何長(zhǎng)運(yùn)，黃志剛，郭鐘寧，唐 怡

（廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣東廣州510006）

在電解加工過程中，由于工件陽(yáng)極和工具陰極并不直接接觸，故無表面內(nèi)應(yīng)力和切削力，因而加工變形小。同時(shí)，由于工具陰極上發(fā)生的電化學(xué)行為只是析氫反應(yīng)而無溶解，所以工具電極無損耗。雖然電解加工具有很多優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)也受多種因素的影響，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)工件的成形形狀對(duì)提高加工質(zhì)量至關(guān)重要。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和計(jì)算方法的發(fā)展，利用數(shù)值模擬方式對(duì)電解加工進(jìn)行仿真，在工業(yè)中已越來越重要。最初通過經(jīng)驗(yàn)公式預(yù)測(cè)工件成形，盡管能在一定程度上對(duì)加工形變進(jìn)行預(yù)測(cè)，但其使用范圍和精度受到很大限制，且需進(jìn)行大量工藝實(shí)驗(yàn)以確保經(jīng)驗(yàn)公式的準(zhǔn)確性。早在20世紀(jì)60年代，Tipton[1]最先將有限差分的方法應(yīng)用到電解加工過程的模擬中。為了模擬出加工形貌變化，在處理工件表面點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)，用曲面法線的垂直分量近似代替法線方向。該方法處理的工件形變，其最終結(jié)果與實(shí)際加工相符，但加工過程中任意時(shí)刻的形貌則與實(shí)際情況不符。Jain等[2]將有限元法運(yùn)用于電解加工，用三角單元將電極區(qū)域網(wǎng)格化，求出了平行板電極間的電流密度分布，同時(shí)獲得了加工間隙中的溫度分布。Deconinck等[3-5]提出了一種隨時(shí)間變化的多物理場(chǎng)數(shù)值模型來深入研究電化學(xué)加工過程。該模型結(jié)合電中性條件和電極-電解液界面極化下的線性溫度關(guān)系，成功模擬出電解液傳質(zhì)（遷移、擴(kuò)散和對(duì)流）對(duì)電流密度的影響。但上述模擬都是建立在二維模型下的，對(duì)于一些復(fù)雜形狀的工具則無法模擬。因此，研究三維模型下電解加工過程的仿真對(duì)實(shí)際電解加工極為重要。

本文提出了一種利用任意拉格朗日-歐拉法（ALE）和重新劃分網(wǎng)格的方法來處理三維模型的曲面變形，并利用有限元法模擬加工間隙內(nèi)的電流密度分布，兩種方法的結(jié)合能更真實(shí)地獲得實(shí)際加工中的三維變形。

1 任意拉格朗日-歐拉法

在描述有限元網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)的方法中，Lagrange方法是將網(wǎng)格固定在運(yùn)動(dòng)的物質(zhì)點(diǎn)上隨其運(yùn)動(dòng)：

式中：x為空間位置坐標(biāo)；X為研究物質(zhì)點(diǎn)；t為時(shí)間。這在描述運(yùn)動(dòng)界面或運(yùn)動(dòng)邊界時(shí)非常有效，但在處理物質(zhì)大變形時(shí)會(huì)引起網(wǎng)格糾纏，不僅影響了單元近似精度，還會(huì)因坐標(biāo)變化中雅可比行列式（Jocobian）的值≤0而導(dǎo)致計(jì)算終止或局部范圍誤差嚴(yán)重。

而Euler處理方法則是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)固定不動(dòng)：

式（2）描述了同一個(gè)空間位置點(diǎn)x在不同時(shí)刻下被物質(zhì)點(diǎn)占據(jù)的情況，因此，在處理大變形時(shí)不會(huì)引起網(wǎng)格糾纏，但卻無法精確確定運(yùn)動(dòng)界面或運(yùn)動(dòng)邊界的位置。

為了克服上述方法的缺點(diǎn)，于是便有了任意拉格朗日-歐拉法（ALE）。該方法引入一個(gè)可獨(dú)立于現(xiàn)實(shí)構(gòu)型和初始構(gòu)型的參考構(gòu)型，在物體發(fā)生變形的過程中，觀察者隨參考構(gòu)型一起運(yùn)動(dòng)；相對(duì)于觀察者，參考構(gòu)型為固定不動(dòng)，而現(xiàn)實(shí)構(gòu)型和初始構(gòu)型則都相對(duì)于參考構(gòu)型運(yùn)動(dòng)：

式 （3）為物質(zhì)X在參考坐標(biāo)系η中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；式（4）為參考點(diǎn)在空間坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)。圖1是參考坐標(biāo)系下的網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)。

圖1 參考坐標(biāo)系下的網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)

在物質(zhì)描述方法中，有限單元法對(duì)物體網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格點(diǎn)即為物質(zhì)點(diǎn)，所以網(wǎng)格是隨物質(zhì)一起運(yùn)動(dòng)的。在空間描述方法中，有限單元法對(duì)空間網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格點(diǎn)即為空間點(diǎn)，所以網(wǎng)格在空間中固定不動(dòng)。在ALE描述方法中，有限單元法對(duì)參考構(gòu)型網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格點(diǎn)即為參考點(diǎn)，網(wǎng)格是獨(dú)立于空間和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的，可根據(jù)需要自由選擇。

當(dāng)物質(zhì)點(diǎn)X在時(shí)刻點(diǎn)t時(shí)，其在空間的運(yùn)動(dòng)速度v與其在空間位置矢量x=x(X,t)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)相等：

參考點(diǎn)η在空間的運(yùn)動(dòng)速度即為網(wǎng)格點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度v′，它是網(wǎng)格點(diǎn)η在空間的位置矢量x=x(η,t)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)：

物質(zhì)點(diǎn)X在參考坐標(biāo)系中的速度為位置矢量η=η(X,t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

在ALE方法中，計(jì)算網(wǎng)格的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可任意給定。將ALE方法分情況退化為拉格朗日方法和歐拉方法來處理網(wǎng)格的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

（1）當(dāng) v′=0 時(shí)，計(jì)算網(wǎng)格在空間中固定不動(dòng)，用歐拉方法；

（2）當(dāng) v′=v 時(shí)，計(jì)算網(wǎng)格隨物質(zhì)一起運(yùn)動(dòng)，用拉格朗日方法；

（3）當(dāng) v′≠v≠0 時(shí)，計(jì)算網(wǎng)格自由運(yùn)動(dòng)，用一般ALE方法。

綜上所述，運(yùn)用ALE方法可精確模擬大變形中運(yùn)動(dòng)界面的位置變化。在處理微細(xì)電解打孔問題時(shí)，工件表面形貌變化為大變形，因此，ALE方法能有效解決三維模型形變的問題。

2 加工區(qū)域電場(chǎng)模型的建立

基于法拉第定律，建立電解加工間隙內(nèi)的電場(chǎng)仿真模型，為便于分析，本文采用二維數(shù)學(xué)模型。如圖2所示，5為陽(yáng)極工作邊界，1為陰極工作邊界，其余為自由邊界，各邊界組合形成了陰、陽(yáng)極間的封閉區(qū)域Ω。模型中，陰、陽(yáng)極間的加工間隙Δ為0.1 mm，陰極直徑d為0.2 mm，電解液選取質(zhì)量分?jǐn)?shù)為15%的NaNO3溶液，電導(dǎo)率κ為11.6 S/m，陽(yáng)極工件材料選取0Cr18Ni91，體積電化學(xué)當(dāng)量ω為0.002 16 cm3/A·min。仿真中，取電流效率 η=1，加工電壓U=10 V。

研究電解加工成形規(guī)律時(shí)，一般認(rèn)為加工過程已進(jìn)入平衡狀態(tài)。此時(shí)，電場(chǎng)參數(shù)不隨時(shí)間變化，而只是位置的函數(shù)，因此，加工間隙內(nèi)的電場(chǎng)可視為無源穩(wěn)恒電流場(chǎng)。且由于僅考慮電場(chǎng)分布，故可假設(shè)電解液為各向同性。由電場(chǎng)理論可得電位分布符合拉普拉斯方程：

圖2 加工區(qū)域電場(chǎng)模型

或?qū)懽鳎?/p>

電解加工的工具陰極和工件陽(yáng)極均為金屬導(dǎo)體，其電位分布可看做不同電位的等位面：

式中：φ 為電場(chǎng)中各點(diǎn)的電位， 一般 φ=φ(x，y，z)；U為陽(yáng)極表面電位值。

其他邊界符合第二類邊界條件：

空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電位梯度的負(fù)值：

在電解液中，電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度、電導(dǎo)率的關(guān)系為：

式中：κ為電解液的電導(dǎo)率，它主要受電解液濃度、溫度和氣泡率等因素的影響。

根據(jù)法拉第第一定律可得被加工金屬的表面蝕除速度：

式中：η為電流效率，與陽(yáng)極金屬表面各處的電流密度有關(guān)；ω為金屬的體積電化學(xué)當(dāng)量，即單位電量溶解金屬的體積，它與電解液濃度和工件材料有關(guān)。

綜上所述，根據(jù)求解可得到金屬表面的蝕除速度，再利用任意拉格朗日-歐拉法便可獲得電解加工過程中工件表面的形貌變化。

3 仿真模擬

利用COMSOL Multiphysics軟件進(jìn)行仿真模擬，先建立有限元模型，再定義各區(qū)域的材料屬性，包括電導(dǎo)率和介電常數(shù)（金屬的介電常數(shù)為1）。陰、陽(yáng)極兩端分別施加外部電壓，陰極接地，陽(yáng)極為工作電壓U，最后進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，通過計(jì)算可獲得加工間隙內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布（圖3）。

圖3 加工間隙電場(chǎng)分布

由電場(chǎng)強(qiáng)度分布可看出，無掩膜電解加工的雜散腐蝕較嚴(yán)重，故加工出的小孔開口較大（圖4）。為獲得開口較小的小孔，可在陰極表面涂覆一層光刻膠，光刻顯影后作為掩膜來約束雜散電場(chǎng)的分布，即可提高加工質(zhì)量（圖5）。

圖4 無掩膜加工效果

圖5 有掩膜加工效果

值得注意的是，在進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，加工區(qū)域的網(wǎng)格應(yīng)密集一些，目的是為了獲得電場(chǎng)強(qiáng)度的精確分布及防止計(jì)算過程中因網(wǎng)格畸變導(dǎo)致局部計(jì)算嚴(yán)重出錯(cuò)（圖6）。

圖6 網(wǎng)格畸變后加工表面的變形

在仿真模擬過程中，應(yīng)用任意拉格朗日-歐拉法雖能模擬出工件的加工變形，但無法模擬出圓孔的打穿。因?yàn)閳A孔一旦打穿，該處的材料將會(huì)由陽(yáng)極材料變?yōu)殡娊庖翰牧?，所以只能無限地接近于打穿。為清晰說明問題，采用如圖7所示的截面圖。

圖7 t=15 min時(shí)加工間隙內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布

如果要模擬打穿后的電解加工，可對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)處理：在工件下方重新建立一個(gè)較薄的立方塊，利用布爾運(yùn)算中的差集運(yùn)算，將模型減去新建的立方體，可近似獲得打穿后的模型；再將處理后的模型作為初始模型重新計(jì)算，可進(jìn)行打穿后電解加工過程的模擬（圖8）。

圖8 打穿后的電場(chǎng)強(qiáng)度分布

由圖8可看出，工件表面c、d處的電場(chǎng)強(qiáng)度集中，該區(qū)域在后續(xù)加工中的腐蝕速度較快。為保證加工圓孔的刃角，應(yīng)合理控制加工時(shí)間，否則會(huì)出現(xiàn)實(shí)際加工的圓孔打穿現(xiàn)象（圖9）。

4 結(jié)語

圖9 實(shí)際電解加工中圓孔打穿

本文利用任意拉格朗日-歐拉法和重新劃分網(wǎng)格的方法獲得了電解加工中被加工面的三維曲面變化，并模擬出工具掩膜下的小孔成形。對(duì)于小孔打穿的模型也提出了解決方案，為后續(xù)提高電解加工質(zhì)量提供了理論依據(jù)。

[1] Tipton H.Dynamics of ECM process[C]//Proceeding of 5th International MTDR Conference.Birmingham，UK，Pergamon，Oxford，1964：505-522.

[2] Jain V K，Pándey P C.Finite element approach to the two dimensional analysis of electrochemical machining[J].Precision Engineering，1980，2（1）：23-28.

[3] Deconinck D，Van Damme S，Deconinck J.A temperature dependent multi-ion model for time accurate numerical simulation of the electrochemical machining process.Part I:Theoretical basis[J].Electrochimica Acta，2012，60：321-328.

[4] Deconinck D，Van Damme S，Deconinck J.A temperature dependent multi-ion model for time accurate numerical simulation of the electrochemical machining process.PartⅡ:Numerical simulation [J].Electrochimica Acta，2012，69：120-127.

[5] Deconinck D，Hoogsteen W，Deconinck J.A temperature dependent multi-ion model for time accurate numerical simulation of the electrochemical machining process.PartⅢ:Experimental validation [J].Electrochimica Acta，2013，103：161-173.