述了。從以上的分析可以看出，加入了GUI界面的設(shè)計(jì)后，仿真的操作過(guò)程明顯得到了簡(jiǎn)化，振動(dòng)合成系統(tǒng)效果良好，結(jié)果直觀清晰。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用MATLAB作為仿真平臺(tái)，基于GUI設(shè)計(jì)的振動(dòng)合成系統(tǒng)，能夠顯示不同頻率的多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，具有形象、生動(dòng)、直觀的特點(diǎn)，使不具備MATLAB知識(shí)的學(xué)生也可以輕松使用。通過(guò)對(duì)計(jì)算機(jī)的操作，易于使用戶掌握其具體內(nèi)容和性質(zhì)，還可以將理論和實(shí)踐結(jié)合起來(lái)，達(dá)到加深其理解的目的。

[1]黃賢群.利用計(jì)算機(jī)軟件演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成[J].韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，33（6）:30-34.

[2]吳俊，張毓麟，晏世雷，等.多倍頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成試驗(yàn)儀[J].物理實(shí)驗(yàn)，2008，28（7）:16-18.

[3]朱云，朱利軍，陳健.任意方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的計(jì)算機(jī)模擬[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，23（1）:21-24.

[4]藍(lán)海江.多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 [J].廣西科學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25（1）:22-25.

[5]宋璐，馮艷平，衛(wèi)亞博.基于MATLAB GUI的拍頻實(shí)現(xiàn)方法的研究[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2012，25（3）:98-99，114.

[6]候君玲，邵建華，周恭勤.物理學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[7]尹君馳，劉克毅.基于MATLAB的PID控制系統(tǒng)參數(shù)調(diào)節(jié)[J].電子測(cè)試，2014，25（3）:98-99，114.