蔣友寶，廖 強，張建仁

(長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長沙410114)

其中，Ai為求積系數(shù)，與函數(shù)f(y)無關(guān)。

若積分區(qū)間是［a，b］，可通過變量置換

0 引 言

積分方法是求解結(jié)構(gòu)可靠度的主要方法之一。對于簡單的失效方程，各種積分方法一般均能夠給出較為精確的可靠度計算結(jié)果。但實際工程結(jié)構(gòu)一般具有多個失效模式、多維隨機變量［1-3］，因而其體系失效邊界將為一復(fù)雜(分段、多維非線性)函數(shù)。在這種情形下，如何計算其可靠度，引起了較多研究者的關(guān)注。

Pandey 等［4］依據(jù)條件概率理論提出了一種計算體系可靠度的PCM(Product of Conditional Marginal)方法，將多維積分轉(zhuǎn)換為一系列條件邊緣分布概率的乘積，克服了多維情形下直接積分工作量較大的不足。隨后，Yuan 和Pandey［5］、Nadarajah［6］分析了PCM 法在系統(tǒng)可靠度計算中存在的不足并進行了改進。涂茂紅等［7］通過修正PCM 方法計算過程中的相關(guān)系數(shù)矩陣，得到了一種改進的G-PCM 方法(General PCM)，但其迭代算法較為復(fù)雜，且對其用于復(fù)雜混聯(lián)體系可靠度計算的適用性沒有說明。

當(dāng)結(jié)構(gòu)體系失效邊界為一復(fù)雜函數(shù)時，直接積分方法因無任何簡化假設(shè)，因此其計算精度在理論上要較各種PCM 方法及其改進方法要高，但其用于體系可靠度分析的難點是計算量較大。針對此不足，貢金鑫等［8］提出了一種基于Gauss-Hermite 積分的可靠度積分計算方法。該方法利用Gauss-Hermite 積分快速收斂的特性，使計算效率成倍提高。但應(yīng)指出的是，Gauss-Hermite 積分對積分0 點的依賴性過強;當(dāng)失效邊界為復(fù)雜曲面時，如對失效概率有重要貢獻的區(qū)域有多個且較為分散時，其積分0 點將很難選取，而一旦選取不當(dāng)則其計算精度會變得較差。

Zhao 等［9］提出了一種基于降維分解的DRI(Dimension Reduction Integration)方法，該方法使用降維分解技術(shù)將串聯(lián)結(jié)構(gòu)體系失效函數(shù)表達為多個低維函數(shù)的和;然后采用Gauss-Hermite 積分得到多個低維函數(shù)的前4 階矩，并用此4 階矩來求得體系可靠度。其優(yōu)點是不必考慮各失效模式的相關(guān)系數(shù)矩陣，但當(dāng)各失效模式方程形式改變時，該方法的計算結(jié)果會波動。由可靠度基本理論知，只有對失效曲面進行相應(yīng)分析方才會克服此不足。為此，蔣友寶等［10］對串聯(lián)結(jié)構(gòu)體系失效方程邊界的復(fù)雜特性進行了分析，并建議了一種基于梯形積分和降維分解的體系可靠度計算方法，數(shù)值分析表明該方法具有較好的精度與效率。

另外，作為積分方法之一的Monte-Carlo 方法由于不需要考慮失效邊界的復(fù)雜特性和隨機變量的相關(guān)系數(shù)矩陣，能對結(jié)構(gòu)的可靠度直接進行計算，因而常作為校核其他可靠度計算方法的手段。但對于高可靠性問題，Monte-Carlo 方法需要巨大的樣本數(shù)量，往往難以接受。為了提高計算精度和效率，研究者提出了多種重要抽樣法［11-14］。但這些方法由于其固定的隨機性，即使采用重要抽樣方法也無法消除計算結(jié)果隨樣本數(shù)量的隨機波動性，且復(fù)雜混聯(lián)體系的重要抽樣密度函數(shù)一般較難確定。

可見，研究合適的積分方法來提高復(fù)雜混聯(lián)體系可靠度積分計算的精度與效率仍具有較大的價值。為此，本文研究了復(fù)雜混聯(lián)體系可靠度計算中積分區(qū)域的快速確定方法，并對比了復(fù)雜失效方程下常用的梯形積分、Gauss-Hermite 積分和Gauss-Legendre 積分的計算精度與效率。

1 積分區(qū)域的快速確定方法

1.1 混聯(lián)失效模式下積分區(qū)域的復(fù)雜性

由于Rosenblatt 變換可將非正態(tài)隨機變量轉(zhuǎn)化為標(biāo)準正態(tài)分布變量，因此不失一般性，可假定各隨機變量均服從標(biāo)準正態(tài)分布。根據(jù)定義，結(jié)構(gòu)的失效概率pf可計算為

其中，X={x1，x2，…，xn}，為各隨機變量組成的聯(lián)合向量;φ(X)為多維標(biāo)準正態(tài)聯(lián)合分布的概率密度函數(shù);Ω 為失效域。

而結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)β 與失效概率之間的換算式為

在標(biāo)準正態(tài)空間中，結(jié)構(gòu)體系各失效模式對應(yīng)的曲面方程一般為非線性的，但對實際工程結(jié)構(gòu)的初步研究［15-16］表明，這種非線性程度一般較弱，因而可用FORM 方法來計算其可靠度，即采用驗算點處的切線平面來代替非線性失效曲面。

當(dāng)結(jié)構(gòu)體系各失效曲面用切線平面近似后，設(shè)可得到m 個線性失效模式，分別記為g1，g2，…，gm，而D1，D2，…，Dm為各線性失效模式的驗算點。對于多個線性的超平面集合，失效域Ω 一般可表示為下列點的集合

其中，Ωn區(qū)域需由體系失效邊界確定，因此式(1)轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

其中，u(x1，…，xn-1)表示當(dāng)x1，x2，…，xn-1給定時xn變量在失效域Ωn內(nèi)的積分值，可計算為

當(dāng)失效模式數(shù)量較少時，失效域Ωn一般較簡單，可容易確定。例如，在圖1 中，失效模式g3和g4為并聯(lián)組成，其余為串聯(lián)組成。可見，當(dāng)x1變量取圖中定值且沿x2軸方向搜尋與體系失效邊界的交點時，可能的交點數(shù)量有4 個，但直觀判定實際的交點只有P1和P2，對應(yīng)的Ωn為［-∞，x2P1］和［x2P2，+∞］。而當(dāng)變量維數(shù)和失效模式數(shù)量增多時，由于不能直觀顯示且可能的交點數(shù)量更多，因此xn對應(yīng)的積分區(qū)域Ωn較為復(fù)雜，此時需結(jié)合數(shù)值計算手段方能確定其積分區(qū)域。

1.2 積分區(qū)域的快速確定

不失一般性，考慮如下一典型混聯(lián)體系，其組成方式見圖2，共有r 個串聯(lián)失效模式集合，各串聯(lián)集合中分別包括s1，s2，…，sr個并聯(lián)的失效模式。

圖1 結(jié)構(gòu)混聯(lián)體系的積分區(qū)域Fig.1 Domains for integral calculation for a structural compound system

圖2 典型混聯(lián)體系組成Fig.2 Components of a typical compound system

如前所述，設(shè)總的失效模式數(shù)量為m，顯然有

根據(jù)每個失效模式方程確定出沿xn方向直線與失效邊界的m 個可能點。然后按照上述組成方式確定出位于邊界上的真實點。例如對于jth串聯(lián)模式，它是由sj個并聯(lián)失效模式組成，對應(yīng)的可能點為Pj，1，Pj，2，…，Pj，sj。若其中之一的Pj，i在失效邊界上，則其必然滿足

即該點在自身失效模式對應(yīng)的邊界(極限狀態(tài)曲面)上，而在其他失效模式對應(yīng)的失效域內(nèi)。

為闡述方便，記在邊界上的Pj，i為Pj，ij。對r 個串聯(lián)失效模式進行同樣運算，可得到對應(yīng)的可能點為P1，i1，P2，i2，…，Pr，ir。若其中之一的Pj，ij在失效邊界上，則其必然滿足

即該點在自身失效模式對應(yīng)的邊界(極限狀態(tài)曲面)上，而在其他失效模式對應(yīng)的安全域內(nèi)。

根據(jù)得到的失效邊界上的若干個點，將xn變量劃分成多個區(qū)間，可確定出相應(yīng)的積分區(qū)域Ωn，進而采用式(4)和式(5)完成積分計算。

2 復(fù)雜失效邊界下各種積分算法的適用性分析

2.1 梯形求積公式

梯形求積公式是指在給定區(qū)間［a，b］內(nèi)構(gòu)造被積分函數(shù)f(y)的線性插值多項式，從而得到的積分計算式。其積分計算式為

2.2 Gauss 型求積公式

Gauss 型求積公式是指在給定區(qū)間［a，b］內(nèi)取多個互異的求積節(jié)點來構(gòu)造被積分函數(shù)f(y)的插值多項式，從而得到的積分計算式。常用的積分計算式有Gauss-Legendre 型求積公式和Gauss-Hermite 求積公式兩種。

2.2.1 Gauss-Legendre 型求積公式

當(dāng)給定權(quán)函數(shù)ρ(y)=1 和積分區(qū)間［-1，1］，Gauss-Legendre 型求積公式為

其中，Ai為求積系數(shù)，與函數(shù)f(y)無關(guān)。

若積分區(qū)間是［a，b］，可通過變量置換

將積分區(qū)間［a，b］變?yōu)榉e分區(qū)間是［1，-1］，此時積分式轉(zhuǎn)化為

2.2.2 Gauss-Hermite 型求積公式

當(dāng)給定權(quán)函數(shù)ρ(y)=e-y2，積分區(qū)間為(-∞，∞)時，Gauss-Hermite 求積公式為

當(dāng)應(yīng)用式(11)來計算式(4)中的失效概率時，需做一定的函數(shù)變換。對于多維標(biāo)準正態(tài)聯(lián)合分布，其概率密度函數(shù)為

作變量置換

因此，在Y 空間中，失效概率計算式(4)變?yōu)?/p>

其中，u'(y1，…，yn-1)為變量置換后與u(x1，…，xn-1)對應(yīng)的函數(shù)。

式(14)即可采用Gauss-Hermite 積分式進行計算。

2.3 各種積分方法的適用性分析

對于Gauss-Legendre 和Gauss-Hermite 型求積公式，其求積節(jié)點yi和求積系數(shù)Ai見表1?？芍?，Gauss-Legendre 積分和Gauss-Hermite 積分均是采用固定的積分節(jié)點位置和對應(yīng)的求積系數(shù)來計算失效概率的。當(dāng)體系失效邊界較為復(fù)雜時，重要積分區(qū)域(對失效概率有重要貢獻的積分區(qū)域)將較為復(fù)雜。此時，即使增加積分節(jié)點的數(shù)量，但由于Gauss-Legendre 積分或Gauss-Hermite 積分節(jié)點之間位置的相對固定性和積分節(jié)點間距的不均衡性(有些節(jié)點間距大，有些節(jié)點間距小)，因此在較壞的情形下，這些積分節(jié)點與反映重要積分區(qū)域復(fù)雜性的特征點(位于失效邊界上的驗算點等)會有較大偏差，致使其計算精度變得較差。

表1 Gauss-Hermite 與Gauss-Legendre 積分節(jié)點和積分系數(shù)Tab.1 Nodes and weight factors for Gauss-Hermite and Gauss-Legendre integration

而梯形積分節(jié)點是等間距的，即為均勻分布，通過增加積分節(jié)點的數(shù)量，可同步縮小各積分節(jié)點之間的間距，同時各積分節(jié)點與反映重要積分區(qū)域復(fù)雜性的特征點之間的偏差亦會穩(wěn)步地減小，即能較好地與重要積分區(qū)域相匹配，因而在這種情形下將具有較好的適用性。

3 算例分析

3.1 算例1

考慮一驗算點較為分散且具有2 個失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)，2 個失效模式為

其中，x1，x2服從標(biāo)準正態(tài)分布。

對于此算例，可求得兩個驗算點為:D1(5，1)和D2(-5，1)，其對應(yīng)的重要積分區(qū)域已大為超出7節(jié)點Gauss-Hermite 積分對應(yīng)的區(qū)間［-3.7505，3.7505］，因此若在Y 空間中不進行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)(Case 1)，則其積分節(jié)點將很難反映出此重要積分區(qū)域的特性，計算精度將較差;反之若在Y 空間中進行坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，即將y'2軸指向y1軸，則其積分節(jié)點將能較好地反映出此重要積分區(qū)域的特性，計算精度又將會變得較好。

由于積分區(qū)間、積分節(jié)點數(shù)量的不同會對Gauss-Legendre 積分和梯形積分節(jié)點的位置產(chǎn)生較大的影響，因而為研究其影響規(guī)律，此處兩種積分方法各考慮三種情形，其中14 個節(jié)點的Gauss-Legendre 積分結(jié)果是指將積分區(qū)間［-6.0，6.0］劃分成［-6.0，0］和［0，6.0］兩個子區(qū)間，然后在每個子區(qū)間上均采用7 個節(jié)點的Gauss-Legendre 積分式進行計算。不同情形下積分節(jié)點與被積分函數(shù)見圖3。

圖3 算例1 積分函數(shù)與各積分方法的節(jié)點分布Fig.3 Illustration of the integral function and integral nodes of each method for example 1

可見，此算例的被積分函數(shù)僅在兩個點(x1=±5.13)附近取值很大，而其他區(qū)域取值極小，因此只有當(dāng)積分節(jié)點能落在這兩個點(x1=±5.13)附近時，積分函數(shù)的復(fù)雜性才能被反映出來，對應(yīng)的積分方法才具有較好的精度。而如前所述，由于Gauss-Legendre 積分節(jié)點之間位置的相對固定性和積分節(jié)點間距的不均衡性，使得其計算結(jié)果較不穩(wěn)定，在不利情形下(積分區(qū)間為［-6.0，6.0］，7 個節(jié)點)其積分節(jié)點偏離x1=±5.13 較多，計算結(jié)果將變得較差。具體各種方法的計算結(jié)果見表2。

表2 算例1 計算結(jié)果Tab.2 Calculated results for example 1

若以Monte Carlo 方法為精確解，可見各種情形下梯形積分方法具有較好的穩(wěn)定性，而Gauss-Legendre 積分方法的穩(wěn)定性較差。例如，同樣采用17 個積分節(jié)點，當(dāng)積分區(qū)間由［-5.5，5.5］擴大為［-6.0，6.0］時，梯形積分計算結(jié)果變化不大，均較為精確;而同樣采用7 個Gauss-Legendre 積分節(jié)點，當(dāng)積分區(qū)間為［-5.5，5.5］時其計算結(jié)果較為精確，而一旦積分區(qū)間稍有改變，如擴大為［-6.0，6.0］時，其計算結(jié)果就會變得較差，此時β 相差6.45%，進一步按式(2)計算知對應(yīng)的pf相差約5 倍。

這表明，在Gauss-Legendre 積分節(jié)點數(shù)量一定時，若積分區(qū)間選擇不合理，則其積分計算精度將會較差;當(dāng)可接受較多計算量時，選用梯形積分來計算可靠度會是一個較好的選擇，因為其積分節(jié)點是等間距的，確定較簡單，且其計算結(jié)果較為穩(wěn)定。

3.2 算例2

某體系的失效方程如下所示:

其中:g1與g3為并聯(lián)體系，g2與g4為并聯(lián)體系;x1、x2、x3和x4均服從標(biāo)準正態(tài)分布。

依據(jù)文中提出的失效域確定方法，得到的各驗算點與失效邊界的幾何關(guān)系見表3。

表3 算例2 各失效模式驗算點Tab.3 Checking points of all failure modes for example 2

可知，僅失效模式g5對應(yīng)的驗算點在失效邊界上，且在Y 空間中此算例的重要積分區(qū)域與7 節(jié)點Gauss-Hermite 積分區(qū)間組成的超立方體吻合較差，因而若不進行合理的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)將得到較差的計算結(jié)果(Case 1);若將坐標(biāo)系合理旋轉(zhuǎn)，即Y'4軸指向各失效模式的中心點，則能得到較好的計算結(jié)果(Case 2)。具體不同積分方法計算得到的可靠指標(biāo)見表4。

若以Monte Carlo 方法為精確解，可見Gauss-Legendre 積分方法的計算精度依然較不穩(wěn)定，與積分區(qū)間、積分節(jié)點數(shù)量的選取有很大關(guān)聯(lián):選取不當(dāng)時其計算誤差會很大，如將積分節(jié)點數(shù)量增加至14 時，積分計算結(jié)果反而變得較差［β 相差5.40%，進一步按式(2)計算知對應(yīng)的pf相差約3 倍］;而選取合理時誤差則較小。而梯形積分方法的計算精度在各種情形下均較為穩(wěn)定，因而當(dāng)可接受較多計算量時是計算可靠度的一個較好選擇。

表4 算例2 計算結(jié)果Tab.4 Calculating results for example 2

3.3 算例分析討論

上述算例分析表明，無論其為串聯(lián)體系還是復(fù)雜混聯(lián)體系，文中提出的基于體系組成方式的失效域確定方法均較為有效，可為積分計算提供較好的基礎(chǔ)。

當(dāng)體系失效邊界較為復(fù)雜時，Gauss-Hermite 積分方法與Gauss-Legendre 積分方法的計算結(jié)果較不穩(wěn)定，為獲得較高的計算精度，需進行合理的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)或積分區(qū)間確定;而在復(fù)雜體系失效邊界的情形下這往往較難實現(xiàn)。

梯形積分方法僅需通過簡單地增加積分節(jié)點數(shù)量便能較好地匹配復(fù)雜的重要積分區(qū)域，計算結(jié)果較為精確且穩(wěn)定，具有較好的適用性。若能接受較多計算量時，該方法可作為一種推薦方法來計算結(jié)構(gòu)體系可靠度。

4 結(jié) 論

本文考慮失效模式的組成方式，提出了一種實用的復(fù)雜混聯(lián)體系失效區(qū)域的確定方法，并結(jié)合算例分析對比了不同積分算法的計算精度與效率。分析得到如下結(jié)論:

①對于復(fù)雜混聯(lián)體系，可依據(jù)其混聯(lián)組成方式較精確地確定出當(dāng)其余維變量取定值時對應(yīng)的條件失效區(qū)間，進而得到其體系失效區(qū)域。算例分析表明該思路能達到較好效果;

②當(dāng)體系失效邊界較為復(fù)雜時，采用等間距積分節(jié)點的梯形積分方法通過增加積分節(jié)點數(shù)量，可同步縮小各積分節(jié)點之間的間距，因而各積分節(jié)點與反映重要積分區(qū)域復(fù)雜性的特征點之間的偏差會穩(wěn)步地減小，具有較好的適用性;

③Gauss-Hermite 和Gauss-Legendre 積分方法的計算精度較不穩(wěn)定，其與選取的積分坐標(biāo)系和積分區(qū)間有關(guān)，若積分坐標(biāo)系和積分區(qū)間選取不合理，會導(dǎo)致其積分節(jié)點不能較好地匹配復(fù)雜的重要積分區(qū)域，此時其計算精度將會較差。

［1］ KIM D S，OK S Y，SONG J，et al.System reliability analysis using dominant failure modes identified by selective searching technique［J］.Reliability Engineering＆System Safety，2013，119:316-331.

［2］ LEE Y J，SONG J.Finite-element-based system reliability analysis of fatigue-induced sequential failures［J］.Reliability Engineering＆System Safety，2012，108:131-141.

［3］ 秦榮，梁漢吉，孫千偉.大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系可靠度分析的QR 法［J］.廣西大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，33(1):10-15.

［4］ PANDEY M D，SARKAR A.Comparsion of a simple approximation for multinormal integration with importance samplingbased simulation method［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2002，17:215-218.

［5］ YUAN X X，PANDEY M D.Analysis of approximations for multinormal integration in system reliability computation［J］.Structural Safety，2006，28(4):361-377.

［6］ NADARAJAH S.On the approximations for multinormal integration［J］.Computers＆Industrial Engineering，2008，54(3):705-708.

［7］ 涂宏茂，錢云鵬，姬廣振，等.改進的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度的條件邊緣乘積法［J］.工程力學(xué)，2012，29(10):321-326.

［8］ 貢金鑫，陳曉寶，趙國藩.結(jié)構(gòu)可靠度計算的Gauss-Hermite 積分方法［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報，2002，36(11):1625-1629.

［9］ ZHAO Y G，LIN Y S，ANG A H S.Dimension reduction integration for system reliability［C］//KATAFYGIOTIS L S，ZHANG L，TANG W H，et al.Proceedings of the Asian-Pacific Symposium on Structural Reliability and its Applications.Hong Kong:The Hong Kong University of Science and Technology，2008:310-315.

［10］蔣友寶，劉揚，張建仁.基于失效邊界特性的體系可靠度計算方法［J］.工程力學(xué)，2010，27(8):77-82.

［11］金偉良.結(jié)構(gòu)可靠度數(shù)值模擬的新方法［J］.建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報，1996，17(3):63-72.

［12］MORI Y，KATO T.Multinormal integrals by importance sampling for series system reliability［J］.Structural Safety，2003，25:363-378.

［13］ZHANG F，LU Z Z，CUI L J，et al.Reliability sensitivity algorithm based on stratified importance sampling method for multiple failure modes systems［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2010，23(6):660-669.

［14］PATELLI E，PRADLWARTER H J，SCHU?LLER G I.On multinormal integrals by importance sampling for parallel system reliability［J］.Structural Safety，2011，33(1):1-7.

［15］KIM S H，NA S W.Response surface method using projected vector sampling points［J］.Structural Safety，1997，19(1):3-19.

［16］JIANG Y B，ZHANG J R.Characteristic analysis of load effect function under complex loads［C］// CHOI V C K.Proceedings of Advances in Structural Engineering and Mechanics.Jeju，Korea:John Wiley＆Sons，2008:3251-3260.