郭一軍， 劉勝榮， 趙 磊

(黃山學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，安徽 黃山245021)

移動(dòng)機(jī)器人由于具有較高的機(jī)動(dòng)性和靈活性，能夠根據(jù)應(yīng)用需要自主移動(dòng)到工作空間完成操作任務(wù)，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，因此對(duì)其的控制問題引起人們的廣泛關(guān)注。軌跡跟蹤控制是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的重要組成部分，機(jī)器人編隊(duì)、避障、導(dǎo)航功能的執(zhí)行都需要通過機(jī)器人底層的運(yùn)動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)。輪式移動(dòng)機(jī)器人是典型的多輸入多輸出、非線性、欠驅(qū)動(dòng)的非完整系統(tǒng)，對(duì)其的運(yùn)動(dòng)控制富有挑戰(zhàn)性。楊芳等［1］研究了攝像機(jī)未標(biāo)定參數(shù)情況下的非完整移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤問題;馬保離［2］研究了基于狀態(tài)觀測(cè)器的移動(dòng)機(jī)器人路徑跟蹤控制問題;張?chǎng)蔚龋?］探討以兩驅(qū)動(dòng)后輪角速度為控制輸入的移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤問題，設(shè)計(jì)出具有全局漸穩(wěn)的自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制器。

受文獻(xiàn)［4-8］對(duì)軌跡跟蹤問題研究的啟發(fā)，文中基于李亞普諾夫直接法的軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法，在對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的分析的基礎(chǔ)上建立軌跡跟蹤系統(tǒng)誤差模型，并考慮系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束;然后選擇合適的誤差狀態(tài)變量構(gòu)造候選李亞普諾夫能量函數(shù)，結(jié)合李亞普諾夫穩(wěn)定性分析理論，得出系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制律;在Matlab 環(huán)境下對(duì)所設(shè)計(jì)控制律進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明該控制律可以保證軌跡跟蹤誤差漸進(jìn)收斂。

1 輪式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

文中以Unicycle 類型移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象。為了說明移動(dòng)機(jī)器人與慣性坐標(biāo)系的相對(duì)位姿，定義慣性坐標(biāo)系XOY，以移動(dòng)機(jī)器人兩驅(qū)動(dòng)輪軸線中心為原點(diǎn)，線速度方向?yàn)闄M軸，垂直與線速度方向?yàn)榭v軸，定義移動(dòng)機(jī)器人本地參考坐標(biāo)系xoy。假設(shè)機(jī)器人質(zhì)心位于兩驅(qū)動(dòng)輪軸線的中心，則實(shí)際機(jī)器人的位姿在慣性坐標(biāo)系下可以表示為向量

其中，x，y 為其質(zhì)心的坐標(biāo);θ 為其航向角，即機(jī)器人瞬時(shí)前進(jìn)方向與X 軸的夾角。同時(shí)定義期望位姿為

該位姿由虛擬機(jī)器人給定。

如果假設(shè)兩驅(qū)動(dòng)輪與地面間滿足“純滾動(dòng)無(wú)滑動(dòng)”的情況，移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為

移動(dòng)機(jī)器人位姿誤差表示如圖1 所示。

圖1 移動(dòng)機(jī)器人位姿誤差表示Fig.1 Posture errors of the mobile robot

由圖1 可以看出，虛擬機(jī)器人坐標(biāo)系(xvoyv)以vr方向?yàn)閤 軸正向，以vr方向繞x 軸正向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 為y 軸正向，在該坐標(biāo)系內(nèi)軌跡跟蹤誤差矢量e =［xeyeθe］T有如下方程成立［9］:

對(duì)式(2)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型

式中:v，w 為跟蹤機(jī)器人的線速度和角速度;vr，wr為虛擬機(jī)器人的線速度和角速度。

2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

對(duì)非完整移動(dòng)機(jī)器人設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制器就是依據(jù)系統(tǒng)誤差模型，設(shè)計(jì)v，w 使得誤差系統(tǒng)式(3)的狀態(tài)變量對(duì)于任意初始誤差，在控制律作用下［xeyeθe］T有界且滿足

以實(shí)現(xiàn)對(duì)給定參考軌跡的跟蹤。

取候選李亞普諾夫函數(shù)

顯然當(dāng)e ≠0 時(shí)，V(e)為正定函數(shù)，對(duì)V(e)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)可得

式中，c1，c2為大于0 的常數(shù)。所以由李亞普諾夫穩(wěn)定性理論可知，在控制律v，w 作用下，系統(tǒng)式(3)的平衡狀態(tài)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的。證 在控制律作用下，

也有界。

又因

其中，Γ = ［xecosθe+ yesinθe］。由于有界，所以)必定有界，從而)一致連續(xù)，根據(jù)Barbalat 引理有

故

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)控制律的有效性，在Simulink 仿真環(huán)境下對(duì)移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行研究。給定軌跡為單位圓，即選取虛擬機(jī)器人的控制輸入和初始條件:

設(shè)定跟蹤機(jī)器人的初始條件為

在反饋通道疊加零均值高斯白噪聲信號(hào)，圖2 和圖3分別為移動(dòng)機(jī)器人對(duì)X 軸向和Y 軸向給定參考軌跡跟蹤效果。

圖2 X 軸向軌跡跟蹤曲線Fig.2 Curves of X axis trajectory tracking

圖3 Y 軸向軌跡跟蹤曲線Fig.3 Curves of Y axis trajectory tracking

圖4 為機(jī)器人跟蹤過程中位姿誤差變化曲線，圖5 為X 軸向軌跡和Y 軸向軌跡組合后的移動(dòng)機(jī)器人幾何軌跡跟蹤效果。

圖4 位姿誤差變化曲線Fig.4 Curves of posture errors

圖5 幾何軌跡Fig.5 Trajectory of mobile robot

仿真結(jié)果表明，在文中所設(shè)計(jì)速度控制律的作用下，軌跡跟蹤誤差具有滿意的收斂特性，位姿誤差能以較快的速度收斂到零，這說明軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的有效性和符合全局漸近穩(wěn)定特性。

4 結(jié) 語(yǔ)

文中依據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差模型，基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了具有全局漸進(jìn)穩(wěn)定性的軌跡跟蹤控制器。該方法設(shè)計(jì)過程簡(jiǎn)單，控制器參數(shù)調(diào)節(jié)方便，系統(tǒng)的控制效果良好，具有較強(qiáng)的魯棒性。

［1］楊芳，王朝立.不確定非完整移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制［J］.控制工程，2012，19(2):258-261.

YANG Fang，WANG Chaoli. Trajectory tracking control for uncertain nonholonomic mobile robots［J］. Control Engineering of China，2012，19(2):258-261.(in Chinese)

［2］馬保離.基于觀測(cè)器的輪式移動(dòng)機(jī)器人路徑跟蹤控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，24(5):756-760.

MA Baoli.Observer-based path following control of wheeled mobile robots［J］. Control Theory and Applications，2007，24(5):756-760.(in Chinese)

［3］張?chǎng)危瑒ⅧP娟.基于動(dòng)力學(xué)模型的輪式移動(dòng)機(jī)器人自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2012，31(1):108-112.

ZHANG Xin，LIU Fengjuan. Dynamic model-based adaptive sliding-mode trajectory tracking control over wheeled mobile robot［J］.Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2012，31(1):108-112.(in Chinese)

［4］Bruno Siciliano，Oussama Khatib.Handbook of Robotics［M］.Berlin:Springer-Verlag，2008:805-810.

［5］張瑞雷，李勝，陳慶偉.車式移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)態(tài)編隊(duì)控制方法［J］.機(jī)器人，2013，35(6):651-654.

ZHANG Ruilei，LI Sheng，CHEN Qingwei.Dynamic formation control for car-like mobile robots［J］. Robot，2013，35(6):651-654.(in Chinese)

［6］葉錦華，李迪，葉峰.不確定輪式移動(dòng)機(jī)器人的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制［J］. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，41(8):47-53.

YE Jinhua，LI Di，YE Feng. Finite-time stabilization control of uncertain wheeled mobile robot［J］. Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2013，41(8):47-53.(in Chinese)

［7］于浩，宿浩，楊雪.基于引導(dǎo)角的輪式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制［J］.控制與決策，2015，30(4):635-639.

YU Hao，SU Hao，YANG Xue. Guidance angle based trajectory tracking for wheeled mobile robots［J］. Control and Decision，2015，30(4):635-639.(in Chinese)

［8］Takanori Fukao，Hiroshi Nakagawa，Norihiko Adachi.Adaptive tracking control of a nonholonomic mobile robot［J］.Robotics and Automation，2000，16(5):609-615.

［9］Martins N A，Elyoussef E S，Bertol D W，et al.Trajectory tracking of a nonholonomic mobile robot with kinematic disturbances:a variable structure control design［J］.Latin America Transactions，2011，9(3):276-281.