冉永清 李 楠 楊煜普

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點實驗室，上海 200240)

傳統(tǒng)的故障診斷方法根據(jù)監(jiān)控統(tǒng)計量來檢測是否有故障發(fā)生，采用貢獻圖及故障重構(gòu)等方法來辨識故障發(fā)生的位置，以此達到故障診斷的目的[1，2]。然而這類方法都是基于過程中出現(xiàn)單一故障的假設(shè)，如果在檢測過程中同時出現(xiàn)多個故障，這類方法的故障診斷性能將急劇下降。為解決上述問題，筆者從模式識別的角度考慮故障診斷問題，將故障診斷分為兩個步驟，在離線狀態(tài)下，學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)部關(guān)系及模式等抽象概念，建立故障診斷模型；在在線狀態(tài)下，所建立的故障診斷模型運用學(xué)習(xí)到的知識，對新數(shù)據(jù)的內(nèi)在關(guān)系和模式做出預(yù)測，把故障數(shù)據(jù)分類到最接近的故障類中。從這個角度出發(fā)，筆者把故障診斷看成一個多類分類問題，提出了有監(jiān)督學(xué)習(xí)方法——FKNMF方法，建立多故障診斷模型，解決多故障診斷問題。

KNMF算法通過核函數(shù)將輸入空間的非線性數(shù)據(jù)映射到高維特征空間[3，4]，采用迭代的矩陣分解形式，挖掘特征空間數(shù)據(jù)的局部信息表示數(shù)據(jù)整體結(jié)構(gòu)。令輸入空間的數(shù)據(jù)X=[X1，X2，…,Xn]∈Rm×n，通過映射函數(shù)將數(shù)據(jù)映射到一個高維的特征空間F內(nèi)，得到的特征空間數(shù)據(jù)矩陣Φ(X)=[Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xn)]∈Rd×n。在特征空間F內(nèi)，尋找一個基矩陣U和一個系數(shù)矩陣V，使得Φ(·)：Rm→F:Rd：

Φ(X)≈UVT

(1)

其中U∈Rd×r，r表示降維后的維數(shù)；V∈Rn×r。

根據(jù)KNMF算法，假設(shè)基矩陣U是特征數(shù)據(jù)Φ(X)的凸組合，即U=Φ(X)W，則在特征空間F內(nèi)，把特征空間數(shù)據(jù)分解成如下形式：

Φ(X)≈Φ(X)WVT

(2)

KNMF算法是在特征空間內(nèi)通過學(xué)習(xí)尋找到參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V。

2 Fisher判據(jù)分析

圖1 Fisher判別的基本原理

以下為Fisher準(zhǔn)則的若干個必要判別參數(shù)。

在d維空間內(nèi)，各個樣本均值向量mi：

(3)

樣本類內(nèi)離散度矩陣Si和總類內(nèi)離散度矩陣Sw：

(4)

Sw=S1+S2

(5)

樣本類間離散度矩陣Sb：

Sb=(m1-m2)(m1-m2)T

(6)

Fisher準(zhǔn)則函數(shù)定義：

(7)

在特征空間里面，各個樣本在特征空間上的投影：

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)式(7)的定義可得：

(12)

由式(12)可見，在特征空間中，F(xiàn)isher準(zhǔn)則就是尋找使JF(w)最大的參數(shù)矩陣W，使各類樣本盡可能地分開，同時同一樣本盡量靠攏。

(13)

3 Fisher KNMF算法

筆者結(jié)合KNMF和FDA兩者的優(yōu)點，使KNMF算法在降維過程中，引入FDA分類思想，使得降維過程中同一類的數(shù)據(jù)盡量靠攏，不同類的數(shù)據(jù)盡量遠離。這樣既保持了KNMF算法挖掘局部信息的能力，綜合了FDA的優(yōu)點，也彌補了FDA分類算法過度依賴數(shù)據(jù)均值的缺點。

3.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

在特征空間內(nèi)，采用歐式距離來度量特征數(shù)據(jù)矩陣Φ(X)與Φ(X)、參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V三者乘積之間的誤差，將KNMF問題轉(zhuǎn)化為求取參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V，并使得以下目標(biāo)函數(shù)取得最小值：

(14)

其中ε是任意的極小值，該限制的含義是使式(13)盡可能相等。

將式(14)轉(zhuǎn)化成下列形式：

(15)

式(15)表示Fisher KNMF算法在KNMF算法的框架上增加了FDA分類思想作為正則項，其中參數(shù)α是一個系數(shù)，通過調(diào)節(jié)它來調(diào)整Fisher正則項的影響程度，使Fisher KNMF算法具有良好的靈活性。

3.2 目標(biāo)函數(shù)求解

目標(biāo)函數(shù)式(15)對于W和V單個變量是凸函數(shù)，但是同時對兩個變量是非凸函數(shù)，對于目標(biāo)函數(shù)求取的解可能不是全局最優(yōu)解。根據(jù)式(15)的KKT最優(yōu)松弛條件和互補松弛條件可以得到：

(16)

根據(jù)式(16)得到W、V和λ的更新規(guī)則：

(17)

采用式(17)的更新規(guī)則，最終可以得到FKNMF算法的參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V。

4 基于Fisher KNMF的多故障診斷方法

Fisher KNMF算法從一個包含正常數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中通過迭代矩陣分解，獲得參數(shù)矩陣W。對于未知類別的樣本，需要一個判別函數(shù)值來量化觀測向量和類之間的關(guān)系。觀測向量xi在類K上面的判別函數(shù)值采用下面判別式[6]：

(18)

其中pk是第K類的概率。

對于每一個測試樣本xt，通過式(18)計算出它在每一類上的判別值，然后判斷該樣本屬于判別函數(shù)值最大的那一類。即：

(19)

如果訓(xùn)練樣本中只有正常數(shù)據(jù)和一種故障數(shù)據(jù)，即故障檢測；如果訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含了多種故障數(shù)據(jù)，那么在建立模型之后，就可以對測試樣本進行故障診斷，判別該樣本處于正常狀態(tài)或是哪一類故障狀態(tài)，即完成了多故障診斷。

5 仿真實驗

TE過程是基于實際工業(yè)過程的仿真案例[8]，整個過程系統(tǒng)共包括12個控制變量和41個測量變量，并且預(yù)定了21種故障。圖2為TE過程結(jié)構(gòu)圖。

圖2 TE過程結(jié)構(gòu)圖

5.1 單故障的診斷情況

選取正常數(shù)據(jù)的前200個數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)的201～400之間的200個數(shù)據(jù)共同作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，選取正常數(shù)據(jù)的281～480之間的200個數(shù)據(jù)和故障數(shù)據(jù)81～280之間的200個數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)。設(shè)置降維維數(shù)為17，取系數(shù)α為0.5。表1是FDA算法和Fisher KNMF算法故障診斷準(zhǔn)確率對比。

表1 FDA算法和Fisher KNMF算法故障診斷準(zhǔn)確率對比 %

(續(xù)表1)

從表1可以看出，F(xiàn)isher KNMF算法的故障診斷準(zhǔn)確率總體上是優(yōu)于FDA算法的，其中在故障IDV(8)、IDV(10)、IDV(11)、IDV(12)、IDV(14)、IDV(16)和IDV(19)發(fā)生時，F(xiàn)isher KNMF算法的故障診斷準(zhǔn)確率明顯優(yōu)于FDA算法。圖3是IDV(1)和IDV(14)的FDA算法和Fisher KNMF算法的診斷效果圖。FDA算法故障診斷效果圖橫坐標(biāo)1～200表示兩類故障都為200個點，故障IDV(1)和IDV(14)的縱坐標(biāo)如果差距越大分的就越開，F(xiàn)isher KNMF算法縱坐標(biāo)表示兩類故障的個數(shù)，前200個應(yīng)該是正常數(shù)據(jù)，后200個是故障數(shù)據(jù)。從圖3可以得知，在故障IDV(1)發(fā)生時，F(xiàn)DA和Fisher KNMF算法都能夠完全分開故障，但是在故障IDV(14)發(fā)生時，F(xiàn)DA算法不能完全分開故障類別，而Fisher KNMF算法依然有94.25%的準(zhǔn)確率。

圖3 IDV(1)和IDV(14)發(fā)生時，F(xiàn)DA和Fisher KNMF算法的故障診斷效果

5.2 多故障的診斷情況

采用正常數(shù)據(jù)和兩種故障訓(xùn)練數(shù)據(jù)來進行仿真實驗。取正常數(shù)據(jù)和兩類故障訓(xùn)練數(shù)據(jù)分別為200個數(shù)據(jù)，同樣每類測試集各選取200個點組成。仿真實驗中，設(shè)置降維維數(shù)為17，系數(shù)α為0.5。圖4是IDV(10)和IDV(14)同時發(fā)生時FDA算法和Fisher KNMF算法的故障診斷效果圖。

圖4 IDV(10)和IDV(14)同時發(fā)生時，F(xiàn)DA和Fisher KNMF算法的故障診斷效果

圖4中FDA算法基本不能分出3類數(shù)據(jù)，但是Fisher KNMF算法能夠達到93.25%的診斷正確率，僅有少數(shù)數(shù)據(jù)標(biāo)識錯誤，通過此仿真實例說明，F(xiàn)isher KNMF算法在多類故障診斷中具有很好的性能。

6 結(jié)束語

為解決多故障診斷問題，筆者從模式分類的新角度考慮，提出了一種新的有監(jiān)督分類方法——Fisher KNMF算法，該算法結(jié)合了KNMF算法優(yōu)秀的處理非線性數(shù)據(jù)的能力和FDA算法優(yōu)秀的分類能力。建立的多故障診斷模型用于在線監(jiān)控，并在TE模型上仿真，結(jié)果表明：在單故障和多故障的情況下都具有很好的效果。

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