魏 暉， 朱洪濤， 趙國堂， 萬 堅， 王志勇

(1. 南昌大學機電工程學院，江西 南昌330031;2. 江西科技學院汽車工程學院，江西 南昌330098;3. 中國鐵路總公司，北京100844)

軌道結(jié)構(gòu)的組合性和所承受列車荷載的隨機性與重復性，決定了即便是無砟軌道，其在運營過程中也不可避免地會出現(xiàn)殘余變形積累，從而形成軌道的各種不平順［1］. 軌道不平順是輪軌系統(tǒng)的激擾源，是引起機車車輛振動和輪軌動作用力的主要原因，對列車行車的安全性、平穩(wěn)性、舒適性、車輛和軌道部件的壽命以及環(huán)境噪聲等都有很大影響［2］.在高速條件下，平順性對行車的安全性、舒適性影響更突出. 因此，高速鐵路必須具備高平順性，其高低、軌向等平順性指標均應控制在±2 mm以內(nèi)［3］.如何實現(xiàn)高速鐵路無砟軌道的高平順性，涉及到包括設(shè)計、施工、養(yǎng)護等的全面質(zhì)量控制，并隱含于控制標準、測量技術(shù)、量值傳遞以及施工工藝等一系列具體問題中.

現(xiàn)有的無砟軌道平順性控制，基本上是通過對外部幾何參數(shù)的絕對測量獲得軌道工程坐標，然后用坐標法進行調(diào)整規(guī)劃，進而調(diào)整扣件系統(tǒng)，以獲得軌道的高平順性. 坐標法的核心在于，通過軌道的外部幾何參數(shù)控制軌道的內(nèi)部幾何參數(shù)，即通過軌道橫、垂向偏差的調(diào)整實現(xiàn)軌道的高平順性. 基于絕對測量的坐標法，其原理解析且結(jié)果閉合. 另外，坐標法以軌道外部幾何參數(shù)為控制對象，故其應用于軌道施工，有利于軌道狀態(tài)的全面均衡. 然而，在現(xiàn)場軌道養(yǎng)護中，該技術(shù)存在適用性的問題，具體表現(xiàn)在測量效率與軌道養(yǎng)護模式不匹配，測量精度與質(zhì)量管理要求不統(tǒng)一，測量成果與平順性概念不兼容.

我國相對測量歷經(jīng)近10 年的發(fā)展，目前已較為成熟，已廣泛應用于軌道的日常檢測. 在線下工程竣工后，為保證列車運營的安全性、舒適性，軌道管理的重點在于其平順性控制［2］. 因此，有必要研究基于平順性的軌道養(yǎng)護方案. 為不失一般性，本文的討論僅限于軌道平面的平順性.

1 相對測量技術(shù)及既有軌道整正算法

1.1 基于軌向平順性的相對測量技術(shù)

目前用于高速鐵路無砟軌道的0 級軌道檢查儀，基本上采用慣性法進行測量，其原理是利用光纖陀螺(FOG)的Sagnac 效應［4］. 光纖陀螺利用光纖構(gòu)成Sagnac 干涉儀，光路中順、逆時針兩束光波的相位差ΔΦ 與陀螺儀的轉(zhuǎn)向角φ 的關(guān)系為

式中:N 為光纖匝數(shù);λ 為真空中光波長;c 為真空中光速;A 為光路所包含的面積;t0～t 為積分時間.

在此基礎(chǔ)上，再通過對轉(zhuǎn)向角的里程積分，可得軌道的慣性軌跡序列，并可計算軌道不平順(中點矢距)序列n-1}［5］.

由于相對測量技術(shù)采用慣性基準，故測量序列不包含外部幾何尺寸信息，但測量效率可達4 ～8 km/h.

1.2 相對測量精度的要求

對軌道不平順的精確測定是軌道整正的前提和基礎(chǔ)，參照文獻［6］關(guān)于測量儀器示值誤差符合性評定的基本要求，測量允差U95與平順性控制允差UMPEV間應滿足

在此條件下，由測量允差引入的不確定度不會顯著影響測量結(jié)果.根據(jù)文獻［3］，軌向、正矢與高低控制值均為±2 mm，可得軌向、正矢測量允差U95=0.7 mm.

1.3 現(xiàn)行平順性整正算法

傳統(tǒng)的軌道平面整正算法應用于普速鐵路，主要包括繩正法、偏角法及目穿法等，其中繩正法和偏角法是基于漸開線模型計算軌道調(diào)整量［1］. 設(shè)軌道等步距測量n 個樁點，得到實測中點矢距vi，并有設(shè)計中點矢距Vi，i =1，2，…，n -1. 假定軌道任意一點均沿漸開線移動且移動前后軌道長度不變，則有

式中:ei為第i 點的調(diào)整量，i=1，2，…，n-1.

由于漸開線模型計算中存在累和計算［7］，意味著隨里程增加，誤差將不斷增大，難以保證長撬平順性，甚至產(chǎn)生“鵝頭”或反彎.

目穿法則是目測不平順，然后通過多次動道，逐點改善軌道的平順性.此方法對不平順的測定十分粗糙，且嚴重依賴于操作者的技能和經(jīng)驗，易破壞設(shè)計線型，故目前不能作為一種獨立的整道方法應用于高速鐵路無砟軌道精調(diào).

2 基于軌向平順性的軌道精調(diào)的基本思路

如前所述，采用陀螺儀可計算軌道的軌跡，但由于缺乏方位角及起算點的北東高(N，E，Z)坐標，且由于陀螺儀積分飽和，故直接計算軌道的坐標在工程上難以實現(xiàn). 因此，直接對軌跡與軌道標準線型進行比較以獲得整道量在技術(shù)上存在一定難度.然而，整道并非以全面恢復軌道幾何尺寸為唯一目的，當以平順性控制為目標時，則可避免求解積分常數(shù)，也可避免積分飽和對線型計算的影響.

從本質(zhì)上講，目穿法調(diào)軌過程可理解為一種迭代行為，即利用前幾次的控制信息構(gòu)成當前的輸入控制信息，并按期望輸出找到期望輸入. 迭代算法具有嚴格的數(shù)學描述和定義，算法簡單，且不依賴被控系統(tǒng)模型，對解決常規(guī)算法難以控制的復雜、不確定性系統(tǒng)有獨到之處.

2.1 不平順向量模型的建立

根據(jù)文獻［8］，靜態(tài)軌向、高低不平順等的定義往往采用中點弦測(mid-chord offset，MCO)模型(圖1).以平面為例，設(shè)測弦基長為L，并令軌道檢查儀以步距0.5L 連續(xù)測量軌道，則軌道平順性可表示為

式中:vi為軌道不平順，mm;fi(i=1，2，…，n -1)為軌道平面軌跡(橫向偏差)，mm.

圖1 軌道不平順的中點弦測模型Fig.1 MCO model for track irregularities

由式(4)可知，中點弦測模型具有二階差分的形式，即其直接表征軌道里程方向的二階導數(shù)或曲率.中點弦測模型的主要問題是，其幅值增益將隨不平順波長變化而在0 ～2 間振蕩［9-10］.然而，考慮到其相頻特性無畸變，且有利于提取敏感波段的不平順信息，故仍廣泛用于軌道平順性檢查.

將軌道不平順序列和軌道平面軌跡序列寫成向量形式:

V=(v0，v1，v2，…，vn-1)T，

F=(f0，f1，f2，…，fn-1)T.

由式(4)，設(shè)

顯然，A 為三對角矩陣，則式(4)寫為

式(5)表達了軌向不平順與軌道平面軌跡的關(guān)系.若V 為軌道設(shè)計參數(shù)確定的不平順期望值，則軌道整正問題轉(zhuǎn)化為通過初始軌跡向量F(0)求解期望軌跡輸入F*的問題.

為便于說明，可對矩陣A 進行分解，令D 為單位矩陣，

則

由 于A 的 順 序 主 子 式Δi＞0 且為A 的元素，i=1，2，…，n)，故此時矩陣A 正定對稱且對角占優(yōu).

2.2 軌道平面整正的迭代算法

式(5)的常規(guī)數(shù)值解法有直接法和迭代法，直接法(如Gauss 消去法)對原始數(shù)據(jù)誤差和計算舍入誤差敏感，故宜采用迭代法求解. 迭代法是求解大型線性系統(tǒng)(特別是稀疏矩陣)的有效方法，具有存儲空間小、程序簡單等特點. 它是從某個初始向量x(0)出發(fā)，按一定的迭代格式產(chǎn)生向量序列{x(k)}，隨著k 增大，x(k)將逐步逼近x.

基本迭代法包括Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代以及超松弛(SOR)迭代等算法.相對于Jacobi 迭代算法，由于Gauss-Seidel 迭代、SOR 迭代算法利用了x(k+1)1，x(k+1)2，…，x(k+1)i-1計算x(k+1)i，故收斂速度快，迭代矩陣構(gòu)造也較簡單［11］.

SOR 迭代式為

式中，ω 為松弛因子.

當ω=0 時，式(6)即為Gauss-Seidel 迭代.

對式(5)進行迭代求解，須滿足收斂性條件.另外，ω 的取值也直接影響收斂速度，一般采用試湊法尋優(yōu).

對于如矩陣A 的正定對稱的三對角矩陣，根據(jù)文獻［11］，當0 ＜ω ＜2 時，SOR 迭代收斂，且有最優(yōu)松弛因子［12-13］

式中:ρ(·)為迭代矩陣的譜半徑;BJ為式(5)的Jacobi 迭代矩陣.

則其特征值

當矩陣規(guī)模n 較大時，BJ的譜半徑

由式(7)，最優(yōu)松弛因子

此時，整理式(6)，有

迭代終止條件:

式中，ε 為精調(diào)允差，mm.

為使迭代計算的截斷誤差不致顯著影響軌道的平順狀態(tài)，ε 應不大于作業(yè)驗收標準的1/3.令為式(10)的精確解，則第i 點的調(diào)整量

2.3 迭代收斂速度及無砟軌道初始不平順

式(10)對任意初始向量F(0)均收斂，然而其應用于工程計算需滿足一定收斂速度的要求.收斂速度可用式(10)第k 次迭代的殘差表示［11］:

對于正定對稱的三對角矩陣，當ωopt=2(n +1)/(n+1 +π)時，有［13］

4.效力上，強調(diào)審前程序的約束性。由于目前的審前程序僅僅是一種程序性的準備，所有的內(nèi)容都是在形式意義上存在的，因?qū)徢俺绦蛭赐瓿啥绊懲彽那闆r非常少見，反之，因為庭審程序而要求審前程序的重新開始卻是普遍現(xiàn)象，這就導致審前程序毫無約束力可言。因此，民事審前程序的二元性價值改造需要對審前程序的效力進行特別的強調(diào)，在審前程序的目的沒有實現(xiàn)的情況下，庭審程序不能任意開始。這樣，既消除了訴訟程序的反復性和非約束性，強化了訴訟程序的安定性和可預測性，也提高了訴訟程序的有序性和效率性。

隨矩陣規(guī)模增大，式(10)的迭代收斂速度降低，但保持收斂.當n =100 時，經(jīng)過37 次迭代，誤差約為初始值的10%.

另外，由式(13)，初始輸入向量F(0)越接近期望輸入向量F*，收斂速度越快. 對于軌道平面整正而言，即意味著當軌道初始平順性較好時，上述算法可迅速逼近精確值，從而得到相應的調(diào)整量.

考察無砟軌道的初始平順性，在鋼軌定尺為100 m 的條件下，無砟軌道的初始不平順主要源自軌道板的制造、安裝及扣件系統(tǒng)誤差. 綜合《高速鐵路工程測量規(guī)范》、《客運專線無砟軌道鐵路工程施工技術(shù)指南》以及《福斯羅300-1 扣件系統(tǒng)零部件制造驗收技術(shù)條件》等標準要求，并假定公差符合均勻分布，其他誤差符合正態(tài)分布，在各項誤差相互獨立的條件下，標準不確定度［14］

式中，u(xi)為誤差xi的標準不確定度，i =1，2，…，n.

軌道的初始不平順見表1.

表1 軌道初始不平順Tab.1 Initial irregularities of ballastless track

從表1 可見，無砟軌道經(jīng)過調(diào)板、鎖定及軌道清理后，軌道的初始平順性較好，僅需局部調(diào)整.這不僅有利于保證軌道的穩(wěn)定性，也有利于整正量計算的快速收斂.

3 精調(diào)算法的現(xiàn)場試用

為驗證基于平順性的軌道精調(diào)算法在軌道精調(diào)中的效果，于2010 年12 月在某高速鐵路土建三標5 工區(qū)進行了現(xiàn)場規(guī)模試用［15］. 試用線路長5.25 km，全線為CRTSⅡ型軌道板、跨區(qū)間無縫線路，平面線形選擇包括直線、緩和曲線和圓曲線.

作為對照，另有30.75 km 線路采用基于全站儀的絕對測量技術(shù)進行精調(diào).精調(diào)效果通過動態(tài)檢查評價，動態(tài)質(zhì)量評定執(zhí)行350 km/h 標準.表2 為線路不平順動態(tài)質(zhì)量的比較. 從表2 可見，2 種精調(diào)方法的整道效果相當，均滿足無砟軌道精調(diào)的要求.

圖2 右軌平面調(diào)整效果(局部)Fig.2 Adjustment effect of right alignment (enlarged view)

表2 線路不平順動態(tài)質(zhì)量比較Tab.2 Dynamic quality comparison of ballastless track

4 結(jié) 論

本文建立了軌道不平順向量模型，提出了基于中點弦測模型的無砟軌道精調(diào)量計算方法和以恢復平順性為目標的無砟軌道精調(diào)量逐次超松弛迭代算法，并且在某高速鐵路進行了現(xiàn)場規(guī)模試用，獲得以下結(jié)論:

(1)提出的算法具有收斂性，計算結(jié)果可以保證高速鐵路無砟軌道的高平順性，采用該算法不會顯著改變軌道的外部幾何尺寸.

(2)與已有的漸開線方法相比，由于無砟軌道精調(diào)量迭代算法是以軌道平順性為期望輸出對測量數(shù)據(jù)進行多次迭代，不存在累和問題和首尾控制條件，故可保證測量范圍內(nèi)的整體平順;與基于絕對測量的坐標法相比，由于其輸入輸出均為軌道內(nèi)部幾何尺寸，故測量效率、解算效率及與既有養(yǎng)修規(guī)范的銜接等均優(yōu)于坐標法.

(3)與絕對測量精調(diào)技術(shù)相比，提出的精調(diào)技術(shù)具有無需外部標志、測量環(huán)境適應性好、精調(diào)工作效率高等優(yōu)點，作業(yè)效果與絕對測量精調(diào)技術(shù)相當，滿足高速鐵路無砟軌道養(yǎng)修的要求.

迭代算法的收斂性分析是在無干擾情況下進行的.但在長波條件下，測量數(shù)據(jù)存在各類擾動，需對算法的魯棒性進行研究. 此外，當矩陣規(guī)模較大時，算法的復雜度將增加，需進一步研究迭代的加速算法，如進行分塊迭代等.

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