任偉建，黃麗杰，孫 輝，朱永波，董海超

（1.東北石油大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，大慶 163318；2.大慶油田有限責(zé)任公司天然氣分公司，大慶 163318；

3.中國(guó)石油大慶分公司熱電廠儀表車間，大慶 163714；4.大慶油田有限責(zé)任公司采油工程研究院，大慶 163453）

近年來(lái)，T-S模糊系統(tǒng)控制方法[1]越來(lái)越吸引學(xué)者的注意。T-S模糊系統(tǒng)是研究非線性時(shí)滯系統(tǒng)的一個(gè)強(qiáng)大和有效的控制方法。它將模糊原理和線性原理相結(jié)合，用來(lái)近似一個(gè)廣泛的具有非線性的系統(tǒng)。在近幾十年里，許多關(guān)于T-S模糊模型的文獻(xiàn)[2-4]已有報(bào)道。

最近，一種新型的非線性模糊時(shí)滯系統(tǒng)，即具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的非線性模糊系統(tǒng)，無(wú)論是在理論還是實(shí)際工程中都吸引了人們的注意?？紤]具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)，在進(jìn)行時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定和鎮(zhèn)定方法研究時(shí)，相關(guān)文獻(xiàn)[5-12]也取得了一系列的成果。在這些文獻(xiàn)中，理論結(jié)果推導(dǎo)大多使用了自由權(quán)矩陣方法。然而，過(guò)多地使用自由權(quán)矩陣將需要很大的計(jì)算數(shù)量。在設(shè)計(jì)和求解控制器時(shí)，需要一些自由權(quán)矩陣來(lái)求取相關(guān)參數(shù)和次優(yōu)解。而積分不等式的引入，使得引入的額外矩陣變量減少，從而減少了計(jì)算的復(fù)雜度，所得到的魯棒穩(wěn)定性結(jié)果不僅能減少保守性，而且形式簡(jiǎn)單，所用的決策變量數(shù)目也較少。

本文建立具有不確定性和區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的非線性模糊系統(tǒng)模型，在推導(dǎo)過(guò)程中，通過(guò)引用積分不等式來(lái)處理在穩(wěn)定判據(jù)中產(chǎn)生的一些積分項(xiàng)，由于采用了更嚴(yán)格的邊界不等式技術(shù)，幾乎沒(méi)有任何有用的積分項(xiàng)被忽略，得到時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定判據(jù)，避免使用自由權(quán)矩陣等方法所帶來(lái)的計(jì)算復(fù)雜度。根據(jù)得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，得出H∞反饋控制器的新方案。

1 問(wèn)題描述

考慮具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的T-S模糊模型。其第i條模糊規(guī)則為

其中：i=1，2，…，r，r為模糊規(guī)則數(shù)；x（t）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u（t）∈Rm為控制輸入；z（t）∈Rq為被調(diào)輸出；ω（t）為外界擾動(dòng)；Miq（i=1，2，…，r，q=1，2，…，g）為模糊集合；θq（t）（q=1，2，…，g）是前件變量；τ（t）代表時(shí)變滯，且滿足：

其中：τa，τb是狀態(tài)時(shí)滯 τ（t）的上限和下限；Ai，Adi，Bi，Bωi，Ci，Cdi，Di，Dωi是合適維數(shù)的系統(tǒng)矩陣；ΔAi，ΔAdi，ΔBi是未知的常數(shù)矩陣，表明所含的不確定，假設(shè)：

其中：Eai，Edi，Ebi為已知常數(shù)矩陣；Fi（t）為時(shí)變實(shí)數(shù)未知矩陣，元素是Lebesgue可測(cè)的，有如下形式：

由單點(diǎn)模糊化，乘積推理原理及中心加權(quán)反模糊化方法，模糊時(shí)滯系統(tǒng)（1）的全局模糊系統(tǒng)模型為

其中：Mij（θj（t））為θj（t）在Mij中的隸屬度。顯然，對(duì)所有的t有：

按照并行分布補(bǔ)償算法，有如下的狀態(tài)反饋控制規(guī)律：

這樣，反饋控制器按照以下形式表達(dá)：

其中，Kj為控制器增益。從而可以得到系統(tǒng)的閉環(huán)形式如下：

引理1[10]對(duì)于任意的常矩陣G∈Rn×n，G＝GT＞0，

標(biāo)量τa≤τ（t）≤τb，向量函數(shù)x˙：［-τa，-τb］→Rn，有積分不等式成立：

引理2[10]對(duì)于給定的矩陣Π∈Rm×m，ξ（t）∈Rm×l，Ω∈Rm×m，F(xiàn)∈Rm×m，Ω≤0，F(xiàn)≤0，如果：

其中：ε1，ε2在引理2中被定義，當(dāng)τ（t）=τa（或τ（t）= τb）時(shí)，ξT（t）Ωξ（t）≡0（或ξT（t）Fξ（t）≡0）。

2 魯棒穩(wěn)定性分析

2.1 標(biāo)稱系統(tǒng)

已知控制器（9）中的增益，得出標(biāo)稱系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的充分條件，且滿足H∞性能指標(biāo)。首先考慮不具有不確定性參數(shù)的情形，此時(shí)模糊時(shí)滯系統(tǒng)可以描述為

定理1設(shè)給定的常數(shù)0≤τa≤τb，μ和常矩陣Kj，τ（t）滿足式（2），則標(biāo)稱系統(tǒng)（11）是漸近穩(wěn)定的且具有指定H∞性能指標(biāo)的充分條件是存在合適維數(shù)的實(shí)矩陣P＞0，W1＞0，W2＞0和Ri＞0（i=1，2，3），那么對(duì)于i，j=1，2，…，r，1≤i＜j≤r和π=0.1，滿足如下線性矩陣不等式（LIMs）：

其中：

證明構(gòu)造Lyapunov-Krasovskii函數(shù)：

其中：P＞0；W1＞0；W2＞0和Ri＞0（i=1，2，3）。

則V（xt）沿系統(tǒng)（11）軌跡的導(dǎo)數(shù)為

應(yīng)用本文引理1，得到：

零初始條件下，定義輔助函數(shù)

應(yīng)用本文引理2，綜合式（12）與式（13）可得：

進(jìn)而由Schur補(bǔ)定理可得式（12）和式（13）。

從式（12）和式（13），很容易得到V˙（xt）＜0。這意味著總可以找到一個(gè)正數(shù)γ＞0是充分小的，滿足V˙（xt）＜-γ‖x（t）‖2，則閉環(huán)系統(tǒng)（11）是魯棒H∞漸近穩(wěn)定的。

2.2 不確定系統(tǒng)

考慮參數(shù)為不確定的情況，對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)（10）的魯棒H∞穩(wěn)定性，通過(guò)定理1，得到以下結(jié)果。

定理2 設(shè)給定的常數(shù)0≤τa≤τb，μ和常矩陣Kj，τ（t）滿足式（2），則閉環(huán)系統(tǒng)（11）是大范圍漸近穩(wěn)定的，且具有指定H∞性能指標(biāo)的充分條件是存在合適維數(shù)的實(shí)矩陣P＞0，W1＞0，W2＞0，M1＞0，M2＞0和 Ri＞0（i=1，2，3），標(biāo)量 σi＞0，σi′＞0，那么對(duì)于i，j=1，2，…，r，1≤i＜j≤r和π=0.1，滿足以下線性矩陣不等式（LIMs）：

證明用Ai+DiFi（t）Ei，Adi+DiFi（t）Edi與Bi+DiFi（t）Ebi分別代替式（12）與式（13）中的Ai，Adi與Bi，可以得到：

很明顯，存在標(biāo)量σi＞0，σi′＞0，使以下式子總是成立：

進(jìn)而由Schur補(bǔ)定理可知，式（22）與式（19），式（20）是等價(jià)的。由此得到，不確定閉環(huán)模糊系統(tǒng)（4～10）是魯棒H∞漸近穩(wěn)定的，且具有指定的H∞性能指標(biāo)。證畢。

3 態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

定理3于給定的常數(shù)0≤τa≤τb，μ，τ（t）滿足式（2），則標(biāo)稱系統(tǒng)（11）是大范圍漸近穩(wěn)定的，且具有指定H∞性能指標(biāo)的充分條件是反饋增益 （j= 1，2，…，r），且存在合適維數(shù)的實(shí)數(shù)矩陣P＞0，W1＞0，W2＞0，M1＞0，M2＞0和 Ri＞0（i=1，2，3），那么對(duì)于i，j=1，2，…，r，1≤i＜j≤r和π=0.1，滿足如下線性矩陣不等式（LIMs）：

X=P-1，XTW1X=1，XTW2X=2，XTRiX=i（i=對(duì)式（12）分別左乘右乘，對(duì)式（13）分別左乘右乘，得到式（23）與式（24）。

4 數(shù)值仿真

例：考慮具有不確定參數(shù)的T-S模糊時(shí)滯系統(tǒng)（11），其系統(tǒng)參數(shù)和文獻(xiàn)[12]相同，

利用定理2和定理3，在給定τa=0時(shí)和H∞性能指標(biāo)γ=2時(shí)，可以得出系統(tǒng)時(shí)滯上界和反饋增益，如表1所示。文獻(xiàn)[12]討論了具有區(qū)間時(shí)變狀態(tài)時(shí)滯的T-S模糊系統(tǒng)的魯棒H∞控制問(wèn)題。采用邊界技術(shù)，借助線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)和Lyapunov-Krasovskii泛函，得到了時(shí)滯依賴穩(wěn)定性判斷和H∞控制器。本文在取相同的時(shí)滯下界和指定的H∞性能指標(biāo)時(shí)，與文獻(xiàn)[12]相比較，利用本文定理2得到時(shí)滯上界較大，驗(yàn)證了定理1具有較小保守性的結(jié)果。

表1 定理2和定理3控制設(shè)計(jì)結(jié)果Tab.1 Control design results of Theorem 2 and 3

5 結(jié)語(yǔ)

本文研究了具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯和不確定性的T-S模糊系統(tǒng)的魯棒H∞穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問(wèn)題。采用積分不等式來(lái)處理一些積分項(xiàng)，構(gòu)建一個(gè)具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯特征的李雅普諾夫函數(shù)，得到了時(shí)滯相關(guān)魯棒H∞穩(wěn)定性準(zhǔn)則和模糊控制器設(shè)計(jì)求解方案。所得到的魯棒H∞穩(wěn)定性結(jié)果在減少保守性的同時(shí)，也得到了更高的計(jì)算效率。

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