左嵐

湖北省咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 （咸寧437100）

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們的生活水平不斷提高，各種基于計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)、通信技術(shù)的產(chǎn)品充斥在我們的生活中，已經(jīng)成為我們現(xiàn)代化生活的不可獲取的重要部分。尤其是互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的快速發(fā)展，更是極大地改變了人們的生活方式以及思維方式，對(duì)于人們的生活水平來說，具有非常重要的意義。然后在這些產(chǎn)品的背后，是由各種數(shù)學(xué)以及物理理論基礎(chǔ)作支撐而發(fā)展起來的。在我們的通信設(shè)施中，如何將各種低頻率的語音、文字信號(hào)千里迢迢輕松地傳送到千里之外，如何將各種視頻、聲音、圖片信號(hào)如何通過互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)方便、快捷地并且突破地域的限制來高效省時(shí)地?zé)o障礙安全傳輸?shù)?，這些問題的解決都是依賴于數(shù)學(xué)基本理論和物理基礎(chǔ)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)的。其中，分?jǐn)?shù)傅里葉變換就是其中一個(gè)最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，通過分?jǐn)?shù)傅里葉變換，實(shí)現(xiàn)了各種信號(hào)的時(shí)間領(lǐng)域和頻率領(lǐng)域的變換，極大地簡(jiǎn)化了人們對(duì)信號(hào)的認(rèn)識(shí)，從根本上改變了對(duì)信號(hào)處理的方式，使得人們通過處理信號(hào)的某些頻率即可實(shí)現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)時(shí)域信號(hào)的處理和控制。分?jǐn)?shù)傅里葉變換對(duì)于互聯(lián)網(wǎng)通信來說是非常重要的，尤其是實(shí)現(xiàn)互聯(lián)網(wǎng)安全通信的數(shù)字水印加密算法上，為互聯(lián)網(wǎng)的通信加密提供了最重要的理論依據(jù)，從而為互聯(lián)網(wǎng)的安全可靠的通信奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

1 分?jǐn)?shù)傅里葉變換簡(jiǎn)述

傅里葉變換是傳統(tǒng)的信號(hào)分析方法，簡(jiǎn)單地理解，就是將一個(gè)信號(hào)可以拆分成多個(gè)信號(hào)的集合疊加。如果一個(gè)時(shí)域信號(hào)f(t)為時(shí)間t的周期函數(shù)，并且滿足，在t的周期范圍內(nèi)，f(t)是連續(xù)的且處在第一類間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是可數(shù)的，則有如下公式：

其中，f(t)為t的函數(shù)，又稱為時(shí)域函數(shù)，F(xiàn)(ω)是該f(t)函數(shù)的頻域信號(hào)表現(xiàn)形式，即頻域函數(shù)，而上述兩個(gè)公式，由時(shí)域轉(zhuǎn)變成頻域的稱之為傅里葉變換，而頻域轉(zhuǎn)變成時(shí)域的則稱之為傅里葉逆變換。

而分?jǐn)?shù)傅里葉變換則是傳統(tǒng)的傅里葉變換的繼續(xù)和延·伸，是在分?jǐn)?shù)級(jí)別上的傅里葉擴(kuò)展，即現(xiàn)在的廣義上的傅里葉變換。由上述傅里葉變換公式可知，有

其中F為傅里葉變換的表示符號(hào)。

在該，假如對(duì)f(t)信號(hào)進(jìn)行多次次傅里葉變換，假如經(jīng)過n次傅里葉變換，我們使用Fn來表示，則很容易得出以下公式。

其實(shí)，每一次傅里葉變換，對(duì)于f(t)函數(shù)來說就是在坐標(biāo)軸內(nèi)進(jìn)行一次π/2的旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過兩次的傅里葉變換則有原始時(shí)域函數(shù)旋轉(zhuǎn) 180°，經(jīng)過四次傅里葉變換，則有原始時(shí)域函數(shù)旋轉(zhuǎn) 360°，故而有上述公式。分?jǐn)?shù)傅里葉變換則是在此多次傅里葉變換的基礎(chǔ)上提出來的。在很多分?jǐn)?shù)傅里葉變換中，有兩種類型的分?jǐn)?shù)傅里葉變換較為出名，一是 Namias型的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，一是 Shih型的分?jǐn)?shù)傅里葉變換。

其中Namias型的分?jǐn)?shù)傅里葉變換是對(duì)一維輸入信號(hào)f(t)來說，其p階分?jǐn)?shù)傅里葉變換公式如下：

Shih型的分?jǐn)?shù)傅里葉變換使用級(jí)態(tài)函數(shù)的疊加方法，表達(dá)式如下：

結(jié)合上述兩種分?jǐn)?shù)傅里葉變換，基于傳統(tǒng)的傅里葉變換可知，分?jǐn)?shù)傅里葉變換對(duì)時(shí)域和頻域中表現(xiàn)出最基本的3個(gè)性質(zhì)。

第一就是連續(xù)性，即在整個(gè)變換域中，分?jǐn)?shù)傅里葉變換是連續(xù)的，無斷點(diǎn)的。

第二就是邊界性，即對(duì)于分?jǐn)?shù)傅里葉變換來說，屬于廣義的傅里葉變換，包含了傳統(tǒng)的傅里葉變換，也成狹義的傅里葉變換，對(duì)于某些特殊的邊界，如分?jǐn)?shù)階級(jí)p為整數(shù)時(shí)，此時(shí)即為狹義的傅里葉變換。

第三是可疊加性，即對(duì)于一個(gè)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的任意分?jǐn)?shù)階級(jí)P1，P2來說，其可以任意疊加，既有

2 分?jǐn)?shù)傅里葉變換的應(yīng)用

現(xiàn)代的年代是數(shù)據(jù)泛濫的年代，尤其是在現(xiàn)在版權(quán)聲明叫囂的年代，更應(yīng)該加強(qiáng)版權(quán)保護(hù)意識(shí)，對(duì)于圖像、圖片等直觀的數(shù)據(jù)信息來說，添加數(shù)字水印是常用的一種版權(quán)保護(hù)的方式。分?jǐn)?shù)傅里葉變換在互聯(lián)網(wǎng)中的應(yīng)用非常廣泛，可以通過分?jǐn)?shù)傅里葉變化，將互聯(lián)網(wǎng)中的各種數(shù)據(jù)信息加上版權(quán)標(biāo)識(shí)，以此來防止互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)被竊取商用，尤其是對(duì)于數(shù)字水印添加來說，更是方便實(shí)現(xiàn)。

簡(jiǎn)單地理解，數(shù)字水印就是對(duì)原有的圖像、圖片信息添加上版權(quán)標(biāo)識(shí)，即在畫面上添加該數(shù)據(jù)所屬單位等版權(quán)信息。利用數(shù)字圖像處理的方法，將原有的圖像數(shù)據(jù)通過添加某些數(shù)據(jù)信息，使得在對(duì)原始圖像顯示的時(shí)候，會(huì)將添加的信息表現(xiàn)出來。如果該添加的數(shù)據(jù)信息就是版權(quán)標(biāo)識(shí)信息，那么即可實(shí)現(xiàn)數(shù)字水印的添加。實(shí)際上，在原始數(shù)據(jù)上嵌入水印信息，是在原始圖像的強(qiáng)信號(hào)上，有效地疊加一個(gè)水印數(shù)據(jù)的弱信號(hào)，如果該信號(hào)的頻率幅度足夠小，低于人類視覺系統(tǒng)的HVS對(duì)比度，那么就可實(shí)現(xiàn)讓人類的視覺系統(tǒng)撲捉到，即可實(shí)現(xiàn)在不改變?cè)幸曈X效果的情況下為數(shù)據(jù)圖像信息嵌入版權(quán)標(biāo)識(shí)的數(shù)字水印。

假如原始的圖像、圖片數(shù)據(jù)為I，待添加的版權(quán)表示為W，為圖像進(jìn)行加密的數(shù)據(jù)為K，那么添加水印后的圖像、圖片數(shù)據(jù)表達(dá)式則為：

對(duì)于實(shí)現(xiàn)水印嵌入的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)來說，需要三部分構(gòu)成，第一部分即為原始圖像信號(hào)輸入端，第二部分即為待添加的版權(quán)標(biāo)識(shí)的數(shù)字水印信號(hào)輸入端，第三部分即為圖像加密的數(shù)據(jù)信號(hào)輸入端。如圖1.所示，為原始圖像信號(hào)添加數(shù)字水印的結(jié)構(gòu)示意圖。如圖1.的結(jié)構(gòu)圖所示，圖像信號(hào)數(shù)字水印添加需要三個(gè)信號(hào)的輸入，分別是原始圖像信號(hào) I，加密數(shù)據(jù)信號(hào)K以及水印信號(hào)W，然后通過數(shù)字水印嵌入算法即可實(shí)現(xiàn)數(shù)字水印的添加，最后生成添加水印的圖像進(jìn)行傳播。

圖1 原始圖像信號(hào)添加數(shù)字水印系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

在整個(gè)數(shù)字水印嵌入系統(tǒng)中，最重要的部分即為水印嵌入算法的實(shí)現(xiàn)。由于原始圖像信號(hào) I，加密數(shù)據(jù)信號(hào)K以及水印信號(hào)W均為數(shù)字信號(hào)，首先我們可以通過分?jǐn)?shù)傅里葉變換將三個(gè)信號(hào)都轉(zhuǎn)換成頻域信號(hào)，可以利用 Namias型的分?jǐn)?shù)傅里葉變換公式來實(shí)現(xiàn)，然后將三者的頻域信號(hào)進(jìn)行疊加，即可實(shí)現(xiàn)原始圖像信號(hào)I，加密數(shù)據(jù)信號(hào)K以及水印信號(hào)W三者的頻域疊加，由于在頻域中，不同的信號(hào)可由多個(gè)不同頻域的信號(hào)構(gòu)成，而不同頻域信號(hào)的強(qiáng)弱則表示了原始信號(hào)的主信號(hào)，并且某一個(gè)時(shí)域信號(hào)的多個(gè)不同頻域信號(hào)是線性疊加的，即通過向加減即可實(shí)現(xiàn)，所以原始圖像信號(hào)I，加密數(shù)據(jù)信號(hào)K以及水印信號(hào)W的頻域信號(hào)的疊加，就是處在相同頻率的信號(hào)的系數(shù)增加，最終整體表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是在頻域中不同頻率的信號(hào)幅度值有所改變。所以，采用分?jǐn)?shù)傅里葉變換的來實(shí)現(xiàn)三者信號(hào)的疊加的關(guān)鍵是，必須要求三者時(shí)域信號(hào)的主頻率必須不能相同，轉(zhuǎn)換到頻域中，即疊加后的信號(hào)會(huì)在三個(gè)主要的頻段中幅度出現(xiàn)高峰。這就為后期的圖像還原奠定了基礎(chǔ)，即通過過濾原始信號(hào)的主頻段范圍內(nèi)的信號(hào)即可生成原始圖像。這是非常容易實(shí)現(xiàn)了，數(shù)字水印要求的頻段本來就是要求低于人類視覺系統(tǒng)的撲捉門限，而原始圖像必須在人類視覺性對(duì)比度門限內(nèi)，所以數(shù)字水印信號(hào)不會(huì)與原始圖像信號(hào)的主頻段沖突，至于加密數(shù)據(jù)的頻率只需要區(qū)別于數(shù)字水印頻段以及原始信號(hào)頻段即可是實(shí)現(xiàn)利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換來實(shí)現(xiàn)互聯(lián)網(wǎng)圖像的數(shù)字水印嵌入技術(shù)。

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