張文兵，趙鏡紅，吳旭升，高鍵鑫

(海軍工程大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，武漢430033)

0 引言

近年來，隨著科技的飛速發(fā)展，電力網(wǎng)絡(luò)中，以整流器、變頻器和其他各種電力電子設(shè)備為主的非線性負載使電力網(wǎng)絡(luò)受到了嚴(yán)重的污染。有源電力濾波器作為諧波抑制的有效手段，在研究中取得了明顯的發(fā)展[1]。諧波檢測技術(shù)是有源電力濾波器主要的性能指標(biāo)之一，所以它一直是有源電力濾波器技術(shù)的研究重點。

從自適應(yīng)對消原理[2]的提出，它就受到各領(lǐng)域的專家和學(xué)者的廣泛研究，隨后有人提出了最小均方誤差準(zhǔn)則，由于該算法結(jié)構(gòu)簡單，自適應(yīng)學(xué)習(xí)能力較強的特點，在電力網(wǎng)絡(luò)諧波檢測中的應(yīng)用越來越多。而傳統(tǒng)定步長 LMS算法很難滿足收斂速度快和穩(wěn)態(tài)誤差小的目標(biāo)，為了實現(xiàn)這個目標(biāo)，有學(xué)者提出了一種變步長 LMS算法。如文獻[3]中變步長的思想就是在步長因子和均方誤差之間建立一種線性關(guān)系，即步長因子的大小隨著誤差的大小變化而變化。算法開始時，誤差較大，而此時步長因子也大，則收斂速度就很快，當(dāng)誤差越來越小，步長因子也就越來越小，當(dāng)誤差趨近于零時，步長也趨近于零，保證了較小的穩(wěn)態(tài)誤差。但該算法抗干擾能力差，當(dāng)輸入信號突變時，會導(dǎo)致系數(shù)的突變，使系統(tǒng)的穩(wěn)定變差。為了解決輸入信號突變時帶來的系統(tǒng)系數(shù)突變，使得 LMS算法性能進一步提高，歸一化最小均方（NLMS）自適應(yīng)濾波算法被提出，該算法比 LMS有更好的魯棒性且易于使用。它的成功應(yīng)用關(guān)鍵在于如何選取可以折中算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的步長。而如何選取最有且可靠的步長一直是一個難點，在現(xiàn)如今眾多選取步長的策略中，都是采取變步長的方法。通過對文獻[4-5]分析發(fā)現(xiàn)，盡管算法收斂速度的問題通過變步長算法得到了解決了，但是由于時變的步長不能收斂到零，而且大部分情況下步長大小是一個未知的數(shù)，所以很難確定最終穩(wěn)態(tài)誤差的大小。

為此本文提出了將 LMS算法引入動量項的思想[6]融入到NLMS算法的諧波電流檢測方法，該方跟傳統(tǒng)NLMS的方法的不同之處就是使用了兩個步長參數(shù)（步長因子μ和動量步長β）來調(diào)整動態(tài)響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度之間的平衡問題。即給定一個較小的步長因子μ來保證高的穩(wěn)態(tài)精度的同時，通過調(diào)節(jié)時變的動量步長β來加快諧波檢測的響應(yīng)速度，很好的解決了諧波電流檢測法的動態(tài)響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)精度之間的平衡問題。

1 諧波電流檢測模型

圖1是一個典型的基于自適應(yīng)噪聲對消技術(shù)的諧波電流檢測框圖[7]。其中，負載電流iL(n)是主要輸入，x(n)作為參考輸入，是負載電流基波頻率的單位正、余弦信號，即

一般由鎖相環(huán)（PLL）從電源電壓us(t)處獲得，記x(n)=[x1(n),x2(n)]T,w(n)為其對應(yīng)的權(quán)系數(shù)，記為w(n)=[w1(n),w2(n)]T,ω為角速度，Ts為采樣周期，n為采樣時刻，T為數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)置運算符。

設(shè)us(t)=sin(ωt),即為標(biāo)準(zhǔn)的正弦電壓,其中角速度ω=2πf（f為頻率）。對負載電流iL(n)進行傅立葉級數(shù)展開如下式：

上式中m代表諧波次數(shù)，最高次數(shù)為N；i1為基波電流，if是基波無功電流i1q和諧波電流ih之和，i1p是基波有功電流。

基于自適應(yīng)噪聲對消技術(shù)的諧波電流檢測就是權(quán)系數(shù)w(n)使用某種自適應(yīng)算法進行實時更新，用于跟蹤負載基波電流i1,使濾波器輸出y(n)通過公式（2）在自適應(yīng)算法穩(wěn)定后無限逼近i1，然后通過公式（3）就可以得到諧波電流ih的逼近值e(n),達到了檢測出諧波電流的目的。

圖1 諧波檢測原理框圖

2 算法原理

2.1 NLMS算法原理

NLMS算法是在 LMS算法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，解決了 LMS算法因為輸入信號的突然改變而造成權(quán)系數(shù)w(n)的突變，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定的問題。LMS算法的數(shù)學(xué)表達式如公式(2)-(5)：

權(quán)系數(shù)的更新表達式，如下：

其中，步長因子μ的約束條件為[2]：

五是加大社區(qū)矯正心理矯治工作的宣傳力度，爭取社區(qū)服刑人員親友的理解與支持，向這些身邊人普及心理健康常識，協(xié)助“定位”社區(qū)服刑人員的心理狀態(tài)，用親情友情感化社區(qū)服刑人員，幫助社區(qū)服刑人員重塑人生，回歸社會。

為了確保算法的收斂性，μ就應(yīng)該在公式(5)所示的范圍為內(nèi)選值，λmax是輸入信號相關(guān)矩陣R=E[x(n)x(n)T]的最大特征值。

NLMS算法就是在 LMS算法基礎(chǔ)上采用了可變因子，歸一化輸入向量，使瞬時誤差最小化。

在公式(4)所示的權(quán)系數(shù)更新過程中，權(quán)系數(shù)可改為：

為了使算法收斂時，瞬時誤差盡可能小，瞬時誤差可用下式表示：

若權(quán)系數(shù)可以由下式表示：

將式(8)代入式(7)得[2]：

為了加快算法收斂，則須得到最佳步長，使Δe2(n)最小。式(10)對步長求導(dǎo)得：

所以LMS的權(quán)系數(shù)更新方程變?yōu)椋?/p>

實際應(yīng)用中，更新方程中會引入兩個固定的參數(shù)，步長因子μ和正則化因子δ，所以就得到了NLMS算法的更新方程，如下：

上式中步長因子μ的取值為 0<μ<2，NLMS算法對輸入信號進行了歸一化，因而該算法相對于 LMS算法有很好的魯棒性，解決了輸入信號突變帶來的系統(tǒng)不穩(wěn)定為問題。但是依然存在步長大小選取和穩(wěn)態(tài)誤差大小之間的問題。

2.2 MLMS算法原理

動量項最小均方算法(MLMS)[6]也是在 LMS算法基礎(chǔ)上改進而來，因為按照經(jīng)驗 LMS算法的步長一般選取的比較小，而這樣導(dǎo)致了收斂速度非常慢。為了解決這個問題，加快收斂速度，在式(4)權(quán)系數(shù)的更新的基礎(chǔ)上添加一個[8]或多個動量項，就得到了多步階梯下降算法的權(quán)系數(shù)更新方程，如下式：

上式中β，γ，…和μ一樣，都是步長參數(shù)。雖然該算法可以在一定程度上提高收斂速度，但是卻使算法的穩(wěn)態(tài)誤差變大了。同時該算法成功應(yīng)用的關(guān)鍵在于多個步長參數(shù)的選取，而通過查找文獻到目前為止還沒有很好的方法，導(dǎo)致了該算法的實用性太差。

2.3 改進的算法原理

步長在自適應(yīng)算法中具有非常重要的作用。為了提高收斂速度，需要較大的步長參數(shù)，為了保證穩(wěn)定性和減小穩(wěn)態(tài)誤差卻需要較小的步長參數(shù)。為了解決NLMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差無法控制和多步階梯下降算法實用性太差的問題。本文通過將多步階梯下降算法思想和 NLMS算法結(jié)合起來，提出了基于多步階梯下降的NLMS算法。w(n)的更新方程為：

上式中有兩個步長參數(shù)梯度步長μ和動量步長β。相對于傳統(tǒng)的 NLMS算法(13)，改進的算法(15)中多了一個動量步長β。因為 NLMS算法的步長一般按照經(jīng)驗選取的非常小，這樣收斂速度就會變得很慢，通過引入動量步長β來提高收斂速度，并能保證在算法收斂后具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差。改進的算法是在NLMS基礎(chǔ)上引入MLMS的思想，所以該算法的梯度依然使用歸一化的輸入信號，從而繼承了傳統(tǒng)NLMS算法較好的魯棒性。

圖2 負載電流曲線

圖3 基波電流理論值曲線

3 仿真分析

本實驗主要是為了驗證上述改進的NLMS算法在諧波電流檢測中優(yōu)勢分析，即在NLMS的基礎(chǔ)上引入一個受控動量項β后，在提高收斂速度的同時保證較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

在 Matlab R2011b軟件環(huán)境下對改進型NLMS算法的諧波電流檢測方法進行仿真分析。實驗中，負載電流[7]如式(6)所示，其中，ω=2πf=100π；采樣頻率為 10 kHz,濾波器的權(quán)系數(shù)w(n)初值為 0，參考輸入x(n)為單位正，余弦信號。

從圖5中可以看出，在μ一定的情況下，不同的β所對應(yīng)的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。其中β=0

圖5 取μ=0.04時,選取不同β所對應(yīng)的基波電流檢測值與理論值的誤差曲線

圖6 取μ=0.04時,選取不同β＞0所對應(yīng)的誤差曲線與β=0的誤差曲線的比較

所對應(yīng)曲線是傳統(tǒng)的NLMS算法，在μ=0.04的小步長下，算法的穩(wěn)態(tài)誤差很小，但是收斂速度卻很慢。當(dāng)β值逐漸增加時，收斂速度有明顯的提高，β=0.9時算法的收斂速度很快，但是穩(wěn)態(tài)誤差也明顯增加了。圖6通過比較β=0與其他三個不同β值時的誤差曲線，發(fā)現(xiàn)在β=0.3,β=0.6時，穩(wěn)態(tài)誤差大小與β=0的很接近，而收斂速度有很大提升，其中β=0.6的收斂速度大于β=0.3的收斂速度。從而驗證了，在NLMS的基礎(chǔ)上引入一個受控動量項β后，在提高收斂速度的同時保證較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

4 結(jié)論

本文針對傳統(tǒng)的NLMS算法的諧波電流檢測方法在步長μ較小的情況下，雖然有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但是算法收斂速度很慢的問題，提出了一種改進型NLMS算法的諧波電流檢測方法。該方法通過引入一個受控動量項β，對動量項進行調(diào)整來加速算法的收斂速度，并且在算法收斂后不影響算法最終較小的穩(wěn)態(tài)誤差。最后，用過仿真證明了本文所提出的改進算法的正確性及本文算法應(yīng)用的有效性。

[1]王兆安，楊君，劉進軍.諧波抑制和無功功率補償[M].北京：機械工業(yè)出版社，1998.

[2]劉郁林.自適應(yīng)算法與實現(xiàn)(第二版)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2004.

[3]劉傳林.電網(wǎng)畸變電流自適應(yīng)檢測方法[D].武漢：武漢大學(xué)，2012.

[4]Huang H-C,Lee J.A new variable step-size NLMS algorithm and its performance analysis [J].IEEE Trans Signal Process,2012,60: 2055-2060.

[5]Benesty J,Rey H,Vega L R,et al.A nonparametric VSS NLMS algorithm [J].IEEE Signal Process Lett,2006,13: 581-584.

[6]劉國海，張懿.一種新的變步長MLMS諧波電流檢測法[J].電氣傳動，2009，39(2):44-47.

[7]喻翌，趙海全，何正友.基于 ANCT和 Adaline兩種自適應(yīng)諧波電流檢測模型分析[J].電力系統(tǒng)保護與控制，2013，41（16）：71-76.

[8]馬立新，王玉珠，孫進等.引入動態(tài)因子的改進MLMS諧波檢測算法[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報，2013，25(4)：18-21.

[9]陳瑞松，何政平，李圣清等.基于改進型SVLMS算法的諧波電流檢測方法[J].大功率變流技術(shù)，2014，1：57-60.

[10]韓剛，孟慶輝.兩種自適應(yīng)噪聲抵消算法的性能仿真[J].艦船電子工程，2014，34(2)：79-81.