◎ [俄] 阿特米·S·馬爾可夫

一、引言

隨著人們對將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于社會科學(xué)的興趣不斷增加，對歷史事件進行計算機模擬有著巨大的前景。能像在物理學(xué)和生物學(xué)中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律那樣邏輯嚴密、論證充分的，描述社會結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)（或曰進程）的規(guī)律并不存在；然而，生物和物理科學(xué)的歷史表明，概念的形式化為人們提供了可檢驗的推斷，那樣一來，研究人員便能“棄糟取精”。因此，一些確定的“社會方程”可以幫助歷史事件的數(shù)學(xué)建模者獲取邏輯嚴密、論證充分的結(jié)論，對社會體系作出預(yù)測，正如物理法則及其體系中的假設(shè)能指引研究的方向。

建立社會進程的數(shù)學(xué)模型這門學(xué)科的興起，主要源于數(shù)學(xué)方法和計算機應(yīng)用的進步，同時也是人們對社會的相互作用、風(fēng)險和威脅的復(fù)雜性了解程度不斷加深的結(jié)果。對復(fù)雜物理學(xué)過程建模的巨大成功，激發(fā)了人們將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到社會科學(xué)中。雖然社會學(xué)模型的初次嘗試表明，有時候簡單的線性方程足以給出充分的預(yù)測，但這些嘗試也暴露了一些根本性的問題。其中之一便是“人為因素”。機械體系中并沒有自由選擇，因此傳統(tǒng)的物理-數(shù)學(xué)結(jié)合的方式并不容許描述擁有自由選擇的復(fù)雜體系。

為了建立一個邏輯嚴密、論證充分的理論，有必要從宏觀體系考察近現(xiàn)代以前那些相對簡單的社會。這樣做既可以避免長期預(yù)測（因為我們已經(jīng)知曉近現(xiàn)代以前的社會體系的“未來”發(fā)展動態(tài)）和人為因素（對大型體系影響不大，但對小型體系影響很大）的問題，也能夠通過歷史上簡單的社會體系建立的模型來預(yù)測現(xiàn)代的、層級的、復(fù)雜的體系。盡管歷史進程是獨特且不可復(fù)制的，我們?nèi)詴诓煌瑫r期的不同社會中發(fā)現(xiàn)一些相同的基本進程。從這個意義上，歷史給予了我們豐富的數(shù)據(jù)集，足以用來建立和檢驗邏輯嚴密、論證充分的理論。這表明，社會動態(tài)也許存在一些基本規(guī)律，我們可以對其進行定義和將其形式化。

如前文概述中提到，用歷史建模是非常有前景的。但這方面的相關(guān)科研著作并不多（見Guseynova, Ustinov, Pavlovskii 1981; Nefedov 2001; Turchin 2002; Malkov 2002）。本文有兩大目標：一是提出一個邏輯嚴密、論證充分的框架，二是將其應(yīng)用到歷史進程中。如前文指出，嘗試對宏觀體系作出描述似乎是當(dāng)前條件下最具創(chuàng)造性的做法。然而這些研究在考察社會內(nèi)部關(guān)系時并沒有將地理屬性作為主要屬性。這個方法對于大型的、隔離的農(nóng)業(yè)社會是可以接受的，而它們也是上述文獻關(guān)注的焦點。然而，除了自給自足的農(nóng)業(yè)國以外，還有大量必須依賴這些農(nóng)業(yè)國之間轉(zhuǎn)口貿(mào)易的社會，它們顯然要依賴相鄰農(nóng)業(yè)國的地理位置。于是，空間因素成為這些社會動態(tài)的重要決定因素。

為了有助于建立空間貿(mào)易的模型，我們可以梳理之前關(guān)于空間經(jīng)濟的研究，例如，由Beckmann(1952)提出和建立的運輸連續(xù)模型。該模型考察某些地理區(qū)域（如城市范圍內(nèi)）的商品運輸過程。但它是為了優(yōu)化貿(mào)易往來而建立的，并沒有描述實際流程和貿(mào)易路線的演變。因此，Beckmann的模型必須經(jīng)過改良和泛化才能用于描述空間歷史動態(tài)。

Beckmann提出，商品的源泉（生產(chǎn)者）和低洼地（消費者）的位置應(yīng)與所考察的地理區(qū)域相匹配。區(qū)域的每一點都由商品流J和通過該點的運輸成本來表示。Beckmann想在生產(chǎn)者、消費者和運輸成本的分布給定的條件下找出最優(yōu)的流程。其空間市場模型的假設(shè)前提是“交易商不可有損失。這意味著從貿(mào)易中獲得的收益正好等于運輸成本……” (Beckmann, Puu 1985: 16)，因此他得到的是一個靜態(tài)的商品流分布。Beckmann證明了這是最優(yōu)分布，因為每一條流通路線的運輸成本都是最低的。

Beckmann指出最優(yōu)商品流J(x,y)依賴于每一點的價格分布且J≠0。此處的p(x,y)為價格分布而k為相關(guān)系數(shù)。

這個模型在空間經(jīng)濟領(lǐng)域很有實際價值，因為它可以有效地控制貿(mào)易流，但其中的一些局限性使它無法應(yīng)用于歷史動態(tài)問題之上。首先，它是一個靜態(tài)模型，因此無法描述動態(tài)。歷史是一個非靜態(tài)的過程；演變時慢時快，任何變化都可能是瞬間的。描述歷史的模型必須是動態(tài)的。

其次，選擇最優(yōu)路線的必要條件是不現(xiàn)實的，因為我們不可避免地缺少足夠的歷史信息去作出這樣的決定。盡管Beckmann假設(shè)交易商絕對會選擇運輸成本最小的路線，但顯然一個真正的交易商（尤其是古代的交易商）在做生意時只能對運輸成本作出粗略估算。Beckmann提出的模型對“中性路線”(Beckmann, Puu 1985:38)也只給出了模糊的解決方案，“中性路線”是指一個區(qū)域的兩個點之間存在兩條成本相同的貿(mào)易流路線。然而在Beckmann的模型中，兩者中任何一條路線的成本若出現(xiàn)極其微小的變化，都會破壞中性路線，從而使得交易商選擇另一條作為最佳路線。換言之，微觀層面的變化會引起宏觀層面的巨變。這種情況顯然是不現(xiàn)實的。一個真正的交易商更可能（在某種意義上）隨機地選擇路線，但其選擇可能主要依賴于對運輸成本的粗略估算。再者，風(fēng)險、習(xí)慣、聲譽和其他因素也會左右路線的選擇——并且由于兩條路線的成本趨同，這些因素變得更加重要。

最后，將運輸成本作為一個地域特征只有在當(dāng)代社會的條件下才有用。因為我們很難重構(gòu)這類歷史信息，需要有一種估算運輸成本的方法。因此有必要引入另外一種更有意義的衡量尺度來描述某片區(qū)域的貿(mào)易傳導(dǎo)性，它既不那么依賴貨幣和價格，又能更多地涵蓋影響選擇的非貨幣因素（風(fēng)險、聲譽等），并且易于量化。因此，Beckmann的模型需要經(jīng)過改良和泛化才能適用于空間歷史動態(tài)問題。

二、貿(mào)易流模型

下面我們來考察一個封閉區(qū)域的空間單一商品市場。假設(shè)T(x,y)為商品的密度，q(x,y)為生產(chǎn)的過剩密度[即生產(chǎn)密度和消費密度之間的差（若生產(chǎn)超過消費，則q為正數(shù)）]，t為時間。

這一過程的發(fā)散規(guī)律為

其中J為商品流向量。

這一著名方程描述了任何物質(zhì)的連續(xù)流動（如：熱、液體等）。在特定條件下，它可以表述為：“商品密度的增加T/t是生產(chǎn)q和商品流入與流出之差的總和?！?/p>

價格動態(tài)的線性表示是

其中p(x,y)為商品價格分布，D(x,y)為該點的需求密度，S(x,y)為供應(yīng)密度，為比例常數(shù)，表示市場價格對供求平衡的敏感性。

上述方程可表述為：“供不應(yīng)求時價格上升，供大于求時價格下降?！?/p>

假設(shè)商品銷售為無限，

也就是說，“供大于求時會出現(xiàn)庫存過量，而供不應(yīng)求時銷售才會積極?！?/p>

最后，該模型的主要假設(shè)是

其中商品傳導(dǎo)系數(shù)k(x,y)為空間不均衡的衡量尺度。該方程表明，商品流與商品價格的梯度成比例。其文字表述為：“相鄰兩點間商品運輸?shù)牧鲃优c兩點間的價格差成比例?！?/p>

這一方程是區(qū)別于Beckmann的模型的關(guān)鍵。Beckmann假設(shè)商品流必須與價格梯度的方向一致（眾所周知，梯度向量朝著上升最快的路線——即價格上升最快的路線）。相反，我們假設(shè)商品流的方向與梯度的方向一致，其絕對值則與梯度值成比例。

這一改良看似微小，卻十分關(guān)鍵。具體而言，它解決了“中性路線”以及在信息匱乏的條件下做決定的問題。換言之，交易商可以利用市場的地方屬性確定其本地區(qū)內(nèi)的貿(mào)易量。他們并不需要關(guān)于其他遙遠市場的額外的需求信息。

上述模型的優(yōu)點之一是它與Beckmann的模型從根本上并不矛盾。另外，由于時間是無限的，這一動態(tài)模型也能夠?qū)崿F(xiàn)Beckmann的最優(yōu)靜態(tài)解決方案。這意味著該體系作為一個整體最終達到了運輸成本最低的靜態(tài)最優(yōu)方案。這種做法更貼近現(xiàn)實——假設(shè)該系統(tǒng)最初是穩(wěn)定的，但突然產(chǎn)生了一系列條件變化（如啟動新的生產(chǎn)、企業(yè)倒閉、貿(mào)易路線上的區(qū)域武裝紛爭）。由于缺乏信息，商品流無法在條件變化后即時達到最優(yōu)配置，但隨著時間變化（假設(shè)條件并未再發(fā)生重大變化），商品流重新穩(wěn)定并在現(xiàn)有條件下再次達到最優(yōu)。需要指出，衡量尺度對應(yīng)信息傳遞和系統(tǒng)響應(yīng)的速度。值越高，實現(xiàn)最優(yōu)穩(wěn)定狀態(tài)的速度就越快。

將上述所有方程組合在一起，可以得出：

這個著名的方程稱為“熱傳導(dǎo)方程”，它描述了帶有熱源和低洼地以及一個不平衡的熱傳遞系數(shù)的空間系統(tǒng)的演變。關(guān)于熱傳導(dǎo)方程的理論和實踐研究都非常多(Tikhonov, Samarskii 1951)，它具有很強的分析處理能力和各種計算方法。

商品傳導(dǎo)系數(shù)k在數(shù)學(xué)上等同于熱傳導(dǎo)系數(shù)，因此我們可以利用這樣的類比展開討論。商品傳導(dǎo)系數(shù)（CCC）是空間市場中的一個重要因素。該系數(shù)越高，給生產(chǎn)者和消費者帶來的收益條件就越好；CCC越低，生產(chǎn)者價格低而消費者價格高。價格差與運輸開支相對應(yīng)。這種情況不是最優(yōu)的，會降低生產(chǎn)和消費。盡管CCC與Beckmann的運輸成本系數(shù)有關(guān)，但CCC更具一般性。它不僅包括經(jīng)濟屬性，還有非貨幣方面，如風(fēng)險、聲譽、習(xí)慣等。另外，CCC更適合度量歷史進程。例如，假設(shè)我們有兩座相距城鎮(zhèn)之間的商品流數(shù)量以及每座城鎮(zhèn)的價格估算值，便能確定連結(jié)兩城價格的路線的CCC值。當(dāng)然，實操起來可能不如說的容易——畢竟商品流和價格都是隨時間變化的——但模型是動態(tài)的，因此就有可能甄別出引起變化的原因（例如，外部條件、市場本身的演變）。

三、商品流方程

商品傳導(dǎo)系數(shù)k依賴于地域的屬性。假設(shè)價格梯度是固定的。那么，每英里的價格差為ΔP=p。為滿足現(xiàn)有需求，需要多少商隊途經(jīng)該地域？這依賴于商隊途經(jīng)的速度，因為他們需要支付

其中w（每小時收入）是在梯度p向量（每英里每噸的收入）下，一個商隊以速度v（每小時英里數(shù)）運送m（商品的噸數(shù)）的每小時收入。

假設(shè)商隊的數(shù)量與從此次商旅中獲得的收入成比例（利潤越高，商隊越多）。如果沒有風(fēng)險（該地域沒有稅收、強盜或戰(zhàn)爭），那么商隊每小時收益為w。如果有風(fēng)險，那么獲得全部收益的可能性便會降低：(1-r)w＜w，其中r為風(fēng)險因素(0≤r≤1)。當(dāng)r=1時，意味著損失了所有收益；當(dāng)r=0時，意味著沒有風(fēng)險，收益完全得到保證。

那么，運送m噸貨物的商隊數(shù)量N為

其中a為比例系數(shù)。

最后，商品流J為N個商隊以速度v運送m噸商品的乘積：

可以看出，商品傳導(dǎo)性依賴于兩個基本的空間度量：r（損失收益的風(fēng)險）和v（商隊能夠前進的最快速度）。

即便價格差很大，商人們也不會在該區(qū)域形勢緊張、存在高風(fēng)險（戰(zhàn)爭、強盜、高稅收、帶有攻擊性的部落、野獸出沒）時運輸商品，或在存在商隊無法克服的自然障礙（高山、叢林、河流、沙漠）時快速前進。為了對貿(mào)易流進行模擬，我們需要估算k，或者更具體地說，r和v。

由于風(fēng)險難以測度，我們在模擬時假設(shè)龐大帝國疆界之外風(fēng)險高，而疆界之內(nèi)風(fēng)險低，因為帝國能夠保護道路和支持貿(mào)易。邊界內(nèi)r(x,y) = 0，邊界外r(x,y) = 0.9。對于速度v我們需要另外一個能從地域的自然屬性中得出速度的邏輯嚴密、論證充分的模型。

四、運輸摩擦的估算

許多環(huán)境因素都會影響某一地區(qū)的運輸速度。例如，在平坦、植被稀疏的地形前進的速度比山路崎嶇或叢林茂密的地區(qū)要快得多。因此，我們必須確定一個能夠通過實證來衡量的運輸摩擦系數(shù)。系數(shù)μ由兩方面構(gòu)成：一是地形崎嶇，二是途經(jīng)某個特殊生物群落（生態(tài)區(qū)）的難度。由于高海拔地區(qū)起伏很大，崎嶇的地形會使μ值升高，而熱帶雨林等難以穿越的生物群落亦是如此。

為了估算絲綢之路時代的這一系數(shù)，我們運用13世紀旅行到中國的著名威尼斯商人馬可·波羅旅程中的數(shù)據(jù)。盡管其著作中包含了一些有爭議的內(nèi)容，但它仍然是非常有價值的古代數(shù)據(jù)來源。特別是馬可·波羅記錄了他在旅途中從一點步行到另一點所需的時日。類似的信息有60多條，這對于確定此次旅途的系數(shù)而言是一個可觀的樣本量。

假設(shè)通過地形的前進速度與環(huán)境相關(guān)，則

它分別與由歷史數(shù)據(jù)決定的前進速度v，由地理信息數(shù)據(jù)（圖1）得出的海拔變化H和以該方程為基礎(chǔ)加上系數(shù)μ(x,y)為分段常數(shù)的假設(shè)的系數(shù)μ聯(lián)系起來——雖然μ(x,y)會隨著自然區(qū)域的不同而浮動（圖2），但它在每個區(qū)域內(nèi)是恒定的。

圖1 海拔圖（顏色越深表明海拔越高）

圖2 生態(tài)區(qū)（生物群落）圖

系數(shù)評價的想法源自解決逆向問題。前進速度vi+0.5,j和vi,j+0.5是通過對系數(shù)μ根據(jù)路線經(jīng)過的生物群落的地形設(shè)定不同值而計算得出的。運用最短路徑算法，便可計算出馬可·波羅書中提到的兩點之間徒步所需的時間τ（圖3）。將計算得出的前進時間τ與馬可·波羅提到的相應(yīng)的時間τMP作比較，可以得到一系列點(τ, τMP)，假設(shè)馬可·波羅始終以最快速度并選擇最短路徑前進，那么就會以直線通過0點。當(dāng)然，完美組合是無法達到的，但通過修正對μ的估算以配合當(dāng)?shù)氐匦?，便可以極大地優(yōu)化模型預(yù)測的前進時間和馬可·波羅所記錄的前進時間之間的相關(guān)性。

圖3 關(guān)于馬可·波羅的旅程中兩點之間（在時間上）的最短路徑的計算。此處的算法是對生物群落運用了不同的運輸摩擦系數(shù)以得出從一座城市到另一座城市按天數(shù)計算的時間。黃線勾勒出的是在相同的時間內(nèi)，商隊從一座城市出發(fā)能走的最遠距離和受到運輸摩擦的阻礙時所作的反方向運動。

圖4 計算得出的前進時間和馬可·波羅所花費的時間之間的關(guān)系。(a)不包括海拔和區(qū)域(μ=常數(shù), H=常數(shù))；(b)包括海拔和區(qū)域（生物群落）。

在最簡單的情況下，前進時間與兩座城市之間的距離成比例，τ與τMP之間的R2為0.44。若考慮海拔變化和不同生態(tài)區(qū)中系數(shù)μ的差異，則R2上升到0.69（圖4）?？紤]海拔變化和系數(shù)μ的差異后得出的模型計算結(jié)果更為貼近實際數(shù)據(jù)。對海拔變化定量需要用到一個理想的網(wǎng)格尺寸。例如，同樣是穿越1公里的路程，海拔緩慢提升100米的地形比總體海拔提升100米的高山峽谷地形要容易得多。但如果這兩種假設(shè)路徑的網(wǎng)格距離都是1公里，那么得出的難度值都是一樣的。

問題解決如下。使用配合間隔約為0.1°的地球極地的海拔網(wǎng)格H[i,j]。網(wǎng)格HK[i,j]沿y軸遞增，與子午線一致。原有網(wǎng)格的最接近值作為新網(wǎng)格節(jié)點的值：

圖5 沿子午線的海拔變化的總和依賴于網(wǎng)格間隔

圖6 R2為不同的μ值下模型預(yù)測的和馬可·波羅所記錄的前進時間之間的相關(guān)系數(shù)。R2的最大值對應(yīng)的是不同地區(qū)的相關(guān)系數(shù)：(a)為闊葉林地區(qū)；(b)為山區(qū)。

表明SK海拔變化的總和依賴于網(wǎng)格尺寸K。結(jié)果（圖5）顯示網(wǎng)格間隔的改變會導(dǎo)致海拔變化總和的改變。

假設(shè)μ會隨著區(qū)域的不同而變化，那么精確測量μ對于模型預(yù)測的精準度而言至關(guān)重要。事實上，τ和τMP之間的最佳相關(guān)系數(shù)取決于按不同地形的大小順序排列的μ值（圖6）。

五、模型的檢驗

下一個步驟便是通過賦予其歷史數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ?。如果模型能夠準確預(yù)測，那么就可以認定它是一個正確的模型。我們需要一個（在空間上和時間上都）足夠大、描述精確且具有分析性的空間市場體系的例子。有一個體系完全能夠滿足上述條件：那就是著名的貿(mào)易路線體系——絲綢之路。

絲綢之路體系是一個獨特的現(xiàn)象。它是世界上存在時間最長、規(guī)模最大的貿(mào)易路線體系。它不僅是一條商旅路線，更是亞非歐融合的基本因素之一(Chase-Dunn,Hall 1997)。絲綢之路具有復(fù)雜的歷史動態(tài)，歷經(jīng)三個主要時代：古絲路時期（公元前2世紀～公元3世紀）、伊斯蘭征服時期（公元6～9世紀）和蒙古帝國時期（公元11～14世紀）。絲路貿(mào)易在每個時期都有所加強，而到了末期都出現(xiàn)衰退。不過每個時期主要貿(mào)易路線的模式都不同，這些變化也是未來研究的關(guān)注點。

影響路線的密集程度和位置的主要因素是什么？雖然可納入考慮范圍的因素眾多，但我們可以將這個體系簡化，選擇一個或幾個起主導(dǎo)作用的因素。

計算結(jié)果顯示，絲綢之路位置的決定性因素是龐大帝國的空間布局。這一觀點與Jerry Bentley(1993)不謀而合，他研究了跨文化聯(lián)系，如絲綢之路，指出龐大帝國應(yīng)該是絲綢之路存在和演進背后的主要原因。

“絲綢之路時代——約從公元前200年至公元400年——象征著第一個主要的跨文化交流時期。龐大帝國城邦的統(tǒng)治在亞歐大陸的大部分地區(qū)得到鞏固，貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)得以安全地連結(jié)大陸的兩端……然而大概從6世紀開始，長距離貿(mào)易的復(fù)蘇為第二輪密集的跨文化交流提供了保證?？缥幕Q(mào)易的復(fù)蘇還是要依賴龐大帝國城邦的建立……第二個時期還沒有完全結(jié)束，便漸漸融入了一個新的時期——約從1000年到1350年……該時期的特點是……游牧民族大規(guī)模的軍事及政治擴張，主要是突厥人和蒙古人，他們建立起龐大的跨區(qū)域帝國，支持各民族間定期交往……” (Bentley 1993:26-27)

毋庸置疑，帝國本身并不是獨立的現(xiàn)象，還有許多其他因素導(dǎo)致帝國的興衰。不過我們檢驗?zāi)Ｐ蜁r并不考慮這些因素。我們僅推斷帝國的存亡是商品流模式的先決條件。龐大帝國對知名商品貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)的需求和供給很大，它們支持道路和其他基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，為地區(qū)的商貿(mào)發(fā)展創(chuàng)造了安定的環(huán)境。龐大帝國帶來的其他積極影響還有很多，但幸好大多數(shù)都能通過上述空間貿(mào)易模型中簡化地表述出來：龐大帝國能夠提升其領(lǐng)土范圍內(nèi)商品的傳導(dǎo)性。

這意味著一個地理區(qū)域若屬于某一帝國（如被其征服后），則其的商品傳導(dǎo)系數(shù)增加，若帝國喪失對該區(qū)域的控制（如帝國滅亡），則系數(shù)減少。傳導(dǎo)性的增加可以降低運輸成本（前文有討論），從而降低交易商的開支。帝國內(nèi)部聯(lián)系越快速安全，帝國內(nèi)的道路對交易商便越具有吸引力——即便帝國邊界之外還存在另一條更短的路徑。

不過許多空間和時間因素都會發(fā)生變化。原先的主要商品流位置的利潤可能會下降，或者臨近新成立的帝國使其變得不穩(wěn)定。即便主要商品制造商和消費者的位置保持恒定，一般的流通模式也可能隨著時代的變遷、帝國的興亡而變化。

因此對絲綢之路的模擬包含如下假設(shè)：

1. 空間貿(mào)易模型是絲綢之路動態(tài)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

2. 每個地理位置的最初傳導(dǎo)性是通過各地自身的條件估算得出的。

3. 考察三個歷史時期：古絲路時期、伊斯蘭時期和蒙古時期。

4. 每個時期分別考察兩個地點：主要商品（絲綢）的生產(chǎn)地和消費地。

5. 每個時期對應(yīng)的主要帝國的布局是既定的，帝國疆界內(nèi)的商品傳導(dǎo)系數(shù)增加。

從數(shù)學(xué)上看，該模型符合拋物線方程，它包含了一個源泉點、一個低洼點、空間可變系數(shù)以及流動為0的邊界條件。模擬以有限差分法進行。

圖7～9給出了每個時期絲綢之路的位置。每幅圖都標明了該時期主要帝國已知的地理疆界，然后是模型得出的該時期的數(shù)學(xué)模擬結(jié)果。每組的第三幅圖對應(yīng)的是主要貿(mào)易路線位置上的實際歷史數(shù)據(jù)(World History,1956-1958)。

從公元前2世紀至公元3世紀的古絲路時期（圖7），主要帝國有羅馬、帕提亞、貴霜和中國的漢朝。這是歷史上首次亞歐大陸形成一個融合的體系。然而，只有知名商品網(wǎng)絡(luò)是融合的。相比之下，這些世界體系內(nèi)的軍事網(wǎng)絡(luò)和散裝貨物網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模要小得多(Chase-Dunn, Hall 2003)。

圖7 公元前2世紀至公元3世紀古絲路時期。(a) 該時期的主要龐大帝國：1.羅馬；2.帕提亞；3.貴霜；4.漢朝。(b) 商品流的計算：點的顏色越深，途經(jīng)該點的商品運輸越多。(c)該時期絲綢之路位置的歷史數(shù)據(jù)。

從公元6至9世紀是伊斯蘭教的開拓時期（圖8），我們將整個伊斯蘭地區(qū)視作一個不分疆界的帝國。同時期的其他帝國有拜占庭帝國和中國的唐朝。絲綢之路在這一時期繁榮，是因為伊斯蘭有著興盛的商人傳統(tǒng)。

圖8 公元6至9世紀 伊斯蘭教的開拓時期。(a) 該時期的主要龐大帝國：1.拜占庭；2.伊斯蘭國家；3.唐朝。(b) 商品流的計算：點的顏色越深，途經(jīng)該點的商品運輸越多。(c) 該時期絲綢之路位置的歷史數(shù)據(jù)。

圖9 公元11至14世紀 蒙古帝國時期。(a) 該時期的主要龐大帝國為蒙古帝國。(b) 商品流的計算：點的顏色越深，途經(jīng)該點的商品運輸越多。(c) 該時期絲綢之路位置的歷史數(shù)據(jù)。

從公元11至14世紀（圖9），蒙古帝國是該時期的主要力量。軍事網(wǎng)絡(luò)在歷史上首次達到相當(dāng)?shù)囊?guī)模。由于蒙古人在該地區(qū)的活動，里海以北首次出現(xiàn)了一條穩(wěn)定、密集的絲綢之路路線。各主要路線系統(tǒng)在歐洲的終點威尼斯交匯。

圖10 15世紀后的商品傳導(dǎo)性。隨著歐洲航海帝國的發(fā)展，印度洋貿(mào)易的傳導(dǎo)性增加，陸路貿(mào)易的傳導(dǎo)性下降。

蒙古帝國滅亡后，絲綢之路體系隨之衰退，并再也沒有恢復(fù)往日的輝煌。對于這一事實，模型給出了一個有意思的解釋。根據(jù)模型，歐洲海洋貿(mào)易是這一進程的成因。由于歐洲帝國航海業(yè)的擴張增加了印度洋的商品傳導(dǎo)性，陸路貿(mào)易減少而海洋貿(mào)易增加（圖10）。

六、結(jié)語

本文得出的結(jié)論雖然粗略，卻非常有意思。我們運用的模型非常簡單，只有龐大帝國這個單一因素，無法像物理學(xué)一樣從模型中獲得每個點的精確預(yù)測。若要對結(jié)果進行修正，就必須將其他因素納入考慮范圍，添加新的方程，擴充模型。然而，新的方程必須在得到證明和檢驗后才能提出；倉促擴充模型也是不理性的。我們的結(jié)果顯示該模型在理論上是成立的，因此下一步便是將更精確的歷史數(shù)據(jù)代入，提出更有效的傳導(dǎo)性估算方法，從而獲得更精確的預(yù)測。

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