劉 博， 肖長來， 梁秀娟

1.吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院，長春 130021 2.吉林大學(xué)地下水資源與環(huán)境教育部重點實驗室，長春 130021

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SOM-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在地下水位預(yù)測中的應(yīng)用

劉 博1,2， 肖長來1,2， 梁秀娟1,2

1.吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院，長春 130021 2.吉林大學(xué)地下水資源與環(huán)境教育部重點實驗室，長春 130021

利用自組織映射(SOM) 聚類模型優(yōu)化徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFN)隱層節(jié)點的方法，減小了RBFN由于自身結(jié)構(gòu)問題在地下水水位預(yù)測中產(chǎn)生的誤差。采用SOM對已有樣本進(jìn)行聚類，利用聚類后的二維分布圖確定隱層節(jié)點的數(shù)目，并根據(jù)聚類結(jié)果計算徑向基函數(shù)的寬度，確定徑向基函數(shù)的中心，由此建立SOM-RBFN模型。以吉林市豐滿區(qū)二道鄉(xiāng)為例，采用2000——2009年觀測的地下水位動態(tài)資料，利用SOM-RBFN模型對地下水位進(jìn)行預(yù)測，驗證其準(zhǔn)確性，并分別以5、7、10 a的地下水位動態(tài)數(shù)據(jù)為研究樣本建立模型，考查樣本數(shù)量對預(yù)測結(jié)果的影響。研究結(jié)果表明：SOM-RBFN模型預(yù)測地下水水位過程中，均方根誤差(RMSE)的均值為0.43，有效系數(shù)(CE)的均值為0.52，均達(dá)到較高標(biāo)準(zhǔn)，因此SOM-RBFN模型可以作為有效而準(zhǔn)確的地下水水位預(yù)測方法；同時RBF7的RMSE和CE均值分別為0.38和0.68，結(jié)果優(yōu)于RBF5和RBF10，這就意味著在模型計算中樣本數(shù)量不會直接影響預(yù)測結(jié)果的精度。

地下水位預(yù)測；SOM；RBF；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

0 前言

淺層地下水水位的預(yù)測，可為水資源管理、城市規(guī)劃、土木工程設(shè)計等提供重要的背景資料。因此，有關(guān)地下水水位預(yù)測的研究已成熱點。傳統(tǒng)的地下水水位預(yù)測方法采用簡單的線性函數(shù)描述地下水水位的動態(tài)特征，但結(jié)果往往難以令人滿意。隨著學(xué)科的發(fā)展，地下水水位預(yù)測方法也不斷演化進(jìn)步。早在20世紀(jì)末、21世紀(jì)初，金菊良等[1]、Savic等[2]、Chen等[3]、杜超等[4]將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于地質(zhì)及水文地質(zhì)預(yù)測和分類中，但這些模型的建立需要大量的參數(shù)和高質(zhì)量的數(shù)據(jù)來刻畫其物理過程，因而沒有得到廣泛應(yīng)用?；跁r間序列分析的模型也是地下水水位預(yù)測的一個重要工具，例如，Box 與Jenkins提出的傳遞函數(shù)模型(transfer noise model, TFN)[5]，Hipel 和Mcleod提出的環(huán)境系統(tǒng)和水資源的時間序列模型(autoregressive exogenous variable model, ARX)等[6]。Knotters 和 Van Walsum[7]運(yùn)用隨機(jī)模型通過地下水埋深的時間序列估算水量的變化情況；Ahn 與 Salas[8]還介紹了一種運(yùn)用在不同的時間間隔下非穩(wěn)定地下水水位數(shù)據(jù)建立時間序列模型的方法，但由于時間序列模型過于突出時間序列，忽略了外界因素的影響，因而在預(yù)測過程中存在缺陷，當(dāng)外界發(fā)生較大變化時，往往會有較大偏差。另外地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的方法也被應(yīng)用于地下水水位的預(yù)測中[9-10]。

近年來，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，基于大量運(yùn)算的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network, ANN)模型作為一種新的信息處理模式被運(yùn)用于地下水水位預(yù)測中，且都取得了一定的成果[11-13]。理論上，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種通用的近似函數(shù)，它可以在服從一定精度的條件下滿足任意非線性的組合[14]。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在地下水水位預(yù)測應(yīng)用最多的是BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，但由于自身存在訓(xùn)練時間長、局部最小化、算法收斂速度過慢等缺點，逐漸被放棄使用。徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(radial basis function neural network, RBFN)作為一種優(yōu)越的多層前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，有著較高的運(yùn)算速度和很強(qiáng)的非線性映射功能，可較好地克服上述問題，更適于非線性時間序列的預(yù)測問題；但對于RBFN，隱層節(jié)點的數(shù)目、隱層徑向基函數(shù)的中心以及隱層徑向基函數(shù)的寬度都是難以確定的，這就需要一種方法來確定上述參數(shù)。很多學(xué)者將聚類的思想應(yīng)用于RBFN的優(yōu)化設(shè)計中，提出了基于減聚類、K-means聚類、中心聚類和對手受罰的競爭聚類等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的設(shè)計方法，取得了一系列的成果[15-20]。自組織映射(self-organizing map, SOM)以其清晰的計算原則和簡單的結(jié)構(gòu)較好地彌補(bǔ)了RBFN自身的缺點。Chen Luhsienm等人[21]已經(jīng)運(yùn)用SOM-RBFN對地下水位進(jìn)行了預(yù)測，但在其預(yù)測過程中僅用聚類來確定隱層節(jié)點的數(shù)目。隱層徑向基函數(shù)的寬度通過下式計算：

式中：β為徑向基函數(shù)的寬度；dmax為節(jié)點之間的最大距離；p為隱層節(jié)點的數(shù)目。利用上式計算將導(dǎo)致RBFN隱層中徑向基函數(shù)的寬度都是相同的，但事實并非如此。因此，筆者通過SOM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對樣本進(jìn)行聚類，從而確定隱層節(jié)點數(shù)，并利用聚類后的結(jié)果求出徑向基函數(shù)的中心及寬度，這樣RBFN的隱層得到了更大程度的優(yōu)化。

1 計算方法

1.1 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBFN由輸入層(X)、隱層(H)、輸出層(Y)3部分組成，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。RBFN從輸入層到隱層的變換是非線性的，而從隱層到輸出層的變換則是線性的。這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，隱層單元輸出為

Rj(Xi)=Rj(‖Xi-Cj‖)

式中：Xi為第i個輸入量；Cj是隱層第j個神經(jīng)元的中心；‖·‖為歐氏范數(shù)；Rj(Xi)為第i個輸入量在隱層中第j個神經(jīng)元的輸出；R( )為RBFN的基函數(shù)。

基函數(shù)一般都是徑向?qū)ΨQ的，最常見的是高斯核函數(shù)，因此，式(1)可以表達(dá)為

R(X)=exp[-‖

式中：R(X)為輸入向量X通過隱層節(jié)點C的輸出；X=[X1,X2,…,XN]T，C=[C1,C2,…,CQ]。

輸出單元即對隱節(jié)點的輸出進(jìn)行線性加權(quán)組合，并加一個偏移量，具體表達(dá)式如下：

式中：yr是輸入向量X在輸出層第r個節(jié)點的輸出向量；Nr為輸出層單元的數(shù)目；Nh為隱層節(jié)點的數(shù)目；Rq(X)是輸入向量X在第q個隱層節(jié)點的輸出向量；Wq r是連接第q個隱節(jié)點和第r個輸出單元的權(quán)重；W0是偏移矢量[22]。

圖1 RBFN結(jié)構(gòu)Fig.1 Architecture of RBFN

1.2 自組織映射

SOM也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種，它由輸入層和輸出層(競爭層)組成(圖2)。輸入層的神經(jīng)元數(shù)為N，競爭層是由M個神經(jīng)元組成的一維或者二維平面陣列，也可以是更高維的，不過并不常見。

設(shè)輸入向量為X=[X1,X2,…,XM]T，與輸出層神經(jīng)元j相應(yīng)的權(quán)值向量Wj可以表示為Wj=[W1j,W2j, …,WMj]T，j=1,2,…,N。確定獲勝輸出層神經(jīng)元，相當(dāng)于選擇權(quán)值向量Wj與輸入向量X最為匹配的輸出層神經(jīng)元，即選出Wj與X具有最小歐氏范數(shù)距離dj的神經(jīng)元作為獲勝神經(jīng)元，其計算公式為

dj=‖X-Wj‖

鄰域函數(shù)hj定義了圍繞獲勝神經(jīng)元鄰近區(qū)域的大小。典型的鄰域函數(shù)為高斯函數(shù)：

權(quán)值向量變化值ΔWj可由下式獲得：

式中，η為學(xué)習(xí)率參數(shù)。

因此，權(quán)重的更新可以通過下式計算[23]：

式中，t為時間。

通過式(7)可以調(diào)整拓?fù)溧徲騼?nèi)所有神經(jīng)元的權(quán)值向量。通過對訓(xùn)練數(shù)據(jù)的反復(fù)運(yùn)算，權(quán)值鄰域不斷更新，確定輸入模式在競爭層中所對應(yīng)的映射位置，并在一定范圍內(nèi)對權(quán)值進(jìn)行調(diào)整。通過以上過程可以得到各類別集合的中心即獲勝神經(jīng)元，以及其相應(yīng)的分布范圍，即獲勝神經(jīng)元的鄰域。SOM的具體輸出可以通過一個二維網(wǎng)格表示，從中可以清晰地看到獲勝神經(jīng)元的位置，網(wǎng)格中每一個格代表的是在輸出層中輸入向量的位置。

圖2 SOM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 Architecture of the SOM neural network

至今還沒有一個理論能確定最優(yōu)的輸出層網(wǎng)格大小，因此網(wǎng)格必須足夠大，能夠涵蓋大量數(shù)據(jù)分類后所形成的子集合。對于迭代次數(shù)，通用的原則是至少在訓(xùn)練數(shù)據(jù)數(shù)的500倍以上[23]。

1.3 SOM-RBFN模型

SOM-RBFN設(shè)計由兩步組成。

其中，Xij表示映射到第i個獲勝神經(jīng)元的第j個樣本，j=1,2,3…,N。令ri=max{dij}，則R=[ri]即為各聚類的半徑。

第二步：將SOM競爭層各獲勝神經(jīng)元的連接權(quán)值向量Wg和所對應(yīng)的聚類半徑R傳送到RBFN的隱層節(jié)點，Wg作為隱層徑向基函數(shù)的中心C，相應(yīng)的R就作為隱層徑向基函數(shù)的寬度σ；然后再將已知樣本X作為RBFN的輸入向量，最終建立完整的RBFN模型，完成預(yù)測。

2 實例應(yīng)用

2.1 研究區(qū)域概況

吉林市由4個行政區(qū)組成，分別為龍?zhí)秴^(qū)、昌邑區(qū)、豐滿區(qū)、船營區(qū)。本文所選長觀井為豐滿區(qū)二道鄉(xiāng)2000——2009年地下水位觀測資料。歷年各月平均地下水位變化如圖3所示，共有120組水位數(shù)據(jù)。選擇其中前108組作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后12組作為驗證模型數(shù)據(jù)。本文分別選擇5、7、10 a的數(shù)據(jù)做3組訓(xùn)練預(yù)測，即分別記為RBF5、RBF7、RBF10，以考查數(shù)據(jù)長度對預(yù)測結(jié)果的影響。

圖3 2000——2009年研究區(qū)地下水位動態(tài)變化曲線Fig.3 Time series plots for monthly average groundwater head data at the station from 2000 to 2009

2.2 SOM-RBFN模型的建立

首先，利用K-S檢驗對數(shù)據(jù)集進(jìn)行檢驗，判斷其是否服從正態(tài)分布，通過SPSS19 計算得到在0.05的顯著性水平下，數(shù)據(jù)檢驗統(tǒng)計值P=0.07，因此本數(shù)據(jù)集服從正態(tài)分布，符合RBFN中高斯核函數(shù)的應(yīng)用。然后對訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，即將它們分為3個輸入量{X1,X2,X3}，分別是月預(yù)測水位的前12個月平均水位，前13個月的平均水位，前1個月的平均水位，作為RBFN模型的3組決定預(yù)測的輸入變量。

利用SOM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對樣本進(jìn)行分類，使樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)由高維降到低維，便于研究，但選擇的目標(biāo)網(wǎng)格要足夠大，使其能較好地將樣本進(jìn)行分類。3組訓(xùn)練數(shù)據(jù)分別選用8×8、8×8、12×12的網(wǎng)格，SOM中連接輸入層和競爭層的初始權(quán)向量設(shè)定在0和1之間，學(xué)習(xí)速率為0.1遞減為0.01之間的不斷變化值。分別經(jīng)過2 400、3 600、5 400次迭代運(yùn)算，SOM完成其對樣本數(shù)據(jù)的分類，并在二維網(wǎng)格中反映出來。分類結(jié)果如圖4所示。

2.3 模型預(yù)測結(jié)果分析

從圖4a中可見，前期48組觀測數(shù)據(jù)被分為7組，即隱層節(jié)點數(shù)為7，然后利用分類后的結(jié)果可以計算出Wg=[0.897 0.834 0.620 0.479 0.367 0.254 0.193]，R=[0.421 0.386 0.360 0.206 0.188 0.237 0.178]。從圖4b中可以看出，前期72組觀測數(shù)據(jù)被分為11組，即隱層節(jié)點數(shù)為11，利用分類后的結(jié)果計算出Wg=[0.906 0.857 0.755 0.644 0.540 0.483 0.423 0.345 0.297 0.235 0.173]，R=[0.440 0.214 0.256 0.207 0.181 0.148 0.152 0.133 0.100 0.111 0.159]。同上，從圖4c中可以看出，前期72組觀測數(shù)據(jù)被分為15組，分類后的計算結(jié)果Wg=[0.215 0.264 0.301 0.320 0.341 0.362 0.468 0.448 0.522 0.562 0.608 0.775 0.648 0.808 0.867]，R=[0.203 0.091 0.083 0.082 0.311 0.144 0.143 0.182 0.164 0.142 0.120 0.288 0.288 0.189 0.497]。將這些參數(shù)分別代入各自的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(RBF5、RBF7、RBF10)中，計算得出模擬期(2001——2008年)及2009年預(yù)測水位與實際水位的對比，如圖5所示。

a. RBF5；b. RBF7；c. RBF10。圖4 觀測井?dāng)?shù)據(jù)二維分類圖Fig.4 2D feature map for the different models of the observation well

a.訓(xùn)練數(shù)據(jù)；b.驗證數(shù)據(jù)。圖5 預(yù)測水位與實測水位對比Fig.5 Comparison of observed groundwater heads and forecasted values

從圖5中可以清晰地看出3個不同系列長度訓(xùn)練數(shù)據(jù)集和驗證集的預(yù)測水位與實測水位的擬合情況。圖5a中易見，無論哪組擬合效果都不是很完美，例如峰值出現(xiàn)的時間存在一定的延遲或超前，但總體趨勢基本符合。圖5b清晰地顯示RBF7神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的地下水位與實測水位的擬合效果較優(yōu)一些，RBF5和RBF10都是在曲線兩端擬合偏差較大，從而導(dǎo)致了總體的擬合效果較差。具體擬合情況可以從均方根誤差(RMSE)、有效系數(shù)(CE)評價標(biāo)準(zhǔn)來看(表1)。均方根誤差的數(shù)值越小代表實測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)之間的差距越小，即預(yù)測效果越好；有效系數(shù)的值越大代表模型模擬精度越高。由表1可知：3組訓(xùn)練數(shù)據(jù)在訓(xùn)練預(yù)測中，RBF7相比其他2個的預(yù)測結(jié)果更好；驗證數(shù)據(jù)即2009年各月的預(yù)測水位的誤差分析，也同樣是RBF7數(shù)據(jù)擬合得最好，但仍有很大改進(jìn)空間，它也只能做到在趨勢上預(yù)估一個區(qū)間范圍，畢竟地下水位變化除了與氣象、下墊面等自然因素有關(guān)外，很大程度上還受地下水開采量變化影響；如果在研究區(qū)出現(xiàn)一種開采情況是與往年不同的，就可能會打破原有的預(yù)測模式，使預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生較大偏差?？傊?，改進(jìn)后的RBFN已經(jīng)能夠更簡單有效地對地下水位進(jìn)行預(yù)測了。

表1 訓(xùn)練與驗證數(shù)據(jù)的3種模型預(yù)測結(jié)果對比

Table 1 Performance comparison of three models for training data and testing data

模型RMSECE訓(xùn)練RBF50.410.62RBF70.360.62RBF100.330.43平均值0.370.56驗證RBF50.510.30RBF70.400.74RBF100.580.43平均值0.500.49

3 結(jié)論

通過SOM改進(jìn)的RBFN預(yù)測地下水水位，解決了RBFN模型自身參數(shù)確定上的問題，實現(xiàn)了SOM-RBFN在地下水動態(tài)預(yù)測中的應(yīng)用，并且對吉林市豐滿區(qū)二道鄉(xiāng)地下水水位進(jìn)行了預(yù)測。由此得出如下結(jié)論：

1)SOM-RBFN可以作為預(yù)測地下水動態(tài)的簡單而有效的工具，尤其是在資料相對缺乏的地區(qū)，能夠在一定程度上為水資源管理提供參考。

2)將觀測井動態(tài)資料分為3組，構(gòu)成RBF5、RBF7、RBF10三組模型，分別訓(xùn)練模擬計算，最終發(fā)現(xiàn)RBF7的擬合結(jié)果更加理想，表明數(shù)據(jù)的多少并不能直接影響模型預(yù)測的結(jié)果，而是要看訓(xùn)練數(shù)據(jù)的組成是否和預(yù)測水位有更大的類似性，如果數(shù)據(jù)組成結(jié)構(gòu)相差較遠(yuǎn)，會增大預(yù)測結(jié)果的誤差。

3)從擬合效果上看， SOM-RBFN在預(yù)測地下水位的精度上仍有很大的提升空間，如何提高RBFN的適應(yīng)能力仍是后續(xù)研究的重點，并且在今后的工作中將加入其他觀測井資料，進(jìn)一步觀察模型預(yù)測結(jié)果與數(shù)據(jù)多少的關(guān)系。

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Application of Combining SOM and RBF Neural Network Model for Groundwater Levels Prediction

Liu Bo1,2, Xiao Changlai1,2, Liang Xiujuan1,2

1.CollegeofEnvironmentandResources,JilinUniversity,Changchun130021,China
2.KeyLaboratoryofGroundwaterResourcesandEnvironment,MinistryofEducation,
JilinUniversity,Changchun130021,China

As the hidden units of radial basis function network (RBF) were optimized by the theory of self-organizing map (SOM), the groundwater levels forecasting error range, due to its structural problems, could be reduced. With the two-dimensional feature map and clustering results of SOM, the number of hidden units, the position and the width of the radial basis centers can be easily determined. The SOM-RBFN model can be established. The accuracy of the model was verified by predicting groundwater level at Erdao Town in Fengman District of Jilin City based on observed groundwater level from 2000 to 2009.In addition, dynamic data of groundwater level for five years (2005-2009), seven years (2003-2009), ten years (2000-2009), are used as study samples and make forecast one by one, which can examine that if the sample size could influence the forecast result. The results prove that SOM-RBFN model can be used in groundwater levels dynamic forecasting, because the averages ofRMSEandCEare 0.43 and 0.52, respectively, which are the relatively good outcomes. And, the averages ofRMSEandCEof RBF7 are 0.38 and 0.68, whose results are better than RBF5 and RBF10. Therefore, it can be known that the amount of data cannot directly influence the accuracy of results.

groundwater level prediction; self-organizing map; radial basis function; neural networks

10.13278/j.cnki.jjuese.201501204.

2014-06-26

吉林省科技引導(dǎo)項目(20080543)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金項目(200801830044)；教育部國家潛在油氣資源項目(OSR-01-07)

劉博(1987——)，男，博士研究生，主要從事地下水科學(xué)與工程研究，E-mail:liu-bo727@163.com

肖長來(1962——)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事資源與水環(huán)境、地下水資源評價與開發(fā)利用研究，E-mail:xcl2822@126.com。

10.13278/j.cnki.jjuese.201501204

P641

A

劉博，肖長來，梁秀娟. SOM-RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在地下水位預(yù)測中的應(yīng)用.吉林大學(xué)學(xué)報:地球科學(xué)版,2015,45(1):225-231.

Liu Bo, Xiao Changlai , Liang Xiujuan. Application of Combining SOM and RBF Neural Network Model for Groundwater Levels Prediction.Journal of Jilin University:Earth Science Edition,2015,45(1):225-231.doi:10.13278/j.cnki.jjuese.201501204.