王 波

（南京市雨花臺(tái)中學(xué)，江蘇 南京 210012）

2014年全國高考第24題是一道動(dòng)力學(xué)的問題.運(yùn)動(dòng)的特征是加速度逐漸減小為0的直線運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律在高中物理中很常見，涉及的知識(shí)板塊較多.由于運(yùn)動(dòng)的非線性特征，學(xué)生在理解程度上有困難，知識(shí)遷移能力不夠.筆者從這道試題出發(fā)探討這類問題的典型特征，對(duì)這一類問題在教學(xué)上做一個(gè)總結(jié).

高考試題.2012年10月，奧地利極限運(yùn)動(dòng)員菲利克斯·鮑姆加特納乘氣球升至約39km的高空后跳下，經(jīng)過4min 20s到達(dá)距地面約1.5km高度處，打開降落傘并成功落地，打破了跳傘運(yùn)動(dòng)的多項(xiàng)世界紀(jì)錄，取重力加速度的大小g＝10m/s2.

（1）略.

圖1

（2）實(shí)際上物體在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)受到空氣阻力，高速運(yùn)動(dòng)受阻力大小可近似表示為f＝kv2，其中v為速率，k為阻力系數(shù)，其數(shù)值與物體的形狀，橫截面積及空氣密度有關(guān).已知該運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)高速下落的v-t圖像如圖1所示，著陸過程中，運(yùn)動(dòng)員和所攜裝備的總質(zhì)量m＝100kg，試估算該運(yùn)動(dòng)員在達(dá)到最大速度時(shí)所受阻力的阻力系數(shù)（結(jié)果保留1位有效數(shù)字）.

由上題進(jìn)一步延伸，可以得出這類問題的運(yùn)動(dòng)模型特征一般表現(xiàn)為：運(yùn)動(dòng)物體受到動(dòng)力和阻力作用，其中一個(gè)為恒力（或幾個(gè)恒力的合力），另一個(gè)為變力，而變力一般與速度有函數(shù)關(guān)系，所以加速度既會(huì)改變速度，又會(huì)隨著速度的變化而變化，速度與時(shí)間呈現(xiàn)出非線性關(guān)系.運(yùn)動(dòng)物體的加速度逐漸減小為0，物體先做加速度減小的變速直線運(yùn)動(dòng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大或最小.其速度圖像表現(xiàn)為圖2，圖3所示.

圖2

圖3

“加速度逐漸減小直至為0，物體先做變加速直線運(yùn)動(dòng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)”這種運(yùn)動(dòng)模型在不同的知識(shí)模塊有不同的呈現(xiàn)形式，下面從教學(xué)的角度舉例說明.

1 動(dòng)力學(xué)模塊

例1.一質(zhì)量為m的跳傘運(yùn)動(dòng)員從足夠高的高空跳下，加速運(yùn)動(dòng)到一穩(wěn)定速度v0后打開降落傘，此后受到的空氣阻力與運(yùn)動(dòng)員速率成正比，即f＝kv，重力加速度為g.

（1）求解運(yùn)動(dòng)員最終的速度.

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)員從開傘到速度最小所用時(shí)間為t，求運(yùn)動(dòng)員從開傘到速度最小時(shí)的位移x.

（2）由圖3可知v隨著t的變化是非線性的，“面積”不容易求出，高中階段可用“微元法”解決.

取很短時(shí)間Δt，在t～t＋Δt時(shí)間內(nèi)，由題意

本題中運(yùn)動(dòng)員受到重力（動(dòng)力為恒力）和阻力（變力），初始狀態(tài)決定了運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)加速度與速度方向相反，隨著a減小為0，速度也逐漸減小至最小值.

2 功能關(guān)系模塊

例2.一輛質(zhì)量為m的汽車以額定功率P從靜止開始啟動(dòng)，汽車受到大小不變的阻力f，啟動(dòng)后經(jīng)過時(shí)間t達(dá)到最大速度，求：

（1）汽車的最大速度；

（2）汽車達(dá)到最大速度時(shí)的位移.

（2）汽車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖2所示，本題涉及功率，從功能關(guān)系分析較為方便.

本題中汽車受到的動(dòng)力（牽引力）為變力，阻力為恒力，是機(jī)車在恒定功率下運(yùn)動(dòng)模型的主要特點(diǎn).耐心引導(dǎo)學(xué)生逐步分析，找到臨界點(diǎn)，畫出運(yùn)動(dòng)圖像，結(jié)合功能關(guān)系，可以較完整地解決這類問題，也可進(jìn)一步延伸，引導(dǎo)學(xué)生分析勻加速啟動(dòng)的機(jī)車運(yùn)動(dòng)問題.

圖4

3 電磁感應(yīng)模塊

例3.如圖4所示，相距為L的兩條足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面的夾角為θ，N、Q兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻.整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直導(dǎo)軌平面向下.將質(zhì)量為m、阻值也為R的金屬桿ab垂直放在導(dǎo)軌上，桿ab由靜止釋放，下滑距離x時(shí)達(dá)到最大速度.重力加速度為g，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，桿與導(dǎo)軌接觸良好.求：

（1）桿ab下滑的最大加速度；

（2）桿ab下滑的最大速度；

（3）上述過程中，桿上產(chǎn)生的熱量.

解析：由金屬桿受力分析可知金屬桿由靜止開始先做加速度a減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)a減為0時(shí)，金屬桿的速度最大，后做勻速直線運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)圖像如圖2所示.

（3）ab桿從靜止開始到最大速度過程中，根據(jù)能量守恒定律有

金屬桿在光滑的平行金屬導(dǎo)軌上受到的動(dòng)力為重力沿導(dǎo)軌向下的分力mgsinθ，阻力為安培力，而安培力隨速度的變化而變化.從受力特點(diǎn)看與前述高考題相似，從能量轉(zhuǎn)化角度看與例2相似，是電磁感應(yīng)中經(jīng)典的單桿運(yùn)動(dòng)模型.

4 電磁場綜合

例4.一質(zhì)量為m的小滑塊帶正電，電荷量為q，與絕緣水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.空間同時(shí)存在電場和磁場，勻強(qiáng)電場水平向右，電場強(qiáng)度為E；勻強(qiáng)磁場垂直紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，小滑塊從C點(diǎn)由靜止釋放沿直線向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，C、D兩點(diǎn)間的距離為s.若小滑塊運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)恰好保持穩(wěn)定速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，求小滑塊的穩(wěn)定速度大小v和此過程中摩擦力對(duì)滑塊所做的功W.（滑塊的帶電量不變，重力加速度g.）

圖5

解析：小滑塊的受力分析如圖，由題意可得

本題是一道較復(fù)雜的復(fù)合場問題.小滑塊的運(yùn)動(dòng)受到電場力和摩擦力的制約，電場力作為動(dòng)力是恒力，摩擦力是阻力，也是變力，其大小最終隨著速度的變化而變化.由于影響因素較多，教師在引導(dǎo)學(xué)生在分析這類問題時(shí)要條理清晰，低起點(diǎn)、耐心地幫助學(xué)生理解運(yùn)動(dòng)規(guī)律和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系.

物體先做加速度減小的變加速直線運(yùn)動(dòng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)在不同知識(shí)板塊表現(xiàn)形式不同，但分析這類問題的方法都是動(dòng)力學(xué)和能量關(guān)系相結(jié)合.這類運(yùn)動(dòng)所蘊(yùn)含的物理量之間的相互制約關(guān)系可以極好地鍛煉學(xué)生分析解決問題的能力，感受物理學(xué)的魅力.