茍川杰，李 毅，何方敏，高 鑫

（海軍工程大學(xué)艦船綜合電力技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430033）

0 引言

在艦艇、飛機(jī)等有限空間艙室內(nèi)，當(dāng)發(fā)射機(jī)與接收機(jī)同時(shí)工作，由于空間耦合，接收機(jī)接收信號(hào)中混有本地發(fā)射機(jī)強(qiáng)干擾信號(hào)，強(qiáng)干擾信號(hào)會(huì)超出接收機(jī)晶體管器件的工作范圍，嚴(yán)重時(shí)可能燒壞接收機(jī)器件[1]。利用LMS算法自適應(yīng)濾波技術(shù)可以有效地消除接收信號(hào)中的強(qiáng)干擾信號(hào)。最陡下降法是一種常用的LMS算法，沿著均方誤差的負(fù)梯度方向搜索最優(yōu)濾波系數(shù)，以達(dá)到均方誤差最小意義下的最優(yōu)濾波。實(shí)際信號(hào)處理中，通常使用瞬時(shí)誤差的平方e(n)2來代替均方誤差E(e(n)2)，稱為隨機(jī)梯度法，其最終得到濾波器系數(shù)也將圍繞最優(yōu)濾波系數(shù)隨機(jī)游動(dòng)[2]。

固定步長的LMS算法存在著收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，而變步長LMS算法（簡稱VSLMS算法）能有效解決這個(gè)問題，其思想是在迭代初期誤差較大，使用大步長加快收斂速度；在穩(wěn)態(tài)時(shí)誤差較小，使用小步長減小穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[3]介紹了一種利用瞬時(shí)誤差來調(diào)整步長的VSLMS算法，能有效提取強(qiáng)干擾信號(hào)中的弱信號(hào)。文獻(xiàn)[4-6]分別介紹了幾種通過建立步長與瞬時(shí)誤差函數(shù)來調(diào)節(jié)迭代步長的算法。

本文提出了一種基于鐘形函數(shù)的VSLMS算法，該算法能同時(shí)保證高收斂速度和小穩(wěn)態(tài)誤差。通過與固定步長LMS算法和文獻(xiàn)[3]中算法比較，驗(yàn)證了本文算法在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差上的優(yōu)越性。

1 現(xiàn)有的幾種LMS算法

1.1 LMS算法與干擾消除

自適應(yīng)濾波技術(shù)應(yīng)用于干擾消除的基本原理如圖1所示。接收信號(hào)由有用信號(hào)s(n)和強(qiáng)干擾x1(n)疊加，干擾取樣x0(n)與強(qiáng)干擾x1(n)是同一信號(hào)源（如本地發(fā)射機(jī)）經(jīng)過不同信道產(chǎn)生的相關(guān)信號(hào)。對(duì)于 FIR 濾波器，輸出信號(hào)y(n)＝ωTX(n)，其中ω是濾波器抽頭系數(shù)，X(n)是n時(shí)刻輸入信號(hào)矢量:

圖1 基于自適應(yīng)濾波技術(shù)的干擾消除原理圖

式中：

M為濾波器抽頭數(shù)。誤差信號(hào)為e(n)＝d(n)-y(n)＝s(n)+x1(n)-y(n)，在最小均方誤差意義下，y(n)是對(duì)接收信號(hào)中強(qiáng)干擾x1(n)的估計(jì)，因此誤差信號(hào)e(n)就是對(duì)有用信號(hào)s(n)的估計(jì)。

維納濾波器是最小均方誤差意義下的最優(yōu)濾波器，但是需要知道信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，并且需要計(jì)算矩陣求逆，運(yùn)算量大，不適用于實(shí)時(shí)信號(hào)處理。常用最陡下降法通過迭代使濾波器系數(shù)收斂到最優(yōu)解，其迭代公式為

為了使算法收斂，固定步長μ應(yīng)滿足

Pin為濾波器輸入信號(hào)的功率[2]。固定步長 LMS算法存在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，大步長收斂快，但是穩(wěn)態(tài)誤差大；小步長可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，但是收斂慢。

1.2 VSLMS算法

固定步長LMS算法存在上述缺陷，而變步長LMS算法能彌補(bǔ)該缺陷。目前提出的VSLMS算法很多，如文獻(xiàn)[3，6]。VSLMS算法的核心思想是在誤差較大時(shí)利用大步長，在誤差較小是利用小步長，以提高收斂速度并同時(shí)減小穩(wěn)態(tài)誤差。

文獻(xiàn)[3]提出了一種常用的 VSLMS算法，該算法利用瞬時(shí)誤差控制迭代步長的。其濾波器系數(shù)迭代公式為

步長迭代公式為

其中記憶因子0＜α＜1，誤差影響因子γ＞0，μmax與μmin分別是能保持 LMS算法收斂的最大限定步長與滿足收斂速度下限的最小限定步長。

文獻(xiàn)[4]提出了一種基于抽樣函數(shù)的 VSLMS算法，步長與瞬時(shí)誤差的關(guān)系式為

該算法能很好解決收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，并獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

2 基于鐘形函數(shù)的VSLMS算法

2.1 算法分析

建立迭代步長與瞬時(shí)誤差之間滿足鐘形函數(shù)曲線，公式如下式，

鐘形函數(shù)曲線存在上界，當(dāng)瞬時(shí)誤差較大時(shí)，迭代步長能夠自動(dòng)逼近最大限定步長，提高收斂速度；同時(shí)當(dāng)瞬時(shí)誤差較小時(shí)，迭代步長趨近于0，能夠減小穩(wěn)態(tài)誤差。

在強(qiáng)干擾消除應(yīng)用中，自適應(yīng)濾波之后的誤差信號(hào)就是對(duì)接收信號(hào)中有用信號(hào)的估計(jì)，在理想情況下，誤差信號(hào)的幅值滿足，因此誤差信號(hào)幅值跨度較大。自適應(yīng)濾波穩(wěn)態(tài)時(shí)濾波器系數(shù)變化越小，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，因此要求在穩(wěn)態(tài)時(shí)迭代步長足夠小，并且迭代步長隨著誤差信號(hào)變化盡量小。對(duì)于文獻(xiàn)[3]中算法，步長對(duì)誤差的變化率為：

當(dāng)誤差趨近于0時(shí)，該變化率是誤差的一階無窮小量。對(duì)于文獻(xiàn)[4]中算法，變化率為:

利用泰勒級(jí)數(shù)求無窮小階數(shù)，如下式：

所以變化率是誤差的一階無窮小量。對(duì)于鐘形函數(shù)曲線變化率為

當(dāng)誤差趨近于0時(shí)，變化率是誤差的b-1階無窮小量，所以取b≥3時(shí)，鐘形函數(shù)曲線相對(duì)于文獻(xiàn)[3]的算法具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差。從圖2能夠直觀看出相比于抽樣函數(shù)曲線，鐘形函數(shù)曲線（b≥3）在誤差較大時(shí)不存在振蕩，具有更加穩(wěn)定的步長；在誤差較小時(shí)鐘形函數(shù)具有更小的步長，同時(shí)步長隨誤差變化更小，這使得自適應(yīng)濾波具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖2 抽樣函數(shù)曲線與鐘形函數(shù)曲線對(duì)比

2.2 參數(shù)選取

在本文提出的算法中，參數(shù)μmax、a、b的選取決定了算法的性能。μmax是鐘形函數(shù)的上界，所以μmax理論上可以選擇使固定步長 LMS算法收斂的最大步長，在仿真和實(shí)際應(yīng)用中，μmax選擇應(yīng)滿足：

a與b決定了函數(shù)曲線的形狀，影響收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。b決定了小步長與大步長之間過渡帶的坡度，b越小，過渡帶步長變化越慢，曲線越平緩；b越大，過渡帶步長變化越快，曲線越陡峭。過渡帶過于平緩降低了步長對(duì)誤差的敏感度，從圖3（上）可以看出，當(dāng)誤差達(dá)到6，對(duì)于b取值大于3，步長收斂到μmax，而對(duì)于b取值小于3，步長小于μmax，因此b取值會(huì)直接影響步長從而影響收斂速度，一般b取值越大，收斂越快。過渡帶過于陡峭增加了步長對(duì)誤差的敏感度，從圖3（上）可以看出當(dāng)誤差從1變化到2，對(duì)于b取值為5和6，步長由接近0變化到接近μmax，而對(duì)于b取值小于4，步長變化幅度較小，因此b取值同樣會(huì)影響穩(wěn)態(tài)時(shí)濾波器系數(shù)的變化，從而影響穩(wěn)態(tài)誤差。綜合考慮收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，b取值應(yīng)適中。a決定了小步長的誤差范圍（如圖3（下）），從而決定了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)范圍。干擾抵消的誤差信號(hào)是對(duì)接收信號(hào)中有用信號(hào)的估計(jì)，其幅值在一定范圍內(nèi)變化，可以根據(jù)有用信號(hào)的強(qiáng)度來選擇a。a過小使系統(tǒng)誤差很大時(shí)迭代步長趨近于 0，從而增大了穩(wěn)態(tài)誤差；a過大使系統(tǒng)誤差較小時(shí)仍有較大的迭代步長，從而造成振蕩，增大了穩(wěn)態(tài)誤差。在下文的仿真中，可以直觀看到a與b取值對(duì)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的影響。

圖3 a與b取不同值鐘形函數(shù)曲線對(duì)比

3 仿真結(jié)果及分析

仿真主要對(duì)比了本文算法、固定步長 LMS算法和文獻(xiàn)[3]中算法的性能，同時(shí)比較了a與b取不同值對(duì)干擾消除性能的影響。

仿真有用信號(hào)為s(n)＝1.2sin(0.075πn)，干擾信號(hào)由v(n)＝8(sin(0.15πn)+N(n))經(jīng)信道1（耦合信道）產(chǎn)生并疊加到s(n)上，其中N(n)是白噪聲，v(n)經(jīng)信道 2（采樣信道）進(jìn)入自適應(yīng)濾波器的輸入端。誤差信號(hào)e(n)就是有用信號(hào)的估計(jì)e(n)＝(n)，用［s(n)-e(n)］2作為衡量濾波性能的標(biāo)準(zhǔn)。

圖4是本文算法與固定步長LMS算法的性能對(duì)比，可以看出：當(dāng)固定步長 LMS算法取最大限定步長時(shí)，最陡下降法具有理論上的最快收斂速度，本文算法能夠達(dá)到最快收斂速度，并且能大大減小穩(wěn)態(tài)誤差；當(dāng)固定步長 LMS算法步長小于最大限定步長時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差減小，而本文算法仍具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差并且收斂時(shí)間更短。可以看出基于鐘形函數(shù)的 VSLMS算法相比傳統(tǒng)LMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上性能占優(yōu)。

圖5是本文算法與文獻(xiàn)[3]中算法的性能對(duì)比，可以看出，兩者具有相同的收斂速度，而本文算法具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差。

因此，基于鐘形函數(shù)的VSLMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上具有良好的性能。下文將通過仿真分析參數(shù)a與b選取對(duì)算法性能的影響。

圖4 本文算法與 L MS算法性能對(duì)比

圖5 本文算法與文獻(xiàn)[3]算法性能對(duì)比

圖6是b取不同值對(duì)算法性能的影響，可以看出，b取值越大，算法收斂速度越快，b取不小于4的值，算法能達(dá)到最快收斂速度；b取值越小，收斂速度越慢；b取值過大或者過小都會(huì)增大穩(wěn)態(tài)誤差，當(dāng)b取1時(shí)，基于鐘形函數(shù)VSLMS算法比固定步長LMS算法穩(wěn)態(tài)誤差更大。

圖6 b取不同值對(duì)算法性能的影響

圖7是a取不同值對(duì)算法性能的影響，可以看出a取值對(duì)算法收斂速度基本沒有影響，對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差影響較大，a取值過大或者過小都會(huì)增大穩(wěn)態(tài)誤差。

圖7 a取不同值對(duì)算法性能的影響

從仿真結(jié)果可以看出，參數(shù)a與b選取對(duì)算法性能的影響與前文分析一致。選擇性能較優(yōu)的一組參數(shù)a＝0.08，b＝4，得到干擾消除的結(jié)果如圖8所示，收斂速度快，干擾消除效果好。

4 結(jié)束語

本文以對(duì)接受信號(hào)中強(qiáng)干擾信號(hào)消除為背景，提出了一種基于鐘形函數(shù)的變步長 LMS自適應(yīng)濾波算法，并對(duì)比研究了固定步長 LMS算法和其他VSLMS算法，分析了本文算法的優(yōu)點(diǎn)以及參數(shù)選取對(duì)算法性能的影響，最后通過仿真驗(yàn)證了分析。

圖8 干擾消除結(jié)果

基于鐘形函數(shù)的 VSLMS算法能很好解決收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，在保證自適應(yīng)濾波算法快速收斂的同時(shí)減小了穩(wěn)態(tài)誤差，有很大的應(yīng)用前景。

[1]鄭偉強(qiáng)，杜武林.自適應(yīng)干擾抵消研究.電訊技術(shù),1991.

[2]吳正國，尹為民，侯新國，歐陽華.高等數(shù)字信號(hào)處理.機(jī)械工業(yè)出版社,2009.

[3]Raymond H Kwong，Edward W Johnston.A variable step size LMS algorithm[J].IEEETransactions onSignal Processing,1992.

[4]詹國強(qiáng)，吳正國.一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法.海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào),2006.