尹章才，孫華濤，陳雪菲，劉清全

1.武漢理工大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢430070；2.武漢大學(xué)中國南極測繪研究中心，湖北 武漢430072

移動對象生成的軌跡由典型的基于離散時(shí)間觀測的位置樣本點(diǎn)組成，在兩個(gè)相鄰樣本點(diǎn)之間移動對象在任意時(shí)刻所處的位置是不確定的［1］。這種不確定的位置的全體或并集，在經(jīng)典時(shí)間地理中通過時(shí)空棱柱體來描述［2－6］。時(shí)空棱柱體在交通網(wǎng)絡(luò)空間退化為位于交通網(wǎng)上的垂直切面［7－10］。這些時(shí)空體并不區(qū)分移動對象位于不同位置的可能性的差異，即認(rèn)為移動對象在可達(dá)范圍內(nèi)呈均勻分布。然而，根據(jù)地理學(xué)第一定理［11］，在初始時(shí)刻ts位于起點(diǎn)的移動對象，在時(shí)刻ts＋Δt位于起點(diǎn)附近的可能性會很大［9］；或者，在結(jié)束時(shí)刻te位于止點(diǎn)的移動對象，在時(shí)刻te－Δt位于止點(diǎn)附近的可能性會很大。這意味著，在時(shí)刻t∈［ts，te］移動對象分布在不同可達(dá)位置的可能性不總是均勻的。

為了能定量描述移動對象在空間分布上的非均一性，文獻(xiàn)［12］提出了模糊時(shí)空體但尚未研制分析工具，文獻(xiàn)［13］給出了概率時(shí)間地理的概念［13］。隨后，時(shí)間地理的概率建模算法不斷被提出與發(fā)展。文獻(xiàn)［9，14］采用截?cái)嗾龖B(tài)表達(dá)移動對象的空間概率分布，其方差隨最大移動速度（vmax）的增大而缺乏收斂性。文獻(xiàn)［15—16］采用截?cái)嗖祭蕵虮磉_(dá)移動對象的空間概率分布，但布朗橋的方差與現(xiàn)實(shí)速度vmax無關(guān)，因而難以直接模擬現(xiàn)實(shí)的時(shí)間地理。基于此，本文提出基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理算法，其方差一方面隨現(xiàn)實(shí)速度vmax的變化而變化，從而能表達(dá)vmax與移動對象空間概率分布的相關(guān)性，另一方面隨vmax的增大而趨于穩(wěn)定，從而保持與中心極限定理的一致性。

1 研究背景

1.1 經(jīng)典時(shí)間地理

現(xiàn)實(shí)地理世界的運(yùn)動軌跡通常是連續(xù)的（圖1（a）），而在時(shí)空數(shù)據(jù) 庫［17－20］中往 往被抽樣成離散的點(diǎn)（圖1（b））。在采用序列離散的樣本點(diǎn)表達(dá)移動軌跡時(shí)，會造成移動對象位于兩相鄰樣本點(diǎn)之間位置的缺失，這在樣本點(diǎn)足夠密集時(shí)通過空間插值可以進(jìn)行彌補(bǔ)。然而，能完全填補(bǔ)這一缺失的模型，是經(jīng)典時(shí)間地理的潛在路徑 區(qū) 域（potential path area，PPA）［21］，它 是移動對象位于兩相鄰樣本點(diǎn)之間的所有可達(dá)位置（圖1（c））。

圖1 地理與時(shí)間地理Fig.1 Geography and time geography

在時(shí)刻ts位于起始樣本點(diǎn)s的移動對象，以最大速度vmax在時(shí)刻te到達(dá)下一個(gè)樣本點(diǎn)e的運(yùn)動，是一個(gè)定向的移動過程。在假設(shè)地理空間為均質(zhì)的經(jīng)典時(shí)間地理中，定向移動在時(shí)間［0，T＝te－ts］內(nèi)的可達(dá)位置是一個(gè)PPA：以s、e為焦點(diǎn)以a＝vmaxT/2為半長軸的橢圓；在時(shí)刻t∈［0，T］的可達(dá)位置則為平面時(shí)空棱柱體（planar space－time prisms）［16］或棱鏡（圖2（a）），即這樣兩個(gè)圓的交集：一個(gè)是以s為中心以rs＝vmaxt為半徑的圓，另一個(gè)是以e為中心以re＝vmax（T－t）為半徑的圓。其中，兩圓的交點(diǎn)構(gòu)成了橢圓。

圖2 棱鏡與棱柱體Fig.2 Diamond and its space－time prism

在x－y－t空間，上述兩個(gè)圓可形成兩個(gè)反向的圓錐體（圖2（b））：圓錐中軸線與其母線的夾角的正切函數(shù)就是vmax［9］。兩圓錐體的交集是一個(gè)時(shí)空棱柱體，它在時(shí)刻t就退化為一棱鏡，在平面x－y的投影就是PPA。

1.2 概率時(shí)間地理

概率時(shí)間地理認(rèn)為移動對象在任意時(shí)刻以一定的概率值分布在可達(dá)范圍［9，14］，而且同一位置的概率值會隨時(shí)間推移而發(fā)生變化。這種基于概率定量化擴(kuò)展的時(shí)空體稱概率時(shí)空體，包括概率圓錐體［14］（圖3（a））和概率棱柱體［9］（圖3（b））。

圖3 概率時(shí)間地理Fig.3 Probabilistic time geography

移動對象的隨機(jī)運(yùn)動可采用隨機(jī)走進(jìn)行模擬。簡單的隨機(jī)走可定義為［26］：設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上隨機(jī)游動，每隔一單位時(shí)間Δt移動一次，每次只能向左或向右移動一個(gè)格點(diǎn)（相鄰格點(diǎn)長度為Δx），或原地不動，相應(yīng)的概率為p、q和r，且各次移動相互獨(dú)立。在隨機(jī)分析中，隨機(jī)走是布朗運(yùn)動、馬爾科夫鏈的定義基礎(chǔ)，因而也是概率時(shí)間地理的理論基礎(chǔ)。

文獻(xiàn)［9，14］認(rèn)為移動對象在任一時(shí)刻t的概率分布可采用正態(tài)描述：數(shù)學(xué)期望μ（t）＝2ct/T，其中c為半焦距；標(biāo)準(zhǔn)差定義為棱鏡最小邊界盒的寬度、高度的1/6，有這種方差由于隨著vmax的變化而變化（vmax決定棱鏡大?。?，因而具有應(yīng)用針對性（即同一定向移動在vmax值不同的條件下具有差異化的方差及其概率分布），但隨著vmax的增大而呈指數(shù)發(fā)散［15］。

在隨機(jī)走中，當(dāng)步長Δx固定時(shí)，Δt＝Δx/vmax會隨vmax的增大而減小，相應(yīng)地在時(shí)刻t的步數(shù)則增大。當(dāng)vmax或步數(shù)足夠大，根據(jù)中心極限定理隨機(jī)走近似服從正態(tài)分布，相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望和方差都趨于穩(wěn)定。布朗運(yùn)動就屬于此類，定向的布朗運(yùn)動被稱為布朗橋［26］。文獻(xiàn)［15］直接采用布朗橋模擬定向移動：數(shù)學(xué)期望μ（t）＝2ct/T；方差σ2（t）＝C2t（T－t）/T（C為布朗系數(shù)）。這種方差由于與vmax無關(guān)（只與時(shí)間有關(guān)），因而具有極端的穩(wěn)定性（即同一定向移動在vmax值不同的條件下具有相同的概率特性與分布），也就不具有應(yīng)用的針對性。文獻(xiàn)［16］在布朗橋方差公式中新增了乘數(shù)項(xiàng)，其中目的是讓修正后的方差公式具有應(yīng)用針對性。然而，修改后的方差也隨vmax的增大而呈指數(shù)發(fā)散。

2 基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理原理

馬爾科夫鏈的概率特性由其已知狀態(tài)、轉(zhuǎn)移矩陣與轉(zhuǎn)移步次等參數(shù)決定，因而建立這些參數(shù)與定向移動的已知條件（s，e，T，vmax）的映射是利用馬爾科夫鏈計(jì)算定向移動概率分布的基礎(chǔ)。

2.1 平面空間的馬爾科夫鏈

2.1.1 馬爾科夫鏈

在隨機(jī)走定義基礎(chǔ)上，設(shè)質(zhì)點(diǎn)移動到狀態(tài)－z或z后，下一次移動必返回到－z＋1或z－1，即p－z，－z＋1＝1，pz，z－1＝1，以Xn表示質(zhì)點(diǎn)經(jīng)n次移動后所處的格點(diǎn)位置，則｛Xn，n≥0｝是帶反射壁－z和z的馬爾科夫鏈［26］：

（2）狀態(tài)空間S＝｛－z，－z＋1，…，z－1，z｝?｛－n，－n＋1，…，n－1，n｝z≤n

（3）初始狀態(tài) 0

2.1.2 中間關(guān)于兩邊的馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N已知起點(diǎn)狀態(tài)X0＝i的正向條件概率。當(dāng)又知止點(diǎn)狀態(tài)XN＝j(luò)時(shí)，馬爾科夫鏈就轉(zhuǎn)化為了中間關(guān)于兩邊的雙向馬爾科夫鏈p（Xm＝k｜X0＝i，Xm＋n＝j(luò)），它表達(dá)了定向移動的空間概率分布，其中m，n∈Z＋，i，j，k∈S，m＋n＝N。

式中，m≥0。由式（1）與C－K方程可知，雙向馬爾科夫鏈的概率特性也取決于它的已知狀態(tài)、轉(zhuǎn)移矩陣與轉(zhuǎn)移步次。類似的，Y維馬爾科夫鏈為

平面空間（x，y）上的馬爾科夫鏈可視為X維和Y維馬爾科夫鏈的獨(dú)立聯(lián)合，即

2.2 定向移動到馬爾科夫鏈的映射

2.2.1 到轉(zhuǎn)移步次的映射

由物理試驗(yàn)可得，當(dāng)vmax越大時(shí)，移動一步的時(shí)間消耗也就越小，每次移動Δx也越?。?6］，因此可以假設(shè)Δx＝1/vmax。針對不同的應(yīng)用，可考慮常數(shù)修正因子。

定向移動位于起、止點(diǎn)的時(shí)刻分別為0和T，對應(yīng)于馬爾科夫鏈的第0步和第N步，N＝［vmaxT/Δx］。這樣，對于任意時(shí)刻t∈［0，T］，一方面由于vmax與步數(shù)N有關(guān)，而N根據(jù)式（1）又與馬爾科夫鏈的概率特性有關(guān)，因此馬爾科夫鏈能表達(dá)不同vmax的移動對象在概率特性（如方差等）方面的差異；另一方面當(dāng)vmax→∞時(shí)N→∞，根據(jù)中心極限定理馬爾科夫鏈趨于正態(tài)分布，其數(shù)字特征也趨于穩(wěn)定。

2.2.2 到狀態(tài)空間的映射

定向移動在總時(shí)間T內(nèi)的潛在區(qū)域PPA是一長半軸為的橢圓，假設(shè)橢圓的中心點(diǎn)位于原點(diǎn)，長軸位于X軸。

（1）狀態(tài)空間。在X軸上作隨機(jī)走的質(zhì)點(diǎn)總位于［－a，a］內(nèi)，因而其狀態(tài)空間Sx＝｛－［a/Δx］，－［a/Δx］＋1，…，［a/Δx］－1，［a/Δx］｝，長度Lx＝［2a/Δx＋1］。類似的，Y軸上的質(zhì)點(diǎn)總位于［－b，b］內(nèi)，其狀態(tài)空間Sy＝｛－［b/Δx］，－［b/Δx］＋1，…，［b/Δx］－1，［b/Δx］｝，長度Ly＝［2b/Δx＋1］。顯然，Sx的反射壁為－［a/Δx］和［a/Δx］；Sy的反射壁為－［b/Δx］和［b/Δx］。當(dāng) Δx＝1時(shí)，X和Y維狀態(tài)空間及反射壁如圖4所示。

圖4 狀態(tài)空間及其反射壁Fig.4 State space and its reflective walls

（2）初始與結(jié)束狀態(tài)。移動對象在t＝0時(shí)位于起點(diǎn)s（－c，0），對應(yīng)于馬爾科夫鏈的初始狀態(tài)X0＝i＝－［c/Δx］、Y0＝u＝0；在t＝T時(shí)位于止點(diǎn)e（c，0），對應(yīng)于馬爾科夫鏈的結(jié)束狀態(tài)XN＝j(luò)＝［c/Δx］、YN＝w＝0。

2.2.3 到轉(zhuǎn)移矩陣的映射

定向移動是一種帶起、止點(diǎn)約束的隨機(jī)走，因而可以假設(shè)移動對象在X軸上每次向左或向右移動的概率相等（如p＝0.5，q＝0.5），原地不動的概率為0（r＝0）。這樣，根據(jù)X軸上的狀態(tài)空間Sx，可構(gòu)建大小為Lx的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P

式中，一步轉(zhuǎn)移概率pi，j＝P｛Xn＝j(luò)｜Xn－1＝i｝，i，j∈Sx；n∈［0，N］。類似的，也可構(gòu)建Y方向上大小為Ly的一步轉(zhuǎn)移矩陣。由一步轉(zhuǎn)移矩陣P可計(jì)算m步轉(zhuǎn)移矩陣。

2.3 基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理算法

通過建立定向移動與馬爾科夫鏈的映射關(guān)系，利用雙向馬爾科夫鏈模型，能計(jì)算定向移動的概率分布云（圖5）。

首先，根據(jù)定向移動與馬爾科夫鏈的映射關(guān)系，將定向移動的已知條件（s，e，T，vmax）轉(zhuǎn)換為馬爾科夫鏈的參數(shù)（步長、狀態(tài)空間、轉(zhuǎn)移矩陣等）。

圖5 算法流程Fig.5 Algorithm Flowchart

然后，利用式（3）的雙向馬爾科夫鏈模型，計(jì)算X、Y維空間的概率分布，并通過聯(lián)合形成平面空間的概率分布云。

最后，通過棱鏡進(jìn)行裁剪及其歸一化，形成定向移動的概率分布。

3 例 子

為了驗(yàn)證基于馬爾科夫鏈的概率時(shí)間地理原理，在Matlab軟件中進(jìn)行了實(shí)例分析。選擇的實(shí)例是：移動對象在第0s時(shí)位于起點(diǎn)s（－10m，0m）且在第20s時(shí)位于止點(diǎn)e（10m，0m）；vmax＝2m/s，步長Δx＝1/vmaxm；轉(zhuǎn)移概率p＝q＝0.5、r＝0。

3.1 定向移動概率分布云

由定向移動的已知條件（s，e，T，vmax）可獲得PPA橢圓（c＝10m，a＝20m，b＝17.320 5m）。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)步長Δx可獲得馬爾科夫鏈狀態(tài)空間，初始與結(jié)束狀態(tài)，以及總步數(shù)。

（1）狀態(tài)空間：X維的狀態(tài)空間Sx＝｛－40m，－39m，…，40m｝，Y維的狀態(tài)空間Sy＝｛－34m，－33m，…，34m｝。

（2）初始與結(jié)束狀態(tài)：X維的初始與結(jié)束狀態(tài)｛X0＝－10m，XN＝10m｝，Y維的初始與結(jié)束狀態(tài)｛Y0＝0m，YN＝0m｝。

（3）總步數(shù)：N＝［vmaxT/Δx］＝80。

（4）一步轉(zhuǎn)移矩陣：根據(jù)狀態(tài)空間Sx、Sy的大小Lx＝81、Ly＝69，隨機(jī)走向左、停留、向右的概率（p＝0.5，r＝0，q＝0.5），能分別建立在X維與在Y維的一步轉(zhuǎn)移矩陣。

依據(jù)X維的雙向條件馬爾科夫鏈（式（1）），能連續(xù)計(jì)算移動對象在任意時(shí)刻t位于X維的概率分布。類似的，利用式（2）也可獲得Y維的概率分布。通過X、Y維概率分布的獨(dú)立聯(lián)合，能獲得移動對象在任意時(shí)刻t分布在二維平面空間上的概率，再經(jīng)過基于t時(shí)刻的棱鏡的裁剪和歸一化處理即形成定向移動的概率分布。圖6（a）、圖6（b）和圖6（c）分別是在t＝5s、10s、15s時(shí)基于離散空間的概率分布。

圖6 不同時(shí)刻的概率分布云Fig.6 The probability distributions at different times

由于是在離散空間構(gòu)建的概率分布，因此圖中的概率密度云呈離散的非連續(xù)性，其中X、Y軸表示平面的地理空間，Z軸表示概率值。圖6（b）是移動過程在中間時(shí)刻（t＝10s）的概率分布，棱鏡及其概率值關(guān)于X、Y軸對稱；圖6（a）、圖6（c）分別是在t＝5s、15s時(shí)刻的概率分布，棱鏡及其上分布的概率云只關(guān)于X軸對稱；由于5s、15s分別與10s等距，因此圖6（a）、圖6（c）的概率云關(guān)于Y軸對稱。

3.2 數(shù)字特征及其變化趨勢

根據(jù)離散空間的邊緣概率分布定義，可將定向移動的概率分布云分解為X－維邊緣分布與Y－維邊緣分布。在數(shù)學(xué)期望方面，Y－維邊緣分布的期望是一條端點(diǎn)分別為（第0次，0m）、（第80次，0m）的直線（圖7（a））；X－維邊緣分布的期望是一條端點(diǎn)分別為（第0次，－10m）、（第80次，10m）的近似直線。因此，馬爾科夫鏈算法的數(shù)學(xué)期望同布朗橋算法的數(shù)學(xué)期望μ（t）＝2ct/T一致。在方差方面，X－維邊緣分布與Y－維邊緣分布的方差均呈拋物線型，且在第0、80次的方差均為0（圖7（b））。布朗橋的方差也具有這一拋物線型特征，只是布朗橋的方差與vmax無關(guān)。由圖可知，定向移動的數(shù)學(xué)期望、方差均關(guān)于中間時(shí)刻對稱，這從機(jī)理上解釋了圖6（a）、圖6（c）的概率云關(guān)于Y軸對稱的原因。

圖7 邊緣概率分布的數(shù)學(xué)期望與方差Fig.7 The mathematical expectation and variance of the marginal probability distribution

對于同一時(shí)刻t＝T/2，定向移動基于馬爾科夫鏈的數(shù)字特性隨著vmax的增大（如vmax＝［1.45，1.95，2.45，2.95，3.45，3.95，4.45，4.95，5.45，5.95，6.45］），具有穩(wěn)定性：①在數(shù)學(xué)期望方面，X－維、Y－維的期望值都位于中心點(diǎn)處（0，0）（圖8（a））；②在方差方面，X－維、Y－維的方差都趨于穩(wěn)定（圖8（b））。

圖8 數(shù)學(xué)期望和方差隨最大速度增大而穩(wěn)定Fig.8 Mathematical expectation and variance stabilizing with the increase of the maximum speed

雙向馬爾科夫鏈和布朗橋都由隨機(jī)走推理而來，這為兩種算法的數(shù)學(xué)期望、方差在形態(tài)方面的共性提供了理論依據(jù)。然而，隨機(jī)走的步長Δx在兩種算法中的定義不同，從而造成兩種概型的方差不同：①在布朗橋中被定義為無窮?。é→0），因而其方差自然與Δx無關(guān)；②在雙向馬爾科夫鏈中可定義為有限的（Δx＝1/vmax），本文構(gòu)建了這種有限值的Δx與馬爾科夫鏈概率分布云之間的映射關(guān)系，其方差與Δx有關(guān)，這為概率時(shí)間地理差異化描述不同步長Δx的定向移動提供了基礎(chǔ)。當(dāng)Δx→0時(shí)，布朗橋可視為雙向馬爾科夫鏈的極限，這意味著，當(dāng)Δx＝1/vmax→0，或vmax→＋∞時(shí)，雙向馬爾科夫鏈的方差具有收斂性或趨于穩(wěn)定，這也為圖8（b）的變化規(guī)律提供了理論支撐。

4 小 結(jié)

隨著時(shí)間地理的定量化發(fā)展，概率時(shí)間地理已經(jīng)引起關(guān)注?；诓煌怕誓Ｐ偷母怕蕰r(shí)間地理所表現(xiàn)出的概率特性（如方差等）不同，已有的概率時(shí)間地理的方差隨vmax的增大要么發(fā)散要么不變，在穩(wěn)定性和應(yīng)用針對性方面難以調(diào)和?；诖?，本文引入了能模擬定向移動過程的雙向條件馬爾科夫鏈，試驗(yàn)表明其方差在vmax增大時(shí)具有針對性和穩(wěn)定性，即方差對不同vmax的移動對象具有差異性，這種差異性會隨vmax的增大而逐漸減小并最終形成穩(wěn)定的方差。在理論上，馬爾科夫鏈也適合描述交通網(wǎng)空間的定向移動，下一步將本文提出的概率時(shí)間地理原理擴(kuò)展至交通網(wǎng)，以分析定向移動在交通網(wǎng)空間的概率分布云。

［1］KUIJPERS B，OTHMAN W.Modeling Uncertainty of Moving Objects on Road Networks via Space－time Prisms［J］.International Journal of Geographical Information Science，2009，23（9）：1095－1117.

［2］H?GERSTRAND T.What about People in Regional Science？［J］.Papers of the Regional Science Association，1970，24（1）：6－21.

［3］LIN Guangfa，HUANG Yongsheng.Probe into the Application of GIS in Time－geography［J］.Human Geography，2002，17（5）：69－72.（林廣發(fā)，黃永勝.GIS在時(shí)間地理學(xué)中的應(yīng)用初探［J］.人文地理，2002，17（5）：69－72.）

［4］SHAO Lixia，HE Zongyi.Destination Choice Based on Spacetime Prisms and Attracting Ratios of Different Activity Opportunity Establishments［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2007，32（6）：481－484.（邵黎霞，何宗宜.基于時(shí)空棱鏡和活動場所吸引率的目的地選擇研究［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2007，32（6）：481－484.）

［5］CHAI Yanwei，ZHAO Ying.Recent Development in Time Geography［J］.Scientia Geographica Sinica，2009，29（4）：593－600.（柴彥威，趙瑩.時(shí)間地理學(xué)研究最新進(jìn)展［J］.地理科學(xué)，2009，29（4）：593－600.）

［6］DELAFONTAINE M，NEUTENS T，VAN DE WEGHE N.Modelling Potential Movement in Constrained Travel Environments Using Rough Space－time Prisms［J］.International Journal of Geographical Information Science，2011，25（9）：1389－1411.

［7］KWAN M P，HONG X D.Network－based Constraintsoriented Choice Set Formation Using GIS［J］.Journal of Geographical Systems，1998，5（2）：139－162.

［8］DOWNS J A，HORNER M W.Probabilistic Potential Path Trees for Visualizing and Analyzing Vehicle Tracking Data［J］.Journal of Transport Geography，2012，23：72－80.

［9］WINTER S，YIN Zhangcai.Directed Movements in Probabilistic Time Geography［J］.International Journal of Geographical Information Science，2010，24（9）：1349－1365.

［10］MILLER H J.Modeling Accessibility Using Space－time Prism Concepts within Geographical Information Systems［J］.International Journal of Geographical Information Systems，1991，5（3）：287－301.

［11］TOBLER W R.A Computer Movie Simulating Urban Growth in the Detroit Region［J］.Economic Geography，1970，46（S）：234－240.

［12］NEUTENS T，WITLOX F，VAN DE WEGHE N，et al.Space－time Opportunities for Multiple Agents： A Constrained－based Approach［J］.International Journal of Geographical Information Science，2007，21（10）：1061－1076.

［13］WINTER S.Towards a Probabilistic Time Geography［C］∥Proceedings of the 17th ACM SIGSPATIAL International Conference on Advances in Geographic Information Systems.Bellevue，WA：ACM Press，2009：528－531.

［14］WINTER S，YIN Zhangcai.The Elements of Probabilistic time Geography［J］.Geoinformatica，2011，15（3）：417－434.

［15］YIN Zhangcai，HE Xiaorong，ZHANG Xiaopan，et al.Probability Model of Directed Movements Based on Brownian Bridge［J］.Journal of Geomatics Science and Technology，2012，29（6）：397－400.（尹章才，何曉蓉，張曉盼，等.基于布朗橋概率模型的定向移動［J］.測繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，29（6）：397－400.）

［16］SONG Ying，MILLER H J.Simulating Visit Probability Distributions within Planar Space－time Prisms［J］.International Journal of Geographical Information Science，2014.28（1）：104－125.

［17］XUE Cunjin，ZHOU Chenghu，SU Fenzhen，et al.Research on Process－oriented Spatio－temporal Data Model［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（1）：95－101.（薛存金，周成虎，蘇奮振，等.面向過程的時(shí)空數(shù)據(jù)模型研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，2010，39（1）：95－101.）

［18］XIA Kai，LIU Renyi，LIU Nan，et al.Research of Forestry Spatio－temporal Data Model in Sequence States［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2013，42（3）：433－439.（夏凱，劉仁義，劉南，等.序列狀態(tài)的林業(yè)資源時(shí)空數(shù) 據(jù) 模 型 研 究［J］.測 繪 學(xué) 報(bào)，2013，42（3）：433－439.）

［19］GONG Jianya，LI Xiaolong，WU Huayi.Spatiotemporal Data Model for Real－time GIS［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2014，43（3）：226－232.（龔健雅，李小龍，吳華意.實(shí)時(shí)GIS時(shí)空數(shù)據(jù)模型［J］.測繪學(xué)報(bào)，2014，43（3）：226－232.）

［20］MA Linbing，ZHANG Xinchang.Research on Full－period Query Oriented Moving Objects Spatio－temporal Data Model［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2008，37（2）：207－211.（馬林兵，張新長.面向全時(shí)段查詢的移動對象時(shí)空數(shù)據(jù)模型研究［J］.測繪學(xué)報(bào)，2008，37（2）：207－211.）

［21］MILLER H J.A Measurement Theory for Time Geography［J］.Geographical Analysis，2005，37（1）：17－45.

［22］SHAW S L，YU Hongbo.A GIS－based Time－geographic Approach of Studying Individual Activities and Interactions in a Hybrid Physical－virtual Space［J］.Journal of Transport Geography，2009，17（2）：141－149.

［23］FARBER S，NEUTENS T，MILLER H J，et al.The Social Interaction Potential of Metropolitan Regions：A Timegeographic Measurement Approach Using Joint Accessibility［J］.Annals of the Association of American Geographers，2013，103（3）：483－504.

［24］O’SULLIVAN D，MORRISON A，SHEARER J.Using Desktop GIS for the Investigation of Accessibility by Public Transport：an Isochrone Approach［J］.International Journal of Geographical Information Science，2000，14（1）：85－104.

［25］MILLER H J，BRIDWELL S A.A Field－based Theory for Time Geography［J］.Annals of the Association of American Geographers，2009，99（1）：49－75.

［26］LIN Yuanlie.Applied Stochastic Processes［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2002.（林元烈.應(yīng)用隨機(jī)過程［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.）