陳 強， 樓成林

(浙江工業(yè)大學 信息工程學院，浙江 杭州310023)

隨著電力電子技術(shù)、計算機控制技術(shù)、信息技術(shù)的飛速發(fā)展，伺服系統(tǒng)已經(jīng)以其優(yōu)異性能得到廣泛應(yīng)用。但是，由于摩擦環(huán)節(jié)的存在，伺服系統(tǒng)的性能仍然受到了較大的限制。為了克服摩擦力帶來的影響，有必要對摩擦的補償問題進行研究。

在實際工程中，為了克服摩擦力帶來的影響，許多摩擦補償?shù)姆椒ū惶岢?。向紅標等［1］提出了基于LuGre 模型的自適應(yīng)摩擦補償。LuGre 模型能夠較為準確地反映機械中的摩擦現(xiàn)象，這使得它得到了廣泛的應(yīng)用。然而，由于LuGre 模型需要復(fù)雜的參數(shù)辨識過程，這使得其在實際的補償中有很多困難。徐小平等［2］提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的摩擦力混合模型。該方法引入柔性Sigmoid 函數(shù)與RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)，構(gòu)造出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合模型用于實現(xiàn)非線性摩擦特性的智能建模。WANG G L 等［3］提出了具有自適應(yīng)能力的支持向量網(wǎng)絡(luò)，并且在線實現(xiàn)了摩擦殘余不確定性的補償，得到了較為理想的仿真效果。林旭梅［4］進一步提出了最小二乘支持向量機的方法，利用最小二乘支持向量機的逼近功能建立摩擦力的模型。

在摩擦補償?shù)幕A(chǔ)上，許多控制方法被提出來。如PID 控制，滑?？刂疲床娇刂频?。羅進生等［5］利用支持向量機對PID 的參數(shù)進行自整定，實現(xiàn)了對非線性系統(tǒng)的有效控制;劉強等［6］設(shè)計了自適應(yīng)滑?？刂破髂苓m應(yīng)參數(shù)的大范圍變化，抑制非線性干擾;周金柱等［7］結(jié)合支持向量機摩擦建模，使用反步控制法，針對不確定非線性系統(tǒng)，通過逐步修正算法設(shè)計控制器，實現(xiàn)系統(tǒng)的全局跟蹤;HUANG Sunan 等［8］利用動態(tài)面的控制方法，用一個一階濾波器解決了反步控制法中求導(dǎo)困難的問題。

文中提出一種基于最小二乘支持向量機摩擦建模的機電伺服系統(tǒng)動態(tài)面控制方法。該方法通過利用最小二乘支持向量機的逼近功能，對摩擦力進行建模，進而根據(jù)建立的模型結(jié)合動態(tài)面的控制方法設(shè)計了控制器，提高了摩擦補償?shù)男Ч?，仿真研究結(jié)果表明了該方法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

機電伺服系統(tǒng)通常是電機通過傳動比為i 的減速器驅(qū)動負載轉(zhuǎn)動，系統(tǒng)的方程為

其中，θm，ωm分別為電機輸出軸位置和轉(zhuǎn)速;J 和D為折算到電機軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量和等效阻尼系數(shù);Kt為電機扭矩常數(shù);u 為控制量;T 為負載摩擦扭矩。摩擦力矩T 可以表示為

其中，Td= β| ωl| + ζ1為摩擦的動態(tài)擾動部分;TN為負載速度ωl的靜態(tài)摩擦力矩函數(shù)，文中通過最小二乘支持向量機建立。因此，摩擦模型最終為

其中，ΔT 為摩擦力矩的不確定性，它主要由動態(tài)摩擦的擾動誤差ζ1和靜態(tài)摩擦的建模誤差組成。整理式(1)和式(3)，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

2 最小二乘支持向量機摩擦建模

根據(jù)伺服系統(tǒng)的實際工作條件，可以確定電機正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動速度范圍是［0，ωmax］和［ωmin，0］;在標稱條件下，可以在該速度范圍內(nèi)確定每個速度樣本及其對應(yīng)的摩擦力矩樣本數(shù)據(jù)為

利用標稱條件下的樣本數(shù)據(jù)集和最小二乘支持向量機建立以下模型

其中，W 為權(quán)重矩陣;φ(ωm)為轉(zhuǎn)動速度ωm的核函數(shù)。根據(jù)式(6)，設(shè)計拉格朗日函數(shù)為

對應(yīng)每一個轉(zhuǎn)動速度ω 都有

利用最小二乘法可以構(gòu)造如下等式

對式(9)各變量求偏導(dǎo)可得

整理式(10)后可得

求解式(11)可得

其中 A = Ω + I/γ。

3 動態(tài)面控制器設(shè)計

將式(1)改寫為

式中:x1= θm為電機輸出軸位置;x2= ωm為電機輸出軸轉(zhuǎn)速。

定義跟蹤誤差為

其中，x1d為跟蹤參考信號。對式(14)求導(dǎo)，可得

設(shè)計Lyapunov 函數(shù)為

對式(16)求導(dǎo)得

其中，k1＞0。

其中，τ ＞0 為時間常數(shù)。定義

設(shè)計Lyapunov 函數(shù)為

對式(21)求導(dǎo)，并將式(13)、式(19)代入其中得

定義

對式(23)求導(dǎo)得

式(24)可改寫為

其中，| f(¨x1d，k1S1)|≤M，M ＞0 是一個常數(shù)。

設(shè)計Lyapunov 函數(shù)為

對式(26)求導(dǎo)，并將式(22)、式(24)代入計算得

設(shè)計控制器u 為

式中:k2＞0 為正常數(shù);參數(shù)TN可以根據(jù)最小二乘支持向量機建模得到TN= fsvrm(ωm);β 和ΔT 為已知參數(shù)。

定理1 給定伺服系統(tǒng)式(3)和跟蹤誤差式(14)，選擇控制器式(28)，則系統(tǒng)跟蹤誤差一致最終有界。

證 針對系統(tǒng)式(3)設(shè)計Lyapunov 函數(shù)為

對式(29)求導(dǎo)，并將控制器代入其中可得

式中，η ＞0 為常數(shù)。

其中，a ＞0 為一個常數(shù)。

將式(31)代入式(30)可以得到

4 仿真結(jié)果及分析

為驗證所提方法的優(yōu)越性，文中分別對摩擦力補償前和補償后的控制效果進行仿真比較。在仿真中初始條件和部分參數(shù)設(shè)置保持一致。

仿真中，模型(1)的參數(shù)為J = 0.5 kg·m2，D =0.3 N·m·(rad/s)，Kt= 1，i = 10;控制器參數(shù)選擇k1= 5，k2= 5。使用LuGre 摩擦模型仿真獲得數(shù)據(jù)樣本，仿真參數(shù)為FC= 26 N·m，F(xiàn)S= 36 N·m，ωs=0.517 rad/s，σ0=105N·m，σ =0.5 N·m，σ2= 2 N·m。原數(shù)據(jù)經(jīng)過處理得到數(shù)據(jù)樣本集合G。根據(jù)樣本合集G，使用最小二乘支持向量機建模。

在輸入信號為y = sin(t)的作用下，補償前后的控制效果對比如圖1 ～圖3 所示。其中:θref為期望信號;θ1和θ2分別為補償前和補償后的跟蹤信號;e1和e2分別為補償前和補償后的跟蹤誤差。圖1給出了系統(tǒng)跟蹤效果對比曲線。圖2 給出了系統(tǒng)跟蹤誤差曲線，圖3 給出了最小二乘支持向量機摩擦建模曲線。

圖1 跟蹤效果對比Fig.1 Comparison of the tracking effect

圖2 跟蹤誤差對比Fig.2 Comparison of the tracking errors

由圖1 和圖2 可以看出，補償后的位置狀態(tài)對期望信號的跟蹤效果更好，其跟蹤誤差在± 0.03 rad 范圍內(nèi)變化，小于補償前的。

圖3 最小二乘支持向量機摩擦建模Fig.3 Least squares support vector machine friction modeling

由圖3 可以看出，最小二乘支持向量機能比較準確地逼近摩擦力F，其估計誤差小于0.04 N。

為更好的體現(xiàn)摩擦力補償之后的效果，在控制器參數(shù)都不變的情況下，改變輸入信號，比較兩種情況下的跟蹤效果。圖4 ～圖6 分別給出了期望信號為y = sin(t)+ cos(t)的系統(tǒng)跟蹤效果對比曲線、系統(tǒng)跟蹤誤差曲線、最小二乘支持向量機摩擦建模曲線。

圖4 跟蹤效果對比Fig.4 Comparision of the tracking effect

圖5 跟蹤誤差對比Fig.5 Comparison of the tracking errors

由圖4 和圖5 可以明顯看出，在參數(shù)不變，期望信號改變的情況下，補償前的跟蹤誤差在± 0.25 rad 范圍內(nèi)變化，而在補償后，誤差在6 s 后穩(wěn)定在±0.1 rad 范圍內(nèi)。因此，補償后的跟蹤效果更好，跟蹤誤差更小。

圖6 最小二乘支持向量機摩擦建模Fig.6 Least squares support vector machine friction modeling

由圖6 可以看出，最小二乘支持向量機能比較準確地逼近摩擦力F，其估計誤差小于0.04 N。

5 結(jié) 語

文中提出了一種基于最小二乘支持向量機摩擦建模補償?shù)膭討B(tài)面控制方法，用于解決機電伺服系統(tǒng)摩擦不確定的控制問題，避免了傳統(tǒng)方法中的參數(shù)辨識，故能使用較少的數(shù)據(jù)建立模型。根據(jù)最小二乘支持向量機設(shè)計的動態(tài)面控制器可有效地減弱摩擦對與控制性能的影響，提高系統(tǒng)的跟蹤精度。

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