吳超凡，陳隆道

(浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州310027)

0 引言

準(zhǔn)確的諧波分析是對(duì)電網(wǎng)進(jìn)行有效控制和保護(hù)的前提，F(xiàn)FT 算法因?yàn)槟芸焖俚胤治鲋C波參數(shù)而在電力系統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)中被廣泛使用，在同步采樣的前提下，能夠滿足工程上實(shí)時(shí)測(cè)量的要求。但是當(dāng)信號(hào)頻率發(fā)生偏移時(shí)，應(yīng)用傳統(tǒng)的FFT 直接對(duì)電網(wǎng)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，將造成一定的誤差。這是因?yàn)榫鶆虿蓸宇l率和信號(hào)周期之間不再存在整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，所截取的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度也不再是嚴(yán)格的整數(shù)倍信號(hào)周期。此時(shí)若直接對(duì)采樣序列用FFT 算法來(lái)分析諧波將會(huì)發(fā)生比較嚴(yán)重的頻譜泄漏現(xiàn)象，頻譜和其他相關(guān)電參量的測(cè)量結(jié)果也隨之存在很大的誤差。此外，還有一種更為惡劣的情況，即待測(cè)信號(hào)是基波頻率不斷變化的非穩(wěn)態(tài)周期信號(hào)，由于信號(hào)頻率不僅僅發(fā)生了偏移，還處在振蕩之中，這對(duì)諧波測(cè)量的實(shí)時(shí)性有很高的要求。以微網(wǎng)為例，隨著化石燃料等常規(guī)資源的日漸枯竭以及人們對(duì)環(huán)境污染問(wèn)題的進(jìn)一步關(guān)注，環(huán)保、高效、靈活的微網(wǎng)成為了電力系統(tǒng)未來(lái)的一大發(fā)展方向［1-2］。但是當(dāng)微網(wǎng)處于孤島運(yùn)行時(shí)，因?yàn)閮?nèi)部發(fā)電和負(fù)荷以及儲(chǔ)能元件的不平衡和電力電子器件等非線性元件的大量使用，微網(wǎng)內(nèi)部的諧波信號(hào)往往是實(shí)時(shí)變化的，具有隨機(jī)性、分布性、非平穩(wěn)性等特點(diǎn)，對(duì)其的控制和保護(hù)帶來(lái)了很大的困難。因此，尋找一種能夠準(zhǔn)確測(cè)量一般電力網(wǎng)絡(luò)信號(hào)且適用于微網(wǎng)等時(shí)變信號(hào)測(cè)量的諧波測(cè)量方法是很有必要的。

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)電力系統(tǒng)頻率發(fā)生變化時(shí)，需要保證采樣頻率和系統(tǒng)頻率的同步。應(yīng)用于FFT 方法的同步技術(shù)大致可以分為兩類—重采樣和插值。對(duì)于重采樣法，第一步在于測(cè)量電力系統(tǒng)的基頻，然后根據(jù)測(cè)量結(jié)果控制模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重新采樣。為了保證頻率同步，可以應(yīng)用過(guò)零檢測(cè)、頻域插值法、線性調(diào)制Z 變換、牛頓法、鎖相環(huán)(PLL)等技術(shù)來(lái)防止譜泄漏［3-8］。

當(dāng)頻率失去同步時(shí)，可以應(yīng)用一些窗函數(shù)來(lái)減少譜泄漏，譬如Hanning 窗、Hamming 窗、Blackman 窗等。然而，這類技術(shù)在諧波分析中通常只能減少計(jì)算誤差［9-11］。而參數(shù)估計(jì)的方法是在非同步情況下的另外一種解決方案，和基于FFT 的方法對(duì)比，該方法往往擁有更高的頻率分辨率。

對(duì)于另一類應(yīng)用于同步化的方法—插值法，其原理為先計(jì)算出信號(hào)的基波頻率進(jìn)而得到同步化的采樣頻率。然而該頻率并不一定能夠靈活適用于一些低成本的ADC，在這種情況下，采樣數(shù)據(jù)將基于同步化的理想采樣頻率進(jìn)行插值重組。在該過(guò)程中，要用到一些插值算法，例如牛頓法、多項(xiàng)式法、多次樣條法等［12］。應(yīng)用插值法時(shí)不會(huì)發(fā)生失去同步的情況，但會(huì)引入額外的計(jì)算量。

本研究主要討論基于傅里葉變換的諧波計(jì)算方法，而非同步采樣信號(hào)的同步化是FFT 算法能夠?qū)π盘?hào)頻譜進(jìn)行高精度分析的有力保障，通過(guò)信號(hào)的同步化，可以使得頻率分辨率和信號(hào)的諧波分布取得一致，能盡可能地減小頻譜泄漏等問(wèn)題帶來(lái)的誤差。對(duì)于重采樣法，需要先測(cè)量電力系統(tǒng)的基頻，再根據(jù)測(cè)量結(jié)果對(duì)采樣部分進(jìn)行反饋控制以調(diào)整采樣頻率重新進(jìn)行采樣。但是若待測(cè)信號(hào)是一個(gè)時(shí)變信號(hào)時(shí)，其基波頻率一直處于變化之中，該方法很難實(shí)現(xiàn)對(duì)基波頻率的實(shí)時(shí)跟蹤，一旦失去同步，還是會(huì)受到譜泄漏等問(wèn)題的影響。

所以本研究采用插值以重構(gòu)采樣數(shù)據(jù)的方法，即通過(guò)對(duì)采樣序列的插值或自適應(yīng)算法，實(shí)現(xiàn)采樣數(shù)據(jù)的重構(gòu)，使得重新得到的數(shù)據(jù)逼近理想化，再進(jìn)行參量的運(yùn)算和分析。這種方法可以適用于一些低成本的ADC，且不會(huì)發(fā)生失去同步的情況，適用于時(shí)變信號(hào)的同步化。

本研究將在其基礎(chǔ)上采用Hermite 插值的方法對(duì)非同步采樣序列進(jìn)行同步化處理，并用變頻率信號(hào)進(jìn)行仿真計(jì)算以驗(yàn)證其可行性。

1 非同步數(shù)據(jù)的重定位

對(duì)于非同步數(shù)據(jù)的同步化，首要的工作應(yīng)該是確定信號(hào)的周期［13］。因?yàn)橹芷谛盘?hào)的數(shù)字化處理存在一定的延遲以及電網(wǎng)實(shí)際頻率的偏移所產(chǎn)生的非同步，文獻(xiàn)［14］對(duì)于不含直流分量的周期信號(hào)采取信號(hào)過(guò)零檢測(cè)的方法來(lái)確定其周期，一般情況下，信號(hào)周期的計(jì)算分為中間部分的若干個(gè)完整采樣周期和首尾的小數(shù)部分，即:

式中:T1—一個(gè)信號(hào)周期中間的整數(shù)個(gè)采樣周期部分，可以依據(jù)兩個(gè)相同特征的過(guò)零點(diǎn)之間的采樣點(diǎn)數(shù)來(lái)計(jì)算得到;TP1，TP2—信號(hào)始端和尾端的周期小數(shù)部分，可以通過(guò)對(duì)過(guò)零點(diǎn)附近的采樣點(diǎn)進(jìn)行插值來(lái)逼近信號(hào)在采樣點(diǎn)附近的函數(shù)值，然后通過(guò)解函數(shù)方程來(lái)計(jì)算得到該小數(shù)部分。

一個(gè)含有最高諧波次數(shù)為30 次的周期信號(hào)，在過(guò)零點(diǎn)附近用一階線性方程插值計(jì)算其周期，誤差在0.009%以內(nèi)［15］，足以滿足一般工程上的精度需求。

設(shè)x1(k)是包含一個(gè)完整信號(hào)周期的非同步采樣序列，在計(jì)算出信號(hào)周期T 之后，便可以由T 得到理想的同步采樣周期Tsi，為了后續(xù)FFT 的方便，一般將T 除以2 的冪次方。因此，理想同步序列x2(i)中的第i 個(gè)同步采樣點(diǎn)在實(shí)際采樣序列中的下標(biāo)為:

式中:INT［］—取整算子，Tsi—理想同步采樣周期，Ts—實(shí)際采樣周期，tp1—實(shí)際采樣序列和同步采樣序列始端的時(shí)間差。在計(jì)算得到下標(biāo)ki后，就能夠根據(jù)ki和ki+1 點(diǎn)的實(shí)際采樣值來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)得到同步化處理后的理想序列。

2 Hermite 插值同步化算法

本研究提出一種基于Hermite 算法的插值同步化算法，因?yàn)閷?shí)際電網(wǎng)中的信號(hào)波形大致上近似于三角函數(shù)，其二階導(dǎo)數(shù)大致上也和三角函數(shù)一樣呈周期變化。在信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)附近往往其斜率變化率不大，用線性插值便有足夠高的精確度;而在信號(hào)的波峰和波谷附近，信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)在一般情況下也到達(dá)極值，在圖像上看，這段信號(hào)也擁有較大的曲率，此時(shí)若用線性插值算法則不大妥當(dāng)，會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，故本研究考慮采取Hermite 插值算法來(lái)對(duì)信號(hào)進(jìn)行擬合。

已知兩節(jié)點(diǎn)三次Hermite 插值公式如下:

在計(jì)算得到ki后，由ki和ki+1 點(diǎn)的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值代入式(3)并化簡(jiǎn)后可得構(gòu)造兩點(diǎn)的Hermite 插值函數(shù)如下:

式中:x'1()—x1()的一階導(dǎo)數(shù)，可以用插值點(diǎn)前后的采樣值差商運(yùn)算近似求得:

x'1(ki+1)同理，將式(5)代入式(4)就是對(duì)于采樣序列的Hermite 插值同步化公式。再對(duì)該算法的誤差進(jìn)行分析，設(shè)同步化的取樣點(diǎn)ti處于實(shí)際采樣序列的點(diǎn)tki和點(diǎn)tki+1之間，則在ti點(diǎn)上有理論截?cái)嗾`差為:

式中:ξ—tki和tki+1之間的某值，實(shí)際上由于tki和tki+1充分接近，以至于在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，可以用(tki)和中的較大者來(lái)代替來(lái)得到在

ti點(diǎn)上最大的理論截?cái)嗾`差:

值得一提的是，拋物線插值算法的截?cái)嗾`差為:

通過(guò)對(duì)比式(6)和式(8)不難發(fā)現(xiàn)，Hermite 插值的截?cái)嗾`差比拋物線插值的誤差擁有更高的階數(shù)，所以R3較之R2要更小，即在采樣序列采用Hermite 插值可以提高插值的精度。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 固定頻率信號(hào)仿真

考慮到電網(wǎng)中的實(shí)際信號(hào)的諧波成分多為奇次諧波，同時(shí)出于方便觀察的目的對(duì)諧波幅值進(jìn)行設(shè)定，有一信號(hào)如下:

式中:f—電網(wǎng)的基波的實(shí)際頻率，取f 為49.5 Hz，49.7 Hz，50 Hz，50.3 Hz，50.5 Hz 作為頻率測(cè)試點(diǎn)。在仿真計(jì)算時(shí)，本研究取采樣頻率為6 400 Hz，為保證選取的信號(hào)至少包含一個(gè)完整周期，共取256 個(gè)采樣點(diǎn)。

本研究通過(guò)對(duì)該函數(shù)進(jìn)行采樣后得到x1(k)，通過(guò)Hermite 插值同步化算法處理后得到x2(i)后再對(duì)其進(jìn)行FFT 變換計(jì)算諧波幅值，結(jié)果如表1所示。

表1 同步化后的幅值仿真結(jié)果

由仿真結(jié)果可知，在49.5 Hz ～50.5 Hz 的電網(wǎng)基波范圍內(nèi)，該同步化算法在小于等于9 次以下的諧波幅值有較高的精度，其相對(duì)誤差都在0.08%以內(nèi)，且伴隨著諧波次數(shù)增加其相對(duì)誤差并沒(méi)有明顯的增加。

可見(jiàn)該算法在處理一般的非時(shí)變的頻偏信號(hào)時(shí)已有足夠高的精度，完全可以適用于一般情況下的電網(wǎng)諧波分析。

3.2 變頻率信號(hào)仿真

由于負(fù)荷和發(fā)電量處于動(dòng)態(tài)的平衡狀態(tài)，微網(wǎng)中的實(shí)際信號(hào)的基頻并不是一成不變的，供需關(guān)系的實(shí)時(shí)變化帶動(dòng)著基波頻率的變化。除了微網(wǎng)中的諧波信號(hào)以外，還存在快速變動(dòng)的過(guò)程信號(hào)等非穩(wěn)態(tài)周期信號(hào)，其特征即為基波頻率在一定范圍內(nèi)快速波動(dòng)，只有單周期的測(cè)量結(jié)果才有實(shí)際意義，在這種前提下，對(duì)算法的實(shí)時(shí)性有了較高的要求，且要求對(duì)單個(gè)周期的采樣信號(hào)即可進(jìn)行計(jì)算?；贔FT 的重構(gòu)法僅需一個(gè)完整采樣周期即可完成數(shù)據(jù)的二次同步，能夠適用于這種特殊場(chǎng)合。為了更好地對(duì)該類信號(hào)進(jìn)行仿真，本研究將構(gòu)造一個(gè)頻率偏移實(shí)時(shí)變動(dòng)的信號(hào)對(duì)分段插值同步算法進(jìn)行驗(yàn)證:

式中:f=50 ×［1 +0.01sin(2π ×5t)］。為了便于計(jì)算，用一正弦變化的頻率來(lái)模擬非穩(wěn)態(tài)周期信號(hào)中實(shí)時(shí)變化的頻率，其變化范圍在49.5 Hz ～50.5 Hz 之間，變化的周期為0.2 s。

在采樣頻率為6 400 Hz，256 個(gè)采樣點(diǎn)的前提下對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣后，分別用線性插值算法、拋物線插值算法、Hermite 插值算法對(duì)其進(jìn)行同步化并FFT 后結(jié)果如表2所示。

表2 變頻信號(hào)的仿真結(jié)果

4 結(jié)果分析

由仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)用變頻率信號(hào)對(duì)3 種不同的插值算法進(jìn)行驗(yàn)算時(shí)，在3 次諧波上線性插值算法擁有最高的幅值精度，但是在其他次諧波幅值的計(jì)算上，其精度明顯不及另外兩種算法。拋物線插值算法在3 次諧波的計(jì)算上誤差較大，但是在其他諧波幅值的計(jì)算上有較高的精度。Hermite 插值算法在低次諧波幅值的計(jì)算上和拋物線插值算法精度大致相近，但是在高次諧波的計(jì)算中擁有較拋物線插值算法更高的精度，其9 次諧波幅值的相對(duì)誤差僅為0.12%，明顯優(yōu)于另外兩種算法。

不妨進(jìn)一步加大頻率的波動(dòng)范圍以模擬微電網(wǎng)在特殊環(huán)境下的非穩(wěn)態(tài)周期信號(hào)來(lái)測(cè)試分段插值算法的性能，在信號(hào)不變的前提下，設(shè):

f=50 ×［1 +0.04sin(2π×5t)］

基波頻率的變化范圍在48 Hz ～52 Hz 之間，變化的周期為0.2 s。在采樣頻率為6 400 Hz，256 個(gè)采樣點(diǎn)的前提下對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣后，用Hermite 插值算法對(duì)其進(jìn)行同步化并FFT 后結(jié)果如表3所示。

表3 變頻信號(hào)的仿真結(jié)果(2)

由表3 結(jié)果可見(jiàn)，即使是頻率在48 Hz ～52 Hz 的較大范圍波動(dòng)的非穩(wěn)態(tài)周期信號(hào)，在經(jīng)過(guò)Hermite 插值算法的二次同步化之后，其諧波測(cè)量的結(jié)果也具有相當(dāng)?shù)木?，其中相?duì)誤差最大的是9 次諧波，為1.26%，滿足GBT 17626.7—2008 國(guó)標(biāo)要求，在對(duì)精度要求不是太高的場(chǎng)合具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)束語(yǔ)

本研究提出了一種基于Hermite 插值的時(shí)域插值算法用來(lái)對(duì)非同步采樣序列進(jìn)行同步化處理，并對(duì)固定頻率偏移和變頻率偏移兩種情況下的非同步序列進(jìn)行了仿真和對(duì)比。因?yàn)楸狙芯繉?duì)信號(hào)采用了截?cái)嗾`差高達(dá)四階的兩點(diǎn)Hermite 插值公式進(jìn)行計(jì)算，充分保證了計(jì)算精度。同時(shí)因?yàn)樵诶碚撋现恍枰粋€(gè)完整周期的采樣序列就能進(jìn)行插值同步化計(jì)算，該算法也具備了很高的實(shí)時(shí)性，可以適用于非穩(wěn)態(tài)周期信號(hào)等特殊信號(hào)的同步化計(jì)算。

仿真結(jié)果證明，在基波頻率偏移范圍很大或者基頻偏移連續(xù)變化的特殊情況下，該算法依然能保持良好的計(jì)算精度，能夠滿足GBT 17626.7—2008 國(guó)標(biāo)要求，是一種有實(shí)用價(jià)值的非同步取樣序列的同步化算法。

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