摘要： 針對ANSYS等商業(yè)有限元軟件無法進行基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析的問題，將以絕對響應(yīng)為變量的動力學(xué)方程改寫為基礎(chǔ)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)相對響應(yīng)之和的形式，重新推導(dǎo)以相對響應(yīng)為變量的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程.以組合梁結(jié)構(gòu)為例進行MATLAB程序仿真，并以ANSYS的PSD分析結(jié)果驗證所推導(dǎo)的動力學(xué)方程的正確性，說明基礎(chǔ)激勵下利用模態(tài)疊加法進行諧響應(yīng)分析的可行性.

關(guān)鍵詞： 基礎(chǔ)激勵； 模態(tài)疊加法； 諧響應(yīng)分析； 絕對響應(yīng)； 相對響應(yīng)； ANSYS； MATLAB

中圖分類號： O324文獻標(biāo)志碼： A

0引言

諧響應(yīng)分析可用以分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)與載荷之間的傳遞特性，獲得結(jié)構(gòu)振動的傳遞函數(shù).該傳遞函數(shù)包括響應(yīng)與載荷之間的幅值和相位關(guān)系.在工作中通過模態(tài)試驗獲得某結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，測量得到結(jié)構(gòu)的前幾階固有頻率和模態(tài)阻尼比，通過ANSYS建模獲得基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù).但是，在ANSYS的諧響應(yīng)分析中，若采用全方法，則無法輸入各階模態(tài)阻尼比，且計算耗費時間；若采用模態(tài)疊加法，則能提高計算速度，節(jié)約機時，但其幫助文件和相關(guān)文獻指出其缺點是不能施加非零約束[12]，即不能進行基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析.ANSYS中的PSD分析能夠得到基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)譜，但是忽略響應(yīng)與激勵之間的相位關(guān)系.針對這一問題，本文進行基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析動力學(xué)方程推導(dǎo)，對典型結(jié)構(gòu)進行數(shù)值仿真，進一步獲得結(jié)構(gòu)隨機振動響應(yīng)的功率譜，并與ANSYS軟件的PSD分析結(jié)果進行對比，兩者吻合非常好，證實推導(dǎo)的動力學(xué)方程的正確性.1理論分析

在有限元分析時，頻域下線性系統(tǒng)動力學(xué)方程[35]為MX¨（ω）+CX·（ω）+KX（ω）=F（ω） （1）式中：M，C和K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X¨，X·和X分別為系統(tǒng)的加速度、速度和位移響應(yīng)，均為絕對量；Fω為系統(tǒng)的外載荷.

假設(shè)系統(tǒng)受到基礎(chǔ)加速度激勵，此時可將式（1）按照約束節(jié)點和非約束節(jié)點[69]進行分塊，寫為MddMds

MsdMssX¨d

X¨s+CddCds

CsdCssX·d

X·s+KddKds

KsdKssXd

Xs=0 （2）式中：下標(biāo)d和s分別為結(jié)構(gòu)非約束節(jié)點的集合和約束節(jié)點的集合；X¨d，X·d和Xd為非約束節(jié)點的絕對響應(yīng)；X¨s，X·s和Xs為基礎(chǔ)約束節(jié)點的絕對響應(yīng)；Mds，Cds和Kds分別為結(jié)構(gòu)邊界單元的耦合質(zhì)量、耦合阻尼和耦合剛度矩陣.

式（2）中第一部分可改寫為MddX¨d+CddX·d+KdsXd=-MdsX¨s-CdsX·s-KsdXs （3）進行基礎(chǔ)加速度激勵下的諧響應(yīng)分析，即進行單位基礎(chǔ)加速度激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算.式（3）可以利用全方法直接進行計算，但當(dāng)結(jié)構(gòu)自由度規(guī)模較大時，計算困難，耗費機時.式（3）不能直接采用模態(tài)疊加法進行計算，其原因在于模態(tài)疊加法的假設(shè)前提不成立.模態(tài)疊加法是假設(shè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)可表示為振型向量的線性組合，即X=Ψη （4）式中：Ψ為結(jié)構(gòu)的振型矩陣；η為結(jié)構(gòu)在正則坐標(biāo)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng).需要指出的是，式（4）計算的是結(jié)構(gòu)的相對約束點的響應(yīng)，是結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng)，而式（3）中的響應(yīng)是結(jié)構(gòu)的絕對響應(yīng)，不能直接采用模態(tài)疊加法進行計算.因此，需要重新推導(dǎo)動力學(xué)方程.

將式（2）中結(jié)構(gòu)的絕對響應(yīng)表示為結(jié)構(gòu)相對于約束節(jié)點的相對響應(yīng)與基礎(chǔ)節(jié)點響應(yīng)之和，即Xd=Xd，c+Xs （5）式中：Xd，c為結(jié)構(gòu)非約束節(jié)點的相對響應(yīng).

式（2）可改寫為MddMds

MsdMssX¨d，c+X¨s

X¨s+CddCds

CsdCssX·d，c+X·s

X·s+KddKds

KsdKssXd，c+Xs

Xs=0 （6）式（6）的第一個部分可寫為MddX¨d，c+CddX·d，c+KddXd，c=-MddX¨s-MdsX¨s-CddX·s-CdsX·s-KddXs-KdsXs （7）式（7）可采用模態(tài)疊加法進行諧響應(yīng)計算，得到相對響應(yīng)，由式（5）可得到結(jié)構(gòu)的絕對響應(yīng).

2數(shù)值仿真

組合梁結(jié)構(gòu)的有限元模型見圖1.結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1，邊界約束為支撐梁底部的固支約束.

圖 1組合梁結(jié)構(gòu)有限元模型，mm

Fig.1Finite element model of composite beam structure， mm

表 1組合梁結(jié)構(gòu)的模型參數(shù)

Tab.1Parameters of composite beam structure截面高度/

mm截面寬度/

mm密度/

（kg/m3）彈性模量/

Pa泊松比10102 7007.1E+100.3

本算例模型未實際加工，因此未通過模態(tài)試驗測量得到各階模態(tài)阻尼比.在數(shù)值仿真中，可按經(jīng)驗值取模型前2階模態(tài)阻尼比為0.02，根據(jù)下式得到比例阻尼的系數(shù)，ξi=12αωi+βωi，i=1，2 （8）結(jié)構(gòu)的比例阻尼矩陣可表示為C=αM+βK （9）此時，邊界耦合阻尼矩陣可表示為Cds=αMds+βKds （10）計算的頻率范圍為10～200 Hz，在此頻率范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)共有11階模態(tài).第3～11階模態(tài)阻尼比可根據(jù)如下方法得到.

將阻尼矩陣在正則坐標(biāo)下解耦，得Cη=ΨTCΨ （11）式中：Cη為11×11維的矩陣，其對角線元素滿足關(guān)系式Cη（i，i）=2ξiωi，（i=1，2，…，11） （12）由式（12）可獲得模態(tài)阻尼比向量ξi（i=1，2，…，11）.

基礎(chǔ)載荷設(shè)置幅值為1 m/s2的加速度譜，采用MATLAB對式（7）采用模態(tài)疊加法進行編程計算得到結(jié)構(gòu)諧響應(yīng).endprint

由于ANSYS無法計算基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)，無法直接將上述推導(dǎo)方程的諧響應(yīng)計算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果進行對比，因此在編程計算時，得到結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng)和絕對響應(yīng)，并與ANSYS的PSD分析結(jié)果進行對比.選擇圖1中標(biāo)號為①和的y方向（橫向）絕對加速度響應(yīng)為例，對比結(jié)果見圖2.

a）①號節(jié)點b）號節(jié)點

圖 2節(jié)點y方向響應(yīng)絕對值對比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由圖2可知：本文所推導(dǎo)的基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的響應(yīng)譜與ANSYS的PSD仿真結(jié)果基本一致，說明所推導(dǎo)的方程正確.

3結(jié)束語

推導(dǎo)基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)計算公式，典型組合結(jié)構(gòu)的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結(jié)果完全一致，為ANSYS等商業(yè)有限元軟件實現(xiàn)非零約束下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析提供理論支持.參考文獻：

[1]葉先磊， 史亞杰. ANSYS工程分析軟件應(yīng)用實例[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2003： 239240.

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[4]王勖成. 有限單元法[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2003： 469471.

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[6]張亞輝， 智浩， 呂峰. 結(jié)構(gòu)多點隨機地震響應(yīng)分析及擬靜位移計算[J]. 計算力學(xué)學(xué)報， 2004， 21（5）： 564570.

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ZHANG Leiming， ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting， 2005， 27（4）： 2427.

[8]胡杰， 張希農(nóng). 基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文集. 南京， 2011： 672676.

[9]ALKHALEEFI A M， ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure， 2002， 80（22）： 16891697.

（編輯武曉英）endprint

由于ANSYS無法計算基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)，無法直接將上述推導(dǎo)方程的諧響應(yīng)計算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果進行對比，因此在編程計算時，得到結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng)和絕對響應(yīng)，并與ANSYS的PSD分析結(jié)果進行對比.選擇圖1中標(biāo)號為①和的y方向（橫向）絕對加速度響應(yīng)為例，對比結(jié)果見圖2.

a）①號節(jié)點b）號節(jié)點

圖 2節(jié)點y方向響應(yīng)絕對值對比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由圖2可知：本文所推導(dǎo)的基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的響應(yīng)譜與ANSYS的PSD仿真結(jié)果基本一致，說明所推導(dǎo)的方程正確.

3結(jié)束語

推導(dǎo)基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)計算公式，典型組合結(jié)構(gòu)的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結(jié)果完全一致，為ANSYS等商業(yè)有限元軟件實現(xiàn)非零約束下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析提供理論支持.參考文獻：

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由于ANSYS無法計算基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)，無法直接將上述推導(dǎo)方程的諧響應(yīng)計算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果進行對比，因此在編程計算時，得到結(jié)構(gòu)的相對響應(yīng)和絕對響應(yīng)，并與ANSYS的PSD分析結(jié)果進行對比.選擇圖1中標(biāo)號為①和的y方向（橫向）絕對加速度響應(yīng)為例，對比結(jié)果見圖2.

a）①號節(jié)點b）號節(jié)點

圖 2節(jié)點y方向響應(yīng)絕對值對比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由圖2可知：本文所推導(dǎo)的基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的響應(yīng)譜與ANSYS的PSD仿真結(jié)果基本一致，說明所推導(dǎo)的方程正確.

3結(jié)束語

推導(dǎo)基礎(chǔ)激勵下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)計算公式，典型組合結(jié)構(gòu)的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結(jié)果完全一致，為ANSYS等商業(yè)有限元軟件實現(xiàn)非零約束下基于模態(tài)疊加法的諧響應(yīng)分析提供理論支持.參考文獻：

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[8]胡杰， 張希農(nóng). 基礎(chǔ)激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應(yīng)用學(xué)術(shù)會議論文集. 南京， 2011： 672676.

[9]ALKHALEEFI A M， ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure， 2002， 80（22）： 16891697.

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