張寶成，袁運斌，蔣振偉

1.中國科學院測量與地球物理研究所動力大地測量學國家重點實驗室，湖北 武漢430077；2.北京空間信息中繼傳輸技術研究中心，北京100094

1 引 言

兩臺GNSS接收機可形成一條基線，對其同步觀測的偽距和相位觀測值實施雙差，可建立一組包含相對位置和雙差模糊度等參數(shù)的觀測方程，以用于實施相對定位等應用［1－3］。其中，實時數(shù)據(jù)處理和整周模糊度固定能分別確保各類參數(shù)估值的時效性和可靠性［4－5］。為此，通常采用卡爾曼濾波估計參數(shù)，并需要在相鄰歷元之間傳遞雙差模糊度的濾波值。然而，當前后歷元的雙差模糊度所對應的參考星不同時，還需要構造一個轉換矩陣，用于將雙差模糊度“映射”至當前歷元的參考星，以確保傳遞的準確性和濾波的連續(xù)性。實際中，造成參考星發(fā)生改變的典型因素包括：①原參考星不可視；②原參考星的相位觀測值被探測出粗差或周跳；③原參考星的高度角變低（若始終將高度角最大的衛(wèi)星用作參考星）等。

本文提出了一種基于站間單差觀測方程的GNSS單基線濾波算法。在消除了由于接收機相位鐘差和站間單差模糊度所引起的列秩虧后，可估的模糊度參數(shù)將仍具備雙差形式和整數(shù)特性。另外，該算法還能更為直接地估計若干類“偏差”參數(shù)：①接收機鐘差，可服務精密授時、時間傳遞等應用［6－10］；②接收機差分偽距偏差，用于獲取“無偏的”電離層延遲等信息［11－16］；③接收機相位鐘差，常用作頻率傳遞的基本輸入［9－10］。

理論上，當在隨機模型中考慮由雙差（或單差）運算所引起的數(shù)學相關，并假定經(jīng)雙差（或單差）過程所消去的各類參數(shù)均為時變參數(shù)（即歷元間無關聯(lián)）時，濾波分別采用雙差和單差觀測方程實施參數(shù)估計將具備等價性［17－18］。本文側重于強調濾波基于兩種觀測方程的實施差異。針對雙差濾波模型，概括了處理參考星變換的具體方案，構造了對應于不同參考星的兩組雙差模糊度間的轉換矩陣，同時論述了定義不同參考星對雙差模糊度和接收機相位鐘差可估性的影響。在此基礎上，明確了單差濾波模型的兩種實際便利性：①無須變換參考星，避免了傳遞雙差模糊度濾波值時的“映射”等運算；②接收機相位鐘差濾波值中不再存在“整周跳躍”現(xiàn)象，因此能更真實地反映接收機鐘的頻率穩(wěn)定性。

2 單基線GNSS數(shù)據(jù)處理

經(jīng)由線性化，GNSS非差偽距和相位觀測方程可聯(lián)合地表示為［19－20］

式中，E（·）是數(shù)學期望運算符和分別表示偽距和相位觀測值，其上標s和i代表衛(wèi)星和歷元，下標r和j則為接收機和頻率是4×1的幾何參數(shù)向量，分別包含了三維位置增量和天頂對流層延遲（ZTD）；系數(shù)由r－s單位方向向量和 ZTD 投影函數(shù)構成和對應于接收機偽距和相位鐘差，各自分別吸收了接收機偽距和相位偏差和為衛(wèi)星偽距和相位鐘差；為非差模糊度，單位為周；系數(shù)λj表示波長。本文假定，除外，其余參數(shù)均為時變參數(shù)。

在確保結論適用性的前提下，為簡化隨后的推導和論述，此處假定電離層延遲可被站間單差（針對短基線）或形成消電離層組合（針對中長基線）等手段消除，式（1）中因此未包含電離層延遲參數(shù)。

2.1 雙差濾波模型的參考星變換方案與影響

假定構成基線的兩臺接收機（r＝1，2）在當前歷元i共觀測了m顆衛(wèi)星（s＝1，2，…，m）在f個頻率（j＝1，2，…，f）上的偽距和相位觀測值，此時全部非差觀測值的個數(shù)為4fm。為構造對應的雙差觀測值，可分別將第1顆衛(wèi)星和第1個接收機用作參考星和參考站，以定義雙差算子

式中，Dr＝［－1 1］和分別為站間和星間單差算子；I為單位矩陣，下標表示其維數(shù)；em－1是各元素均為1的m－1維列向量。

將依次左乘全部的非差偽距和相位觀測值，可得2f（m－1）個相應的雙差觀測值，其觀測方程即為

式中，s≠1和和（·）r1分別代表雙差、星間單差和站間單差變量。

由于雙差運算完全消除了各類鐘差參數(shù)，式（3）無法直接地滿足時頻傳遞應用，為此，還需引入2f個對應于參考星（s＝1）的站間單差觀測方程

式中

在利用卡爾曼濾波處理多歷元（i≥2）觀測值時，須合理地考慮雙差模糊度不隨時間變化的特性，以遞歸地增強各類參數(shù)的濾波解精度。因此，需要對上一歷元的雙差模糊度濾波值實施一步時間預報，并將該預報值用作當前歷元雙差模糊度參數(shù)的“偽觀測值”。在此之前，若相鄰歷元構造雙差觀測值時所定義的參考星不同，還需要借助線性變換運算，用于“對齊”兩個歷元的雙差模糊度。

以兩相鄰歷元i和i＋1為例，設各自對應的雙差模糊度向量為

即，它們均對應m顆相同的衛(wèi)星（s＝1，2，…，p，q，…，m），但分別以第p和q顆衛(wèi)星作為參考星（衛(wèi)星排序為q＝p＋1≥2）。此時，可定義如下的轉換矩陣Ti，以實現(xiàn)

式中，將單位陣Im－1的第q－1列用－em－1代替，即可得矩陣，以用于將對應于參考星p的雙差模糊度“映射”至參考星q。

若當衛(wèi)星排序為1≤q＋1＝p時，Ti則可定義為

式中，矩陣定義與式（7）中的類似，此處不再詳述。

在濾波過程中，須涉及上述雙差模糊度“映射”運算的情況包括：

（1）原參考星p消失。此時，通過選定新的參考星q（此處僅考慮q＝p＋1），構造形如式（7）的Ti矩陣，可分別將Mi和其協(xié)方差轉換為和

式中，（·）T表示矩陣轉秩運算。之后，剔除ˉMi中的第p個元素（即p相對于q的雙差模糊度），并刪除所包含的第p個行、列向量后，即可聯(lián)合地被預報至歷元i＋1。

（2）原參考星p的相位觀測值存在周跳。由于前后歷元衛(wèi)星個數(shù)不變，在完成式（9）所涉及的運算后，即可將和傳遞至歷元i＋1，以用作“偽觀測值”向量。此時，可認為中第p個元素包含“粗差”，為消除其影響，可對其引入一個額外的未知參數(shù)。

值得注意，對于上述情況，需確保新參考星q在相鄰歷元i和i＋1均可視。

另外，之前已指出，估計接收機鐘差直接依賴參考星的站間單差觀測方程，參考星變換還會對接收機鐘差的可估性造成影響。若兩歷元i和i＋1對應的參考星分別是p和q，由式（5）可知，兩歷元的接收機相位鐘差和之差，包含了由（即q和p之間的雙差模糊度）所引起的“整周跳躍”。

2.2 無須變換參考星的單差濾波模型

式中，各符號的含義可參見式（3）—式（5）。

易知，式（10）對應的設計矩陣列秩虧，可導致參數(shù)解不唯一［21］。為此，可將第1顆衛(wèi)星（s＝1）的模糊度定義為“基準”，用于消除接收機相位鐘差與所有模糊度之間的線性相關。此后，式（10）即具備如下的滿秩形式

與雙差模型類似，當濾波采用式（11）所表示的單差觀測方程時，也需要傳遞相鄰歷元間的雙差模糊度濾波值。針對歷元i＋1，若對應于“基準”模糊度參數(shù)（即）的衛(wèi)星（即s＝1，其作用類似雙差模型所定義的參考星）消失，其處理方式盡管仍可采用雙差模型中變換參考星的策略，但這并非必要。

需要明確，針對每一顆衛(wèi)星，在其可被連續(xù)跟蹤的時段內，其單差模糊度是時不變參數(shù)，個數(shù)為j。這也意味著，對于多歷元數(shù)據(jù)處理而言，由單差模糊度和接收機相位鐘差所引起的秩虧數(shù)也始終為j，而與歷元數(shù)無關。因此，當在某個歷元（如i）選取了某顆衛(wèi)星（如s＝1）的j個單差模糊度（即）作為“基準”時，其余衛(wèi)星的單差模糊度，s＝2，3，…，m）將吸收，從而具備了雙差形式（即）。當被預報至隨后歷元（如i＋1）時，即使對應的衛(wèi)星s＝1消失，中的分量可繼續(xù)充當“基準”模糊度。

綜合上述考慮，歷元i＋1的單差觀測方程可被表示為

式中，s＝2，3，…，m。對比歷元i的單差觀測方程（見式（11））可知：

（1）可估的雙差模糊度仍相對于衛(wèi)星s＝1。這也表明，兩歷元（i和i＋1）的雙差模糊度均對應相同的“基準”單差模糊度，因此不需要實施“映射”運算。

（2）可估的接收機相位鐘差的含義為

與歷元i的估值相比（含義見式（5）），除真正鐘差的變化外，兩者均包含了相同的“基準”單差模糊度（對應衛(wèi)星s＝1），即不再受“整周跳躍”的影響。

針對聯(lián)合兩個歷元i和i＋1的數(shù)據(jù)處理，雙差模型選后定義了第s＝1和s＝q共兩個參考星，而在單差模型中，其雙差模糊度則始終對應于衛(wèi)星s＝1。但兩種模型所包含的雙差模糊度個數(shù)相等，且可被一致地“映射”至參考星s＝q（該衛(wèi)星在兩歷元內均可視），由此可簡單地證明其等價性。

3 試驗分析

本節(jié)分別利用雙差和單差濾波模型處理了兩條基線的雙頻GPS觀測數(shù)據(jù)，用于分析參考星變換對雙差模糊度和接收機相位鐘差可估性的影響。

3.1 數(shù)據(jù)處理

表1描述了兩條基線的若干基本要素。其中，CUAA－CUT3的基線長度僅為8.4m，站間單差運算可充分消除觀測值中的大氣延遲。此時，雙差模糊度固定的效率和成功率較高，相關的數(shù)據(jù)處理結果將用于分析參考星變換對雙差模糊度可估性的影響。STAR－LALB的基線長度約為105km，相應的單差/雙差觀測方程中需引入電離層延遲和ZTD參數(shù)，其數(shù)據(jù)處理結果將用于考察參考星變換對接收機相位鐘差可估性的影響。另外，該基線的觀測時長僅為21h。

表1 試驗數(shù)據(jù)描述Tab.1 Description of experimental data set

數(shù)據(jù)處理采用了廣播星歷，用于計算各GPS衛(wèi)星在信號發(fā)射時刻的位置：對于本節(jié)所分析的基線長度而言，站間單差運算將能充分地消除星歷誤差。天頂方向衛(wèi)星的非差偽距和相位標準差分別選取為30cm和0.3cm。采用高度角加權并考慮數(shù)學相關性，以最終確定單差和雙差觀測值的標準差。衛(wèi)星截止高度角為20°，以盡量剔除低精度、強多路徑的觀測值。

式（3）和式（4）對應于雙差濾波模型的觀測方程。為形成雙差觀測值，確定參考星的準則是：在首個觀測歷元（i＝1），選取PRN最小的衛(wèi)星作為參考星。之后，在該參考星消失（或被探測出周跳）的當前歷元，選取另一個PRN最小的衛(wèi)星作為新參考星（該衛(wèi)星還需在當前和上一個歷元均可視）。需要強調，該參考星選取準則是為了人為地增加參考星變換的頻率，以便于驗證本文推導和相關論述的正確性。

類似的，式（11）對應單差濾波模型的觀測方程。需要指出，為克服模糊度與接收機相位鐘差之間的秩虧，在首個觀測歷元將對應于PRN最小衛(wèi)星的單差模糊度約束為“基準”。顯然，該衛(wèi)星與雙差模型中第一次使用的參考星一致。

最后，各類濾波參數(shù)的初始值采用最小二乘平差首個歷元的全部觀測數(shù)據(jù)得到。之后，濾波一步時間預報僅傳遞時不變的雙差模糊度。

3.2 結果分析

3.2.1 CUAA－CUT3基線

圖1中列出了兩顆衛(wèi)星（PRN 7和PRN 23）相對于某（些）參考星的L1頻率雙差模糊度濾波值。以圖1（a）中PRN 7結果為例，分析可得以下兩點結論。

（1）在該衛(wèi)星出現(xiàn)的約5h時段內，雙差濾波模型先后定義了4個不同的參考星（見紅色線），導致了其雙差模糊度濾波值（藍色虛線）中存在3次“跳躍”。盡管對應于不同的參考星，所有雙差模糊度的濾波值均非常接近（不同的）整數(shù)，證明了采用本文式（9）“映射”雙差模糊度的正確性。

（2）對于單差濾波模型，其雙差模糊度濾波值（綠色虛線）均包含了第一顆參考星（PRN 1）的“基準”模糊度，其估值在整個觀測時段內保持連續(xù)，且接近同一個整數(shù)。同樣，在最初的一段時間內，由于對應相同的參考星，兩種濾波模型所估計的雙差模糊度相等。

另外，對于圖1（b）所繪PRN 23的兩類雙差模糊度的濾波值，其特性類似。

前文已述，針對雙差濾波模型，若參考星由上一歷元的p變?yōu)楫斍皻v元的q時，以某非參考星s為例，其相對于新、舊參考星p和q的雙差模糊度分別為和，其差值應等于－。為驗證該結論的可靠性，圖2列出了16次參考星變換時刻和的估值（固定解，分別對應L1和L2頻率）。對比可知，圖1（a）中（或（b）中），藍色線所表示的雙差模糊度濾波值在參考星變換后所發(fā)生3次（或2次）“跳躍”的量級確實與圖2中圓圈所表示的前3（或前2）組結果大小相等、符號相反。

3.2.2 STAR－LALB基線

圖3（a）和圖3（b）中分別繪出了接收機偽距鐘差（對應C1）與雙頻接收機相位鐘差（分別對應L1和L2）之差，并除以相應的波長，以將單位轉換為周。需要指出，該差值實際上是雙頻接收機相位偏差［22］。以圖3（a）結果為例，分析可知：

（1）在濾波開始的前3個多小時內（對應圖中黑色橢圓），雙差濾波模型所采用的參考星為PRN 1（用紅色線表示），而單差濾波模型同樣將該衛(wèi)星的模糊度定義為“基準”。在此期間，由于其可估性一致，兩種濾波模型所估計的接收機相位偏差（分別用藍線和綠線表示）互相重合。

（2）當PRN 1消失時，雙差濾波模型重新定義了PRN 4作為新的參考星。此時，相應的接收機相位鐘差的可估性發(fā)生改變，導致了圖3（a）中的接收機相位偏差出現(xiàn)了“跳躍”現(xiàn)象。其原因是，在參考星變換前后的兩個歷元時刻，接收機相位鐘差內分別包含了對應于PRN 1和PRN 4的模糊度，上述“跳躍”的量級即為PRN 4和PRN 1之間的雙差模糊度，并具備整數(shù)特性。相反，由于在濾波過程中實現(xiàn)了“基準”模糊度在歷元間的傳遞，單差濾波模型估計的接收機相位偏差中始終包含一致的“基準”模糊度，即使在PRN 1消失后，也仍能保持連續(xù)。

（3）值得注意的是，在雙差濾波模型估計的接收機相位偏差發(fā)生“跳躍”后，與相對應的單差濾波模型結果相比，兩者存在一個整數(shù)常偏，但變化行為一致。即，在有效地補償該“跳躍”后，兩類濾波模型所估計的接收機相位鐘差（偏差）將完全相等。

圖3（b）中所表示的L2頻率接收機相位偏差估值具備類似的行為，此處不再詳細討論。

對于雙差濾波模型，當參考星由p變?yōu)閝后，接收機相位偏差的濾波值將出現(xiàn)量級為的“整周跳躍”。與圖2類似，圖4列出了全部變換參考星時刻（共10次）的和估值（固定解，分別對應L1和L2頻率）。分析可知，圖3中雙頻接收機相位偏差濾波值（藍色線）所經(jīng)歷的10次“跳躍”的量級與圖4中10組估值的大小完全相等。

圖1 L1頻率上兩個衛(wèi)星（PRN 7和23）的雙差模糊度估值Fig.1 L1DD integer ambiguities of two representative satellites（PRNs 7and 23）

圖2 參考星變換時刻，由新、舊參考星所形成的雙差模糊度整數(shù)估值（L1和L2）Fig.2 At the instants of changing pivot satellite，the estimates of integer DD ambiguities associated with two（old and new）pivots satellites

4 總結和討論

針對單基線GNSS數(shù)據(jù)處理，通常采用雙差觀測值，以消除接收機/衛(wèi)星的鐘差、偽距和相位偏差等參數(shù)，同時還能削弱大氣延遲和軌道誤差。在采用卡爾曼濾波估計參數(shù)時，通常預報并傳遞相鄰歷元的雙差模糊度，以增強各類參數(shù)的濾波解精度。在此過程中，當前后歷元定義的參考星發(fā)生變化時，需要對相應的雙差模糊度實施“映射”，以確保濾波連續(xù)。此后，兩類參數(shù)如雙差模糊度和接收機相位鐘差的估值中將出現(xiàn)量級相等、符號相反的“整周跳躍”。

圖3 接收機偽距鐘差（C1）與雙頻接收機相位鐘差（L1和L2）與之差Fig.3 The offsets between receiver phase clock（L1and L2）and receiver code clock（C1）

圖4 參考星變換時刻，由新、舊參考星所形成的雙差模糊度整數(shù)估值（L1和L2）Fig.4 At the instants of changing pivot satellite，the estimates of integer DD ambiguities associated with two（old and new）pivots satellites

若上述數(shù)據(jù)處理采用站間單差觀測值，則需要事先克服接收機相位鐘差與單差模糊度線性相關所引起的列秩虧。本文通過定義某衛(wèi)星的單差模糊度為一類“基準”參數(shù)，消除了相應的秩虧，此后剩余的可估模糊度即具備了雙差形式和整周特性。在實施濾波的過程中，一步時間預報相鄰歷元的雙差模糊度，可自動傳遞該“基準”模糊度參數(shù)，使得不同歷元的雙差模糊度參數(shù)均對應于統(tǒng)一的“基準”，由此避免了“映射”雙差模糊度的過程，進而消除了存在于部分參數(shù)中的“整周跳躍”現(xiàn)象。由此表明，與雙差濾波模型相比，單差濾波模型的運算效率更高，估計的接收機相位鐘差可直接用作頻率傳遞的輸入。

最后，需要指出，為形成雙差，本文采用剩余衛(wèi)星與某一顆參考星作差的方式。實際上，構造雙差的方式并不唯一。例如，通過對所有衛(wèi)星序貫作差也可以形成雙差。但這類雙差濾波模型的實施過程更為復雜：除首尾衛(wèi)星外，任何衛(wèi)星的消失均需要“映射”雙差模糊度，因此接收機相位鐘差估值中也會存在更為頻繁的“整周跳躍”。比較而言，單差濾波模型的優(yōu)勢也更加明顯。

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