周明遠(yuǎn)，石 英

（1.北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院 北京 100083；2.北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電信息學(xué)院，北京 100083）

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，人們對(duì)于航天器姿態(tài)確定的精度要求也越來越高。作為導(dǎo)航系統(tǒng)中精度最高的敏感器，星敏感器可以獲得角秒級(jí)的定姿精度，因此它在現(xiàn)代導(dǎo)航中扮演了越來越重要的角色。而航天器姿態(tài)確定的關(guān)鍵是星圖識(shí)別，但是，當(dāng)在實(shí)際應(yīng)用中如果給定的星圖分辨率過低，則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，這嚴(yán)重影響了定位精度。受制于上述的不足，近年來眾多學(xué)者開始了對(duì)亞像素細(xì)分算法的研究[1]，并取得了一定的效果。這些算法包括：質(zhì)心法，平方加權(quán)法，帶閾值的質(zhì)心法等。然而這些算法均完全依賴于原始圖像的分辨率，當(dāng)圖像分辨率過低、要求的質(zhì)心精度過高或者受制于高分辨率CCD的成本時(shí)，上述的精度就已經(jīng)達(dá)到了瓶頸。利用超分辨率進(jìn)行圖像重建以獲得更多圖像信息的新方法就應(yīng)運(yùn)而生了。

超分辨率重建在醫(yī)學(xué)、軍事、遙感等領(lǐng)域已得到了廣泛的應(yīng)用。目前學(xué)者集中研究多幅圖像的超分辨率重建技術(shù)[2-3]，以達(dá)到引入新信息來提高原始圖像的分辨能力。這就需要考慮圖像配準(zhǔn)等關(guān)鍵技術(shù)。但在航天導(dǎo)航中，由于有實(shí)時(shí)輸出姿態(tài)的要求，無法做到用多幅圖像進(jìn)行超分辨率重建，因此本文著重研究單幅圖像的超分辨率。超分辨率的算法主要有：插值法[4]，凸集投影法（projection onto convex sets， POCS）[5]以及最大后驗(yàn)概率法（maximum a posterior， MAP）[6]等。 本文利用基于字典學(xué)習(xí)的稀疏表示理論，實(shí)現(xiàn)對(duì)星圖的超分辨率重建。首先利用原始星圖獲得通過學(xué)習(xí)得到的過完備字典，然后根據(jù)字典得到圖像的稀疏表示，并最終生成高分辨率的星圖。接下來，用平方加權(quán)質(zhì)心法分別提取超分辨率星圖和原始星圖中星點(diǎn)質(zhì)心的坐標(biāo)，計(jì)算求得任意對(duì)應(yīng)的兩顆觀測(cè)星的角距。最后，將這兩個(gè)角距的值與真實(shí)值作對(duì)比，從得到的結(jié)果上看，經(jīng)過超分辨率處理的星圖所得到的星角距，更接近真實(shí)值，從而證明了該方法提高了質(zhì)心細(xì)分的精度。

1 基于稀疏表示的圖像超分辨率重建

稀疏表示的基本思想是字典的選擇應(yīng)盡可能的包含被表達(dá)信號(hào)所含有的信息結(jié)構(gòu)，信號(hào)的稀疏分解即從超完備字典中選擇最佳的若干原子的線性組合來表示信號(hào)，實(shí)際上它是一種逼近過程。假設(shè)y∈Rn是原始圖像，D是L個(gè)n維單位長(zhǎng)度向量dr的集合。即

因此圖像可以表示成：

其中矩陣D是過完備字典，di是D的一個(gè)原子。x=[x0，x1，…，xL]T是系數(shù)矩陣，b是殘余分量。稀疏表示問題即求出L×1的系數(shù)向量x，使y=Dx+b，且||x||0最?。?/p>

其中‖x‖0是l0范數(shù)，它表示向量x中不為0的元素的個(gè)數(shù)。然而，在實(shí)際的信號(hào)表示中，很少表示能有許多系數(shù)嚴(yán)格地等于零，因此用l0范數(shù)衡量稀疏性并不十分有效。特別是當(dāng)信號(hào)中含有噪聲時(shí)，情況更是這樣。因此，如何求得最優(yōu)解就成了一個(gè)NP問題。為此，Donoho等人提出BP（Basis Pursuit）算法[7]，用l1范數(shù)代替l0范數(shù)，有效地解決了NP問題；將（3）的約束項(xiàng)轉(zhuǎn)換為懲罰項(xiàng)，給定適合的懲罰因子μ（balances sparsity of the solution），可以得到求解（3）的等價(jià)問題：

其中懲罰因子μ是控制表示誤差和表示稀疏性權(quán)衡的正則化參數(shù)。

依照公式（4），在滿足最小均方差意義下采用逐個(gè)原子更新的方法通過迭代來更新字典。字典學(xué)習(xí)的過程可以融合到貝葉斯最大后驗(yàn)（MAP）估計(jì)中，即假設(shè)字典D也是未知的，對(duì)于給定的圖像y，通過解決NP問題，求得稀疏表示的原子然后在得到的基礎(chǔ)上利用 K-SVD 算法[8]更新字典 D。

對(duì)于圖像的超分辨率重建，需要同時(shí)使用低分辨率圖像塊的字典Dl和高分辨率圖像塊的字典Dh。每個(gè)低分辨率的圖像塊li都可以通過上節(jié)的方法得到相對(duì)于Dl的稀疏表示，根據(jù)這些系數(shù)x，將相應(yīng)的高分辨率圖像塊的基Dh進(jìn)行組合，就可以得到高分辨率圖像塊h。因此求解l的稀疏表示問題可以由公式（5）給出，并且用l1范數(shù)代替l0范數(shù)：

其中F是特征提取算子。公式只是分別對(duì)單個(gè)的圖像塊進(jìn)行處理，而如果對(duì)整個(gè)圖像進(jìn)行超分辨率重建，則要考慮相鄰圖像塊間的匹配問題，根據(jù)one-pass方法[9]，得到如下的優(yōu)化公式：

其中矩陣G提取當(dāng)前目標(biāo)圖像塊與前一步高分辨率重建的圖像塊的重疊區(qū)域，w表示前一步高分辨率重建圖像在重疊區(qū)域的估計(jì)值。公式（6）可以重新改寫為：

其中B表示模糊濾波器，S表示降采樣操作，L和H分別表示低分辨率圖像與高分辨率圖像。利用文獻(xiàn)[10]的方法，即可得到最終的超分辨率圖像：

2 星像點(diǎn)的質(zhì)心細(xì)分與相機(jī)的標(biāo)定

星圖預(yù)處理主要包括星圖去噪，星點(diǎn)提取和質(zhì)心定位等步驟。為了降低星圖識(shí)別的冗余匹配，提高識(shí)別的準(zhǔn)確率，需要對(duì)星點(diǎn)的質(zhì)心進(jìn)行更為精確的定位，即星點(diǎn)位置精度突破CCD探測(cè)器像素尺度，達(dá)到亞像素質(zhì)心定位[11]。本文采用基于灰度的亞像素質(zhì)心定位方法中的平方加權(quán)質(zhì)心法，即設(shè)某個(gè)連通域中共包含n個(gè)像素點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)像素點(diǎn)的坐標(biāo)和灰度分別為（ui，vi）（i=1，2，…，n）和 g（ui，vi），則該方法的亞像素質(zhì)心為：

根據(jù)公式（10），可以得到星像點(diǎn)質(zhì)心在相機(jī)CCD上的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)文獻(xiàn)[12]，利用三次多項(xiàng)式曲面擬合：

將星像點(diǎn)質(zhì)心的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的恒星相對(duì)于CCD上的星光矢量假設(shè)導(dǎo)航星的赤經(jīng)赤緯為（α，δ），根據(jù)導(dǎo)航星在慣性系中的星光矢量公式

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

為了將星像點(diǎn)在CCD上的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的恒星相對(duì)于CCD上的星光矢量首先需要對(duì)三次多項(xiàng)式曲面擬合公式（11）進(jìn)行系數(shù)標(biāo)定。本文利用相機(jī)的實(shí)拍星圖進(jìn)行標(biāo)定，拍攝條件如表1所示。

表1 外場(chǎng)觀星拍攝條件Tab.1 The condition of star shooting in the wild

拍攝的星圖如圖1（a）所示，經(jīng)虛擬天文館軟件Stellarium對(duì)比，找到對(duì)應(yīng)的星空如圖1（b）。實(shí)拍星圖的星像點(diǎn)放大后如圖2（a）所示。從圖中可以看出，其像素化嚴(yán)重，會(huì)給質(zhì)心的定位帶來較大的誤差。為了得到更高精度的星像點(diǎn)質(zhì)心坐標(biāo)，利用2.2節(jié)的理論及公式（9），對(duì)其進(jìn)行超分辨率重建，即可得到如圖2（b）所示的星圖。將超分辨率處理后的星圖進(jìn)行星像點(diǎn)提取，得到圖3中的40個(gè)星像點(diǎn)。

圖1 野外拍攝的星圖及其位置Fig.1 The star map shot in wild and the position in stellarium

從虛擬天文館軟件Stellarium中可以查得這些恒星的信息，并用公式（10）將星圖中的星像點(diǎn)提取出來，得到星像點(diǎn)在CCD上的坐標(biāo)。則恒星的星號(hào)、赤經(jīng)、赤緯以及對(duì)應(yīng)的星像點(diǎn)在CCD上的坐標(biāo)即如表2所示。

圖2 超分辨率重建前后的星圖對(duì)比Fig.2 The comparison between star map with and without super resolution reconstruction

圖3 提取出的40個(gè)星像點(diǎn)Fig.3 Stars extracted in the star map

根據(jù)公式（11）和（13），可以對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，得到標(biāo)定參數(shù)如表3所示。

根據(jù)以上得到的結(jié)果，以實(shí)拍星圖中編號(hào)分別為19和33的兩顆星為例，利用求角距公式

可以求得這兩顆星之間的角距為21.3700°，而未經(jīng)過超分辨率重建的星圖，求得的角距值為21.3260°。經(jīng)過Stellarium比對(duì)可知，編號(hào)19為金牛座畢宿五，赤經(jīng)4h36m44s， 赤緯16°32′11″； 編號(hào) 33為獵戶座參宿四， 赤經(jīng)5h55m56s，赤緯 7°24′31″，根據(jù)公式（12），其在慣性系中的星光矢量分別為 和，同理可求得畢宿五與參宿四的真實(shí)星角距為21.3874°，本文方法求得的角距值與真實(shí)值之間的誤差為1.0435′，而原始方法的誤差為3.6830′，可見本文方法精度提高了71.67%。為了驗(yàn)證本方法精度提高的普遍性，本文計(jì)算了兩種方法的各1024個(gè)角距值，其角距值與真實(shí)值的誤差曲線如圖4（a）與圖4（b）所示。本文方法所計(jì)算的角距值誤差均在9′以內(nèi)，優(yōu)于傳統(tǒng)方法的15′以內(nèi)。經(jīng)計(jì)算，本文方法的平均絕對(duì)誤差為1.6048′，傳統(tǒng)方法的平均絕對(duì)誤差為2.2783′，提高了29.56%，并且本文計(jì)算的角距值標(biāo)準(zhǔn)差為2.268，優(yōu)于傳統(tǒng)方法的標(biāo)準(zhǔn)差3.350。質(zhì)心細(xì)分的精度得到了明顯的、可靠的提高。

4 結(jié) 論

文中首先針對(duì)星圖識(shí)別中的質(zhì)心細(xì)分問題，分析了質(zhì)心定位精度的重要性，并由此提出了基于超分辨率重建的星圖質(zhì)心定位的新方法。首先對(duì)圖像的稀疏表示和超分辨率原理進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，并研究了求星角距的流程。本文采用外場(chǎng)實(shí)拍星圖的方式進(jìn)行驗(yàn)證，比前人的模擬星圖質(zhì)心定位所得到的數(shù)據(jù)更加真實(shí)可靠。為了比較本方法與傳統(tǒng)方法所得到的星角距的精度，利用Stellarium軟件識(shí)別出實(shí)拍星圖中對(duì)應(yīng)的真實(shí)恒星進(jìn)行求解真實(shí)星角距。通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，經(jīng)超分辨率重建得到的星圖，所提取的星像點(diǎn)的角距誤差約為1.6′，比傳統(tǒng)方法提高了約30%，證明本文方法具有可行性和有效性。

表2 實(shí)拍星圖中提取出的恒星信息及其在CCD上的坐標(biāo)Tab.2 The information and coordinate of CCD of stars extracted in star map

表3 標(biāo)定系數(shù)Tab.3 Calibration coefficient

圖4 質(zhì)心定位的誤差曲線Fig.4 Error curve of centroid location

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