葛嶺嶺，張志偉，張婷婷

（河北工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院 天津 300401）

壓縮感知[1]（CS）是Donoho和Candes等提出的一種新興的信號(hào)獲取與處理理論。如果圖像在某個(gè)變換域可以稀疏表示，那么我們可以通過(guò)求解相關(guān)的優(yōu)化問(wèn)題，就可由隨機(jī)下采樣的稀疏系數(shù)來(lái)進(jìn)行重構(gòu)，并在一定程度上保持原有圖像的重構(gòu)質(zhì)量。基于壓縮傳感的MRI重建算法利用MRI稀疏表示或局部光滑的先驗(yàn)知識(shí),通過(guò)求解相應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)重建。目前已有多種算法解決此類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題。SL0算法（smooth L0 norm）[2]利用圖像在小波變換域具有稀疏性的特點(diǎn)，可以將L0范數(shù)最小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為近似L0范數(shù)的最小化問(wèn)題，有效解決了L0范數(shù)優(yōu)化中的NP難問(wèn)題，這類(lèi)算法基于凸優(yōu)化的迭代算法，姑且可以成為另類(lèi)的壓縮感知算法，這種算法的主要特點(diǎn)就是估計(jì)精度高而且計(jì)算量很低，而且對(duì)于信噪比變化不是很敏感，因此可以獲得穩(wěn)健的稀疏估計(jì)量。 文獻(xiàn)[3]中 Bhaskar提出當(dāng)（0＜P＜1）時(shí)基于 LP范數(shù)的迭代加權(quán)最小二乘 （Iteratively Reweighted Least Square,IRLS）算法，實(shí)驗(yàn)證明了基于LP范數(shù)的優(yōu)化算法無(wú)論是在信號(hào)重建效果，還是在可靠性方面都優(yōu)于L1及L0范數(shù)優(yōu)化算法，Bioucas－Dias等 提 出 TVMM （Total variation based majorization minimization）算法[4]，該算法利用圖像局部光滑特性，采用全變分正則化重建圖像。上述算法均采用單一的正則項(xiàng)來(lái)重構(gòu)圖像，重構(gòu)出的效果都不是很理想，針對(duì)這一問(wèn)題，本文利用聯(lián)合正則化的原理以及壓縮傳感理論 ,提出一種基于壓縮傳感的聯(lián)合正則化MRI圖像重建算法。

1 基于壓縮感知的MRI重構(gòu)

1.1 MRI圖像重構(gòu)的模型

Candes[5]等人證明了圖像重建問(wèn)題可以通過(guò)求解一個(gè)最小L0范數(shù)的問(wèn)題加以解決。但是L0問(wèn)題為NP組合難問(wèn)題，對(duì)較大規(guī)模數(shù)據(jù)無(wú)法直接求解，針對(duì)這一問(wèn)題,研究者們提出了一系列尋找次優(yōu)解的貪婪算法：匹配追蹤MP（Matching Pursuit）算法[6]，正交匹配追蹤 OMP（Orthogonal Matching Pursuit）算法[7]等。但是貪婪算法時(shí)間代價(jià)過(guò)高，無(wú)法保證收斂到全局最優(yōu)。當(dāng)前一般性的作法是將L0范數(shù)最小化問(wèn)題放松到L1范數(shù)最小化問(wèn)題，從而將一個(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題放松到一個(gè)凸優(yōu)化問(wèn)題來(lái)求解。即：

研究中發(fā)現(xiàn)：L1求解框架不能保證獲得滿意的稀疏解，它往往與真實(shí)稀疏解（L0的解）差距甚大[8]。并且當(dāng)采樣數(shù)逐漸減少時(shí)，L1求解框架重構(gòu)效果不理想，對(duì)于含有重尾分布的誤差數(shù)據(jù)往往不能取得好的效果，重構(gòu)的圖像也不穩(wěn)定。因此一個(gè)自然改進(jìn)方法是使用 Lq框架（0＜q＜1），本文根據(jù)徐宗本[9]院士的基本思想，研究一種改進(jìn)的圖像重構(gòu)模型，懲罰項(xiàng)中將L1換成L1/2，如此MRI圖像小波變換域稀疏性就可以通過(guò)圖像小波變換系數(shù)L1/2的范數(shù)的大小來(lái)衡量，圖像的局部光滑特性可以用全變差（Totalvariation，TV）的大小來(lái)衡量。

MRI圖像重構(gòu)就可以通過(guò)求解下列優(yōu)化問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)：

其中 λ1，λ2為權(quán)重參數(shù)。

1.2 改進(jìn)模型求解

利用拉格朗日原理將式（2）約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，并引入輔助變量 u，v，問(wèn)題（2）可以轉(zhuǎn)換為求解等式約束優(yōu)化問(wèn)題，

再次利用Lagrange定理將（3）式轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題

根據(jù)交替方向乘子法 （Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）[10]，采用交替最小化思想，其求解過(guò)程如下

更新x時(shí)

如果式（5）、（6）和（7）有準(zhǔn)確解，根據(jù) Eckstein－Bertsekas定理可保證此算法的收斂性。式（5）是一個(gè)強(qiáng)凸函數(shù)，其最小化可以寫(xiě)成如下形式：

這里的 φ（x）=λ1*‖u‖+λ2*TV（v），根據(jù) Eckstein－Bertsekas定理，若誤差的序列是可求和的，那么也可保證算法的收斂性，這里TV范數(shù)和L1/2范數(shù)正則項(xiàng)的去噪問(wèn)題可以使用Chambolle解法進(jìn)行求解。

2 結(jié)果與分析

2.1 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

為驗(yàn)證本文方法的有效性，采用Shepp－Logan腦部模型的磁共振圖像進(jìn)行驗(yàn)證，由于非笛卡爾采樣具有采樣速度快、對(duì)流動(dòng)不敏感等優(yōu)點(diǎn)，它在腦功能成像、心臟冠狀動(dòng)脈成像等方面得到了人們的關(guān)注，本文采用非笛卡爾輻射狀采樣，在腦部模型的Fourier頻譜表示圖上，均勻取L條射線，然后在每條射線上高斯采樣。利用CPU為2.0 GHz，內(nèi)存為2G的計(jì)算機(jī)，通過(guò)MATLAB進(jìn)行編碼。本文分別通過(guò)MSE、SNR、PSNR 3個(gè)參數(shù)對(duì)改進(jìn)的模型與正則項(xiàng)分別是L1范數(shù)，TV范數(shù)的模型進(jìn)行分析比較。

2.2 不同正則化的比較

將正則項(xiàng)分別是L1/2范數(shù)、TV范數(shù)與聯(lián)合L1/2范數(shù)和TV范數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，這里實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，運(yùn)用三種方法，在不用分辨率與采樣數(shù)的情況下，計(jì)算出原始圖像和重建圖像的相對(duì)誤差，以及算法的迭代數(shù)和運(yùn)行時(shí)間。從仿真結(jié)果表1中可以看出，在分辨率為64*64，采樣數(shù)為52時(shí)，聯(lián)合正則化的差錯(cuò)率為2.26e－007，到達(dá)了一個(gè)非常理想的效果，L1/2范數(shù)的差錯(cuò)率為2.72e－007，而TV范數(shù)的差錯(cuò)率為4.56e－007，所以我們得出在分辨率較低時(shí)，聯(lián)合L1/2范數(shù)和TV范數(shù)的重構(gòu)效果要比單一正則項(xiàng)的重構(gòu)效果好?？墒欠直媛孰m然有所提高，我們看到無(wú)論是重構(gòu)時(shí)間還是迭代次數(shù)相對(duì)于L1/2和TV范數(shù)都提高了很多，分辨率為32*32，采樣數(shù)為22時(shí)，L1/2范數(shù)重構(gòu)時(shí)間為9.40 s，TV范數(shù)重構(gòu)時(shí)間為4.61 s，聯(lián)合正則化的重構(gòu)時(shí)間為71.71 s，是L1/2和TV范數(shù)的將近十倍。而在分辨率達(dá)到256*256時(shí)，L1/2范數(shù)的差錯(cuò)率為1.99e－007，TV范數(shù)的差錯(cuò)率為2.07e－007，而聯(lián)合正則化的差錯(cuò)率為6.02e－007，低于單一正則項(xiàng)時(shí)的差錯(cuò)率。

圖1給出了在分辨率為32*32時(shí)，聯(lián)合正則化和單一正則化的差錯(cuò)率的對(duì)比圖，通過(guò)圖中們可以看出，在采樣數(shù)不斷增加的情況下，聯(lián)合正則化的差錯(cuò)率要低于單一正則項(xiàng)時(shí)的差錯(cuò)率，當(dāng)采樣數(shù)達(dá)到52時(shí)，聯(lián)合正則項(xiàng)的準(zhǔn)確度比單一的TV范數(shù)正則項(xiàng)時(shí)高出0.5個(gè)百分點(diǎn)，說(shuō)明聯(lián)合正則化重構(gòu)出的圖像更接近于原始圖像。

表1 不同正則化方法隨不同采樣數(shù)的圖像恢復(fù)結(jié)果Tab.1 Image restoration results with different regularization

圖1 不同正則化的差錯(cuò)率對(duì)比（128*128）Fig.1 Error rate comparison

圖2是分辨率為128*128時(shí)，聯(lián)合正則化和單一正則化恢復(fù)的PANR以及SNR的對(duì)比分析，聯(lián)合正則化的PSNR比單一正則化的PSNR略微有所降低，但是重構(gòu)出效果仍然比較理想，隨著采樣數(shù)的增加，聯(lián)合正則化的SNR逐漸接近單一正則化的SNR。

圖2 PSNR與SNR的對(duì)比Fig.2 Comparison of PSNR and SNR

圖3 原始圖像Fig.3 Original image

圖4 重構(gòu)圖像Fig.4 Reconstructed image

圖3 是MRIscan圖像的原始圖像，圖4是在采樣數(shù)為52的情況下利用聯(lián)合正則化的模型的重構(gòu)結(jié)果，聯(lián)合正則化模型重構(gòu)的差錯(cuò)率是6.002e-007，從圖中可以看出，改進(jìn)方法的重構(gòu)結(jié)果十分接近原始圖像，證明了該方法的有效性。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)MRI圖像重構(gòu)研究了一種圖像重構(gòu)的新方法，聯(lián)合正則化模型能夠很好的重建稀疏的磁共振圖像，并且數(shù)據(jù)試驗(yàn)證明在分辨率較低采樣數(shù)較少的情況下，聯(lián)合正則化的重建效果要高于單一正則化，能夠達(dá)到比較理想的效果，但是該模型還是有不足之處，就是重構(gòu)時(shí)間比較長(zhǎng)，迭代次數(shù)也較單一正則化較多，在運(yùn)行時(shí)間方面需要改進(jìn)，不過(guò)瑕不掩瑜，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該模型的成立。

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