李雙江，楊 霞，周 斌

（1.三門峽市水利勘測設(shè)計(jì)有限責(zé)任公司，河南三門峽472000；2.汕尾市水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)院，廣東汕尾334000）

水面線不同計(jì)算方法比較

李雙江1，楊 霞2，周 斌2

（1.三門峽市水利勘測設(shè)計(jì)有限責(zé)任公司，河南三門峽472000；2.汕尾市水利水電規(guī)劃設(shè)計(jì)院，廣東汕尾334000）

本文對比了迭代法、牛頓法和牛頓下山法運(yùn)用于江河水面線計(jì)算的差異，并對以上各算法的收斂性進(jìn)行了探討，提出了牛頓下山法計(jì)算江河水面線的公式和方法，得出了牛頓下山法較普通迭代法有更強(qiáng)的適應(yīng)性的結(jié)論，并在江河水面線計(jì)算中推薦牛頓下山法。

水面線計(jì)算；迭代求解；牛頓下山法

1 前言

水面線計(jì)算是涉河工程的常遇問題。水面線計(jì)算通常采用能量方程求解，能量方程往往會(huì)產(chǎn)生雙解問題［1］，計(jì)算方法采用不當(dāng)，可能會(huì)求得假解，使計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況不符。迭代法是現(xiàn)行軟件中常用的計(jì)算方法，但在運(yùn)用中存在一些缺陷。筆者在分析多種迭代解法的基礎(chǔ)上，選擇牛頓下山法作為能量方程求解的迭代算法。

江河水流流速不大，通常均為緩流（Fr＜1）。為控制在分段計(jì)算過程中傳播的誤差不致影響成果精度，緩流流態(tài)的江河水面線通常適宜從下游向上游推算［2］。因此本文僅針對從下游向上游推算江河水面線的方法進(jìn)行探討。

2 江河水面線計(jì)算的基本方程

江河水面線計(jì)算通常采用能量法，基本方程［3］為：

式中：

z1—上游斷面的水位；

z2—下游斷面的水位；

υ1—上游斷面的流速；

υ2—下游斷面的流速；

a1—上游斷面的動(dòng)能校正系數(shù)；

a2—下游斷面的動(dòng)能校正系數(shù)；

ζ—河道平均局部阻力系數(shù)；

Δ s—計(jì)算河段的長度；

Q—河道平均流量；

K1—上游斷面的流量模數(shù)；

K2—下游斷面的流量模數(shù)；

為方便后續(xù)討論，將（1）式變形為：

3 迭代法的基本原理及在水面線方程求解中的缺陷

對于方程x=φ（x），可按以下步驟求解［4］：

步1 準(zhǔn)備：提供迭代初值x0；

步2 迭代：計(jì)算迭代值x1=φ（x0）；

步3 控制：檢查|x1-x0|，若|x1-x0|＞ε（ε為預(yù)先指定的精度），則用x1替代x0轉(zhuǎn)步2繼續(xù)迭代；當(dāng)|x1-x0|≤ε時(shí)終止計(jì)算，取x1為所求的結(jié)果。

對于能量方程，已知下游水位求上游水位時(shí)，f（z2）為已知值，（2）式可變形為下式：

（3）式中υ1的和K1均為z水位的函數(shù)，其余項(xiàng)均為常數(shù)項(xiàng)。顯然，（3）式符合方程x=φ（x），故可采用迭代法求解方程。

迭代法求解方程x=φ（x）在方程解x*的鄰域內(nèi)局部收斂是有條件的，僅當(dāng)φ＇（x）在x*的鄰域內(nèi)連續(xù)，且|φ＇（x）|＜1時(shí)，迭代法才收斂［4］。因此，采用迭代法直接求解能量方程是存在一定缺陷的，本文將進(jìn)一步尋找其它收斂性更強(qiáng)的算法。

4 牛頓法和牛頓下山法的基本原理

對于φ（x）=0方程，牛頓法按以下步驟求解［4］：

步1 準(zhǔn)備：提供迭代初值x0，計(jì)算φ0=φ

步3 控制：檢查|x1-x0|，若|x1-x0|＞ε（ε為預(yù)先指定的精度），則用x1替代x0轉(zhuǎn)步2繼續(xù)迭代；當(dāng)|x1-x0|≤ε時(shí)終止計(jì)算，取x1為所求的結(jié)果。

對于能量方程，已知下游水位求上游水位時(shí)，f（z2）為已知值，（2）式可變形為下式：

顯然，（4）式符合φ（x）=0的方程，可用牛頓法求解水面線方程。對于牛頓法，存在方程的解x*的鄰域牛頓法無條件收斂；但如果初值x0偏離x*較遠(yuǎn)位于局部收斂鄰域外時(shí)，牛頓法仍可能是發(fā)散的。為了防止初值x0的偏差造成迭代發(fā)散，采用下山法［4］強(qiáng)制迭代數(shù)列收斂，使每一步迭代均滿足|φk+1|＜|φk|，強(qiáng)制迭代收斂。引入下山因子λ（0＜λ≤1），將步2調(diào)整為：

下山因子的選擇是個(gè)逐步探索的過程，可從λ=1開始反復(fù)折半試算，直至能滿足|φk+1|＜|φk|條件使迭代數(shù)列收斂。

5 水面線方程的導(dǎo)數(shù)計(jì)算

為采用牛頓下山法，需要計(jì)算函數(shù)φ（z1）=z1的導(dǎo)數(shù)。將兩式代入φ（z1）函數(shù)求導(dǎo)，有：式中：

n—糙率；

ω—過水面積；

R—水力半徑；

考慮到江河水面線大多為寬淺式，近似概化為寬淺矩形河槽，引入以下數(shù)式：

式中：

B—河道寬度；

h—水深；

x—濕周；

于是，（5）式可簡化為：

水面線方程的導(dǎo)數(shù)可以采用（5）式差分計(jì)算，也可以采用近似簡化的（6）式計(jì)算。

6 水面線迭代計(jì)算的初值和牛頓下山法的求解步驟

能量方程計(jì)算水面線往往會(huì)產(chǎn)生雙解［1］，因此盡管牛頓下山法算法收斂，從數(shù)學(xué)上可以求得離初始解較近的理論解，但該理論解仍有可能是假解，初值x0的選擇仍然是十分重要的。注意到江河水面線計(jì)算的上、下游流速差有限，略去項(xiàng)的簡化公式仍有相當(dāng)高的計(jì)算精度，因此可將（2）式簡化為［5］：

注意到K1為變量z1的單調(diào)增函數(shù)，即K＇1＞0。于是有，即f（z1）為單調(diào)增函數(shù)，（7）式必然只有一個(gè)解。對于單調(diào)增函數(shù)，采用逐步搜索法、二分法、迭代法等諸多算法都是很容易求解的，算法也是穩(wěn)定的，該解答作為牛頓下山法的迭代初值是十分合適的。

采用牛頓下山法計(jì)算水面線的步驟為：

步1 準(zhǔn)備：采用（7）式計(jì)算初始解x0，采用

（2）式計(jì)算φ0=φ（x0），用（5）式或（6）式計(jì)算

步3 控制：比較φ1和φ0，如果|φ1|＜| φ0|則轉(zhuǎn)步4，否則取λ=λ/2重回步2計(jì)算；

步4 ε控制：檢查|x1-x0|，若|x1-x0|＞ε（ε為預(yù)先指定的精度），則用x1替代x0轉(zhuǎn)步2繼續(xù)迭代；當(dāng)|x1-x0|≤ε時(shí)終止計(jì)算，取x1為所求的結(jié)果。

7 水面線計(jì)算的迭代法、牛頓法和牛頓下山法的對比

對迭代法、牛頓法和牛頓下山法三種方法在水面線迭代計(jì)算中的計(jì)算要素對比見表1。

表1 各算法差異對比表

迭代法算法簡潔，但屬條件收斂，適用性不強(qiáng)；牛頓法算法略復(fù)雜，但收斂性較好；牛頓下山法算法最為復(fù)雜，采用了強(qiáng)制收斂手段，使其收斂域的范圍得到了大幅提高，對于初值的誤差適應(yīng)能力最強(qiáng)。目前，國內(nèi)采用計(jì)算機(jī)程序求解江河水面線的方法已是業(yè)內(nèi)的主流，程序可一次編制反復(fù)使用，算法的收斂性在程序復(fù)用上有著決定性的意義，因此筆者在江河水面線計(jì)算中推薦牛頓下山法。

8 結(jié)語

迭代法是水面線計(jì)算常用的算法之一，但是在收斂性上不能得到充分保證，不能保證在所有河段上均能適用。牛頓法采用了切線逼近，逼近速度快，具有局部收斂性，但計(jì)算過程中收斂受到初值

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10.3969/j.i s s n.1672-2469.2015.09.017

李雙江（1985年—），男，工程師。