歐陽明達(dá)，孫中苗，翟振和，劉曉剛

1.西安測(cè)繪總站，陜西 西安710054；2.信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450001；3.西安測(cè)繪研究所，陜西 西安710054；4.地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710054

1 引 言

利用衛(wèi)星測(cè)高技術(shù)，可以反演獲得高精度的海面重力異常［1－2］。重力異常綜合反映了地下各物性的界面起伏與巖性的不均勻變化，由其反演出的界面變化有助于地質(zhì)勘探、水準(zhǔn)面精化和水下導(dǎo)航等方面的研究［3－5］。海洋空間重力異常和深度數(shù)據(jù)在一定波段內(nèi)具有高度相關(guān)性［6］，兩者的頻譜關(guān)系可通過“導(dǎo)納”來描述。導(dǎo)納應(yīng)用于重力異常的實(shí)踐始于20世紀(jì)70年代，文獻(xiàn)［7］導(dǎo)出了基于傅里葉變換的頻率域重力異常正演公式，提出了計(jì)算由于非線性和不均勻質(zhì)體層引起場(chǎng)元擾動(dòng)的新方法。文獻(xiàn)［8］將之推廣成迭代形式并做了二維計(jì)算，引入了不穩(wěn)定的向下延拓因子并設(shè)計(jì)了低通濾波器以保證迭代計(jì)算的收斂，這種做法在消除高頻震蕩的同時(shí)對(duì)有效信號(hào)產(chǎn)生一定的抑制作用，因而會(huì)造成反演精度的下降。文獻(xiàn)［9］采用交叉譜技術(shù)，對(duì)皇帝海山鏈的重力和海底地形剖面進(jìn)行了計(jì)算，對(duì)未補(bǔ)償導(dǎo)納函數(shù)和顧及Airy補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納函數(shù)進(jìn)行了簡(jiǎn)要介紹并推導(dǎo)出了顧及撓曲補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納函數(shù)，該函數(shù)可以通過海山鏈的海底地形預(yù)測(cè)出海面重力變化的大小，預(yù)測(cè)精度達(dá)到15×10－5m/s2。文獻(xiàn)［10］在Parker公式和 Watts 3個(gè)板塊理論模型的基礎(chǔ)上避開了關(guān)于構(gòu)造補(bǔ)償?shù)募僭O(shè)，根據(jù)海域內(nèi)重力和海底地形之間的變化關(guān)系推估海底地形，但其缺陷在于低估了復(fù)雜地形和較高海山的峰值，故不適用于判定導(dǎo)航時(shí)的危險(xiǎn)區(qū)域。文獻(xiàn)［11］綜合利用衛(wèi)星測(cè)高重力異常、船測(cè)水深、ETOPO5模型和GMT海岸線數(shù)據(jù)建立了南海海底地形模型，該模型以ETOPO5模型為基礎(chǔ)，嘗試通過頻譜關(guān)系改善精度，但是效果并不明顯。文獻(xiàn)［12］給出了海底地形起伏與垂直重力梯度異常之間的導(dǎo)納函數(shù)關(guān)系，聯(lián)合船測(cè)海深和垂直重力梯度異常構(gòu)建了全球海底地形模型。

皇帝海山鏈位于北太平洋，該海域存在間斷的海底山、環(huán)礁、淺灘、海隆和暗礁，是國內(nèi)外地球物理學(xué)家們開展板塊模型研究的熱點(diǎn)區(qū)域［13－15］，他們對(duì)該海域地質(zhì)構(gòu)造的一系列研究為導(dǎo)納法反演海底地形提供了一定的理論和技術(shù)支持。本文以該海域?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)重力異常和海底地形的相關(guān)性進(jìn)行了分析，采用均衡響應(yīng)函數(shù)法得到了皇帝海山鏈的平均地殼厚度和有效彈性厚度參數(shù)，采用移去恢復(fù)方法，得到了顧及撓曲補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納方法和未補(bǔ)償導(dǎo)納方法推估的皇帝海山鏈海底地形模型?；谏鲜龇椒ǎ叭嗽诓煌Ｓ蛞呀?jīng)成功實(shí)現(xiàn)了海底地形反演，然而對(duì)于其中涉及的物理參數(shù)求取、截?cái)嗖ㄩL選擇、濾波器設(shè)計(jì)以及不同方法反演的海深模型精度比較等均未詳細(xì)說明，本文對(duì)上述問題進(jìn)行了詳細(xì)闡述并給出了反演模型的精度評(píng)定結(jié)果。常密度的三維密度界面反演方法在本文中也有試算，但由于是淺海區(qū)域，迭代計(jì)算未對(duì)結(jié)果有較大改善，不作為研究重點(diǎn)。

2 基本理論

2.1 導(dǎo)納理論

“導(dǎo)納”描述了重力異常和地形的頻譜關(guān)系，導(dǎo)納函數(shù)具有線性、各向同性和空間不變性。1973年，Parker將快速傅里葉變換引入位場(chǎng)理論，大大提高了密度界面反演的計(jì)算速度［7］。該公式基于未補(bǔ)償?shù)暮Ｉ钅Ｐ?，令G為地球引力常數(shù)；ρc為海底洋殼密度；ρw為海水密度；d為平均海深，則在頻域內(nèi)重力異常和海底地形的關(guān)系可以表示為

式中，k為（kx，ky）＝（1/λx，1/λy），（kx，ky）和（λx，λy）為x和y方向的頻率和波長；F為傅里葉變換為圓頻率。

當(dāng)海底地形負(fù)荷的波長小于地殼的彈性厚度時(shí)，式（1）中的第1項(xiàng)起主要作用，它僅取決于平均海深，此時(shí)重力異常和海底地形之間是線性關(guān)系，公式為

式中，G（k）和H（k）分別為重力異常和水深的傅里葉變換，Z1（k）為導(dǎo)納函數(shù)。

Z1（k）中的2πG（ρc－ρw）是布格常數(shù)，exp（－2πkd）是向上延拓（從海底到海面）因子，對(duì)式（2）進(jìn)行逆變換，可以通過衛(wèi)星測(cè)高重力異常計(jì)算海底地形，在頻率域內(nèi)該導(dǎo)納函數(shù)為

式（3）為未考慮補(bǔ)償模型的導(dǎo)納函數(shù)關(guān)系式。研究表明，大尺度的海底地形特征都可以用地殼均衡補(bǔ)償理論［16］來解釋，該理論描述了海底地形、地下質(zhì)體層和重力異常的關(guān)系。撓曲均衡是Airy提出的均衡理論的廣義形式［17］，根據(jù)該理論，海底地形浮于密度較大的流體巖漿上面，海山越高沉下去越深，撓曲模型則考慮了巖石圈的彈性力，引進(jìn)區(qū)域補(bǔ)償代替局部補(bǔ)償，將地形質(zhì)量作為一種加在不斷裂而有彈性的地殼層上的負(fù)荷。撓曲理論最早由Barrel于1914年提出，后人將該理論應(yīng)用于實(shí)踐并不斷完善［18－22］。

根據(jù)Airy模型，海山和地形起伏造成的海底過剩質(zhì)量反映在莫霍面上表現(xiàn)為“補(bǔ)償根”的出現(xiàn)，令h為地形高，補(bǔ)償根厚度為w，由漂浮的平衡條件為

式中，ρm為莫霍面下的地幔密度；g為重力加速度。由式（4）可得

利用式（2）和式（4）得到由于h和w引起的重力異常變化，在頻率域上求解，得到顧及Airy補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納函數(shù)表達(dá)式為

式中，Tc為平均地殼厚度。撓曲均衡理論考慮到了巖石圈彈性力對(duì)莫霍面形變w的抵制作用，抵制力用撓曲剛度D表示，形變方程為

式中，4＝（?2/?x2＋?2/?y2）2；D為巖石圈的撓曲剛度，它與巖石圈的有效彈性厚度Te有關(guān)，即

式中，υ為巖石圈的泊松比；E為彈性模量。對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，即

式中，φ（k）表達(dá)式為

式中，g為平均重力加速度，結(jié)合式（7）、式（9）和式（10）可得

當(dāng)D＝0時(shí)，撓曲導(dǎo)納模型變?yōu)锳iry導(dǎo)納模型（式（6））。文獻(xiàn)［8］提出，將Parker公式的級(jí)數(shù)展開后提出第1項(xiàng)，可以寫成迭代形式，即

式（12）為常密度模型下的三維位場(chǎng)反演公式，迭代計(jì)算時(shí)首先令h（0）＝0，Δg為由海底地形變化所引起的重力異常值，根據(jù)式（12）第1項(xiàng)推出，然后代入式（12）右端，繼而得到，依次類推，直到和之差小于給定閾值，便得到最終的海底地形。

由式（3）、式（6）、式（11）、式（12）可以看出，導(dǎo)納函數(shù)和地幔密度、海底洋殼密度、地殼密度、地殼厚度、巖石圈撓曲剛度、有效彈性厚度相關(guān)。

2.2 濾波器設(shè)計(jì)

受向下延拓因子e（2πkd0）的影響，模型的高頻分量很不穩(wěn)定，有必要采用低通濾波進(jìn)行處理。本文采用文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)的余弦低通濾波器得到了良好效果，即

式中，WH為低通波數(shù)；SH為高截?cái)嗖〝?shù)。

2.3 重力和海底地形的相關(guān)分析

當(dāng)已知某海域的重力異常和海底地形時(shí)，就可以采用時(shí)間序列的分析技術(shù)對(duì)兩者關(guān)系進(jìn)行研究［23］。頻率域內(nèi)，重力異常和海底地形相關(guān)估計(jì)r的最小二乘解為

式中，G（k）為重力異常的傅里葉變換；H（k）為海底地形的傅里葉變換；＊為復(fù)數(shù)共軛；〈〉表示括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)譜乘積的實(shí)部在（k1－Δk≤k≤ki＋Δk）環(huán)帶內(nèi)的均值。圖1示出了重力異常和海底地形的相關(guān)關(guān)系，不難看出，在20～300km波長范圍內(nèi)重力異常和海底地形的相關(guān)系數(shù)最高。波長小于20km，兩者相關(guān)性很弱，這是因?yàn)?，受向上延拓因素影響，重力異常的信?hào)—噪聲比很小，所謂信號(hào)是指海底地形變化對(duì)海面重力異常造成的影響量大小，用該波長段的數(shù)據(jù)反演海底地形是不“安全”的。同時(shí)，在長波段受均衡改正影響，海底地形變化不會(huì)對(duì)重力異常作出任何貢獻(xiàn)，長波段地形的反演通常對(duì)船測(cè)水深控制點(diǎn)建立格網(wǎng)模型，采用低通濾波進(jìn)行處理。

圖1 重力異常和海底地形的相關(guān)關(guān)系Fig.1 Coherence between gravity anomaly and bathymetry

3 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

研究范圍位于162°E—178°E，32°N—48°N之間，本文使用的船測(cè)水深數(shù)據(jù)來源于美國地球物理中心（NGDC）。NGDC擁有自21世紀(jì)50年代以來不同時(shí)期的海洋深度測(cè)繪數(shù)據(jù)，如圖2所示，圖中紅色的點(diǎn)為水深控制點(diǎn)，共計(jì)58 483個(gè)，將其格網(wǎng)化后經(jīng)濾波處理得到反演海深模型的長波項(xiàng)，圖中黃色的點(diǎn)為檢核點(diǎn)，共計(jì)8355個(gè)，用來評(píng)估精度，控制點(diǎn)和檢核點(diǎn)不重合。空間重力異常來自于丹麥科技大學(xué)空間中心1′分辨率的DTU10模型，如圖3所示，經(jīng)與實(shí)測(cè)重力異常比較，兩者差異的均值為0.39×10－5m/s2，標(biāo)準(zhǔn)差為3.82×10－5m/s2，最大值為36.89×10－5m/s2，船測(cè)水深控制點(diǎn)的重力異常由該模型插值得到。作為比較，本文也使用到了NGDC于2008年發(fā)布的1′分辨率的全球地形數(shù)據(jù)（ETOPO1）模型，該模型中的海洋深度數(shù)據(jù)來源于日本海洋地理數(shù)據(jù)中心（JOC）、美國地球物理中心（NGDC）、里海環(huán)境計(jì)劃（CEP）和地中海科學(xué)委員會(huì)（CIESM）等組織，上述組織將不同海域的船載多波束測(cè)深數(shù)據(jù)格網(wǎng)化為不同分辨率大小的模型或?qū)⒑Ｑ蟮壬钅Ｐ蛿?shù)字化，而后提供給NGDC，NGDC根據(jù)需要對(duì)其統(tǒng)一編輯和評(píng)價(jià)，數(shù)據(jù)采用 WGS－84坐標(biāo)系統(tǒng)，各組織的數(shù)據(jù)提供情況如表1所示。

表1 ETOPO1模型中使用的海深數(shù)據(jù)Tab.1 Bathymetric data sets used in compiling ETOPO1

圖2 船測(cè)航跡分布Fig.2 Distribution of shipborne tracks

圖3 測(cè)高自由空間重力異常Fig.3 Altimetry－derived gravity anomalies

撓曲導(dǎo)納模型需要顧及地殼厚度和有效彈性厚度參數(shù)，采用均衡響應(yīng)函數(shù)法，將船測(cè)水深格網(wǎng)化作為初始的水深模型，將DTU10作為初始的重力異常模型。重力異常和海底地形的觀測(cè)導(dǎo)納函數(shù)估計(jì)公式為

參數(shù)的確定需要重點(diǎn)考慮低頻部分。經(jīng)計(jì)算，皇帝海山鏈的地殼厚度參數(shù)為13km，有效彈性厚度參數(shù)為13km。

4 反演計(jì)算

Airy模型是撓曲模型的特殊形式，本文不采用Airy導(dǎo)納模型進(jìn)行反演計(jì)算。三維位場(chǎng)理論經(jīng)多次迭代試算得到的海深模型與初始模型差別不大，與未補(bǔ)償導(dǎo)納方法的反演結(jié)果相近，也不作為研究重點(diǎn)。本文采用未補(bǔ)償導(dǎo)納模型和顧及撓曲補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納模型兩種方式反演海底地形。需要注意的是，針對(duì)重力異常卷積和反卷積計(jì)算涉及的邊沿效應(yīng)問題，在實(shí)際計(jì)算中需向四周擴(kuò)展2°的面積范圍，而后截?cái)嗵幚怼?/p>

4.1 海深模型的反演

重力異常僅包含了海底地形一定波段范圍內(nèi)的信息量，采用移去恢復(fù)程序建立海底地形模型，步驟如下。

（1）截?cái)嗖ㄩL的選擇?？紤]到重力異常和海底地形的相關(guān)性以及導(dǎo)納函數(shù)呈線性的頻段，采用未補(bǔ)償導(dǎo)納模型計(jì)算時(shí)設(shè)定截?cái)嗖ㄩL為15～120km；根據(jù)2.3節(jié)的相關(guān)性分析，采用撓曲導(dǎo)納模型理論計(jì)算時(shí)設(shè)定截?cái)嗖ㄩL為15～200km，地殼厚度參數(shù)為13km，巖石圈有效彈性厚度參數(shù)為13km。

（2）將研究海域船測(cè)水深控制點(diǎn)數(shù)據(jù)格網(wǎng)化，采用高斯濾波函數(shù)分別得到200km和120km長波截?cái)嘞碌膮⒖己Ｉ钅Ｐ?，參考海深模型均值即為平均海深d。

（3）將參考重力異常模型從觀測(cè)重力異常模型中移去得到小于200km和120km波長的殘余重力異常模型，由于殘余重力異常模型的高頻分量存在噪聲影響，因而采用15km波長的高斯函數(shù)進(jìn)濾波處理。

（4）將波長范圍在15～200km的殘余重力異常模型采用顧及撓曲導(dǎo)納模型的方法進(jìn)行計(jì)算，得到波長在15～200km范圍的殘余水深；將波長范圍在15～120km的殘余重力異常模型采用未補(bǔ)償導(dǎo)納模型的方法進(jìn)行計(jì)算，得到波長在15～120km范圍的殘余水深。

（5）將不同波長段的殘余水深與相應(yīng)的參考水深疊加，得到顧及不同導(dǎo)納模型的皇帝海山鏈的海底地形。為方便統(tǒng)計(jì)，將顧及撓曲補(bǔ)償?shù)暮Ｉ钅Ｐ头Q為模型1，將采用未補(bǔ)償導(dǎo)納反演的海深模型稱為模型2。

圖4示出了皇帝海山鏈的兩個(gè)反演海深模型和ETOPO1模型，可以看出，在39°N、174°E附近，反演海深模型顯示出了一條沿東北走向的海隆地形，該海隆地形在ETOPO1模型中未出現(xiàn)。圖5示出了兩個(gè)反演海深模型和ETOPO1模型之差?？梢钥闯觯疚姆囱莸膬蓚€(gè)海深模型差別不大，但與ETOPO1模型存在較大差別，其最大差值甚至高達(dá)1600m左右，出現(xiàn)較大差值的海域大多分布有海山和海隆。

圖4 海底地形模型Fig.4 The bathymetry models

圖5 模型之間的差異Fig.5 The differences between models

4.2 精度評(píng)估

4.1節(jié)采用帶通濾波移去恢復(fù)，最終得到15km尺度的平均格網(wǎng)模型，對(duì)反演模型的精度估計(jì)并非采用全頻帶的實(shí)測(cè)海深模型去評(píng)價(jià)，原因在于并不存在如此多的實(shí)測(cè)海深數(shù)據(jù)去構(gòu)建出一個(gè)完整的模型，相反，正是由于實(shí)測(cè)海深數(shù)據(jù)的稀少性，筆者才得以嘗試通過海面重力異常反演出具備足夠精細(xì)尺度的深度格網(wǎng)模型。如上文所述，本文采用了8355個(gè)離散的船測(cè)檢核點(diǎn)對(duì)模型精度進(jìn)行評(píng)估。

將3個(gè)海深模型在船測(cè)檢核點(diǎn)上插值計(jì)算，得到插值水深與實(shí)際水深之較差。表2示出了3個(gè)海深模型的檢核比較統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以看出，本文反演的兩個(gè)海深模型相對(duì)精度在6%左右，略低于ETOPO1模型；顧及撓曲補(bǔ)償?shù)暮Ｉ钅Ｐ途鹊陀谖囱a(bǔ)償導(dǎo)納方法反演的海深模型。

表2 ETOPO1模型、海深模型1、海深模型2比較Tab.2 Statistic of relative precision between ETOPO1，bathymetry model one and bathymetry model two

圖6（a）展示出了海深模型1的船測(cè)點(diǎn)較差結(jié)果統(tǒng)計(jì)直方圖，圖6（b）在船測(cè)檢核點(diǎn)位置示出了相對(duì)精度的絕對(duì)值統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯?，大部分海域的相對(duì)精度較高，但在海山鏈以及兩側(cè)海隆區(qū)，點(diǎn)位相對(duì)精度較差。圖6（c）示出了較差結(jié)果、相對(duì)精度與海深的關(guān)系，較差結(jié)果沒有呈現(xiàn)出明顯的水深層分布特征，深海地區(qū)反演結(jié)果的相對(duì)精度明顯好于水深淺于3000m的海域。

圖6 海深模型1的精度評(píng)估Fig.6 Precision estimation of bathymetry model one

圖7以同樣方式示出了海深模型2的船測(cè)檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)信息，與模型1情況基本一致，且略優(yōu)于海深模型1。

圖7 海深模型2的精度評(píng)估Fig.7 Precision estimation of bathymetry model two

5 討 論

5.1 粗差分析

本文將相對(duì)精度大于40%的點(diǎn)定為粗差，為了分析粗差產(chǎn)生的原因，有必要單獨(dú)研究。圖8（a）、（b）分別示出了模型1和模型2的粗差點(diǎn)分布，模型1產(chǎn)生粗差點(diǎn)229個(gè)，占總數(shù)的2.7%，模型2產(chǎn)生粗差點(diǎn)185個(gè)，占總數(shù)的2.2%?？梢钥闯觯植铧c(diǎn)主要集中在海山鏈沿線，說明由于該部分海域地形起伏變化劇烈，對(duì)反演模型精度造成了很大影響。

5.2 反演方法的局限

由上文可知，ETOPO1模型中未顯現(xiàn)的海底地形起伏在本文反演模型中有清晰的顯示，但本文的反演模型精度略低于ETOPO1模型。對(duì)反演模型精度造成影響的來源主要有3個(gè)方面：①部分用作檢核的船測(cè)點(diǎn)質(zhì)量不高，但使用時(shí)難以完全去除。②淺海地區(qū)重力異常受噪聲影響，反演質(zhì)量下降。③重力異常的導(dǎo)納理論存在自身局限。這種局限性主要體現(xiàn)為：首先，由于需要一定數(shù)量的船測(cè)水深或先驗(yàn)?zāi)Ｐ瞳@取海深長波項(xiàng)，因此長波項(xiàng)精度受先驗(yàn)?zāi)Ｐ途取⒋瑴y(cè)點(diǎn)數(shù)量分布等的影響較大；其次，參與導(dǎo)納計(jì)算的地殼厚度、有效彈性厚度等參數(shù)僅為區(qū)域平均值，難以與局部海域做到嚴(yán)密吻合。圖9展示出了采用撓曲模型得到的殘余海深和殘余重力異常在空間域內(nèi)的關(guān)系圖，反映出兩者具有良好的線性關(guān)系，但實(shí)際上海底地形復(fù)雜多變，其在空間域內(nèi)和重力異常并非是完全嚴(yán)密的線性關(guān)系。針對(duì)上述情況，文獻(xiàn)［10］將短波船測(cè)水深和短波重力異常之比定義為比例因子，使用移去恢復(fù)法將短波項(xiàng)和長波項(xiàng)疊加得到海底地形，受船測(cè)點(diǎn)數(shù)量和分布限制，能否有效提高精度還有待進(jìn)一步研究。

6 結(jié) 論

根據(jù)重力異常的導(dǎo)納理論，本文采用未補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納方法和顧及撓曲補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納方法反演了皇帝海山鏈的海底地形模型，并進(jìn)行了精度評(píng)價(jià)，得到以下初步結(jié)論。

（1）海底地形和重力異常在20～300km波長范圍內(nèi)相關(guān)系數(shù)較高，采用顧及撓曲補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納方法，能夠?qū)崿F(xiàn)15～200km左右波長范圍的地形反演，對(duì)計(jì)算海深模型長波項(xiàng)所需的離散船測(cè)控制點(diǎn)分布、波長間距和數(shù)量要求不高；未補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納方法能夠?qū)崿F(xiàn)15～120km左右波長范圍的地形反演，由于長波項(xiàng)截?cái)嗖ㄩL較小，對(duì)離散船測(cè)水深控制點(diǎn)的分布、波長間距和數(shù)量要求較高。

圖9 空間域內(nèi)殘余重力異常殘余海深的關(guān)系Fig.9 The relationship between the residual depth and residual gravity anomalies in space domain

（2）顧及撓曲補(bǔ)償?shù)膶?dǎo)納方法涉及諸如地殼厚度和有效彈性厚度等參數(shù)的求取，通常使用計(jì)算得到的區(qū)域平均值作為代替，對(duì)反演結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定影響，且反演出的模型精度略低于未補(bǔ)償導(dǎo)納海深模型。

（3）本文反演的兩個(gè)海深模型在深海地區(qū)的相對(duì)精度優(yōu)于淺海海域，相對(duì)精度下降的主要原因在于海山鏈和海隆的存在，經(jīng)ETOPO1模型比較和檢核點(diǎn)精度統(tǒng)計(jì)，其中的絕大部分粗差分布于海山鏈沿線。

（4）采用重力異常的導(dǎo)納理論反演海底地形能夠刻畫出ETOPO1模型中未顯現(xiàn)的海底地形細(xì)節(jié)，但反演精度受其自身局限的影響，下一步將結(jié)合文獻(xiàn)［10］方法，開展進(jìn)一步研究。

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