袁訓鋒，李磊, 魏蕾

（商洛學院電子信息與電氣工程學院,陜西商洛726000）

嫦娥3號軟著陸軌道設計

袁訓鋒，李磊, 魏蕾

（商洛學院電子信息與電氣工程學院,陜西商洛726000）

軟著陸軌道設計是月球探測中的關(guān)鍵技術(shù)之一?；?014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A題，針對嫦娥3號軟著陸軌道設計問題，運用開普勒定律和能量守恒定律準確獲得近月點、遠月點的位置和速度；根據(jù)軟著陸的動力學方程，以消耗燃料量為最優(yōu)化條件，利用Matlab對嫦娥3號的最優(yōu)軟著陸軌道進行仿真。結(jié)果表明，設計的最優(yōu)軌道較好滿足所要求的約束條件，能夠為探測器軟著陸軌道設計提供一定參考。

軟著陸；軌道設計；能量守恒

隨著現(xiàn)代航天科技的發(fā)展，月球探測研究不斷深入，眾多學者針對月球探測器著陸問題進行了大量的科學研究。林勝勇等[1]采用月球垂直著陸的數(shù)學模型仿真了不同推力條件下的著陸軌道運動特性。和興鎖等[2]在分析有限推力最省燃料直接軟著陸軌道結(jié)果的基礎上，獲得開始制動高度越低越省能量的結(jié)論。王明光等[3]在優(yōu)化軟著陸軌道算法的基礎上，使用偽光譜方法進行問題轉(zhuǎn)化，乘子法處理約束條件，變尺度法求解。單永正等[4]詳細探討了如何選擇初始點和軟著陸軌道。郭景錄[5]、曹濤[6]分別采用蛙跳算法和組合優(yōu)化策略，對登月軟著陸軌道進行了優(yōu)化設計。羅宗富等[7]應用進化策略對月球的軟著陸探測器軌道進行了設計，采用STK仿真驗證了設計思路的有效性。

我國的月球探測計劃“嫦娥工程”已經(jīng)順利開展，嫦娥3號是中國國家航天局嫦娥工程第二階段的登月探測器。蔣瑞等[8]針對嫦娥3號著陸控制方案建立數(shù)學模型，并使用Simulink軟件進行仿真，獲得滿意的仿真結(jié)果，從而為嫦娥3號著陸控制方案的最終確定提供依據(jù)。嫦娥3號于2013年12月2日成功發(fā)射，12月6日順利抵達月球軌道，但是嫦娥3號的實際軟著陸過程與預先設計的最優(yōu)著陸軌道并不完全相同，該問題的核心是軟著陸軌道的設計與控制策略。在2014年高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽中，將“嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略”作為A題，引起眾多學者的關(guān)注。杜劍平等[9]將軟著陸的優(yōu)化設計問題轉(zhuǎn)化為主發(fā)動機推力的泛函極值問題，通過求解計算獲得各階段的最優(yōu)控制函數(shù)和控制策略。冷建華[10]利用開普勒定律和能量守恒定律分析獲得嫦娥3號著陸準備軌道的近月點、遠月點的位置及速度。何悠等[11]采用函數(shù)逼近法確定嫦娥3號的軟著陸軌跡，運用Matlab圖像處理和改進的局部最優(yōu)算法確定降落區(qū)域，獲得燃料消耗最少的控制策略。李祥宇[12]、劉林林[13]對嫦娥3號探測器推動力和著陸控制過程進行敏感性分析。

基于2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽A題，針對嫦娥3號軟著陸軌道設計問題，運用開普勒定律和能量守恒定律計算近月點、遠月點的位置和速度；根據(jù)軟著陸的動力學方程，以消耗燃料量為最優(yōu)化條件，利用Matlab仿真其軟著陸軌道。

1 近月點與遠月點速度確定

嫦娥3號在準備軟著陸時，首先從圓形軌道變軌，進入一條遠月點高度約為100 km，近月點高度約為15 km的橢圓形軌道。當?shù)竭_近月點時，制動發(fā)動機點火，嫦娥3號進入減速下降段。當嫦娥3號在橢圓形軌道運行時，可以把嫦娥3號看做質(zhì)點來研究，即可以利用開普勒行星運動第二定律來求解嫦娥3號所在軌道參數(shù)及著陸初始值。

嫦娥3號橢圓軌道如圖1所示。根據(jù)開普勒第二定律，設軌道周期為T，嫦娥3號到月球的半徑在每秒種掃過相等面積S1=abπ/T。近月點距離：h=15 km，遠月點距離：H=100 km，月球平均半徑：R=1737.013 km，橢圓長半軸：a=(h+H+2R)/2= 1794.513 km，橢圓半焦距：c=a-h-R=42.5 km，橢圓短半軸：b=(a2-c2)1/2=1794.010 km。

圖1 橢圓軌道模型

嫦娥3號在近月點速度達到最大Vmax=lh，在遠月點速度達到最小Vmin=lH。近似化處理過程如圖2所示。易知S1=0.5(R+h)lh，嫦娥3號在近月點的相對速度為1.7 km·s-1，則：

故在近月點的速度為1.7 km·s-1。方向為此點的切線方向。在遠月點的速度為1.62 km·s-1，方向為此點的切線方向。

圖2 近月點和遠月點速度近似化過程

2 近月點與遠月點位置的確定

嫦娥3號將在近月點15 km處以拋物線下降，相對月球速度每秒1.7 km逐漸降為零。下降過程中在豎直方向分量的反推力克服月球重力做功，使得著陸時豎直方向速度為零，即能量守恒Mg0=Fnh。下降過程中在水平方向分量的反推力做功，使得著陸過程中水平速度從1.7 km·s－1變?yōu)榱?，即能量守?.5MV2max= FτS。從而求解出嫦娥3號從近月點到達著陸點時的水平位移，進而推算出近月點位置與遠月點位置。

嫦娥3號軟著陸過程簡化如圖3所示。由Mg0h=Fnh得：Fn≈4 000 N,即嫦娥3號在下降過程中受到的反推力在豎直方向上的平均分量為4 000 N。由于安裝在嫦娥3號下部的主減速發(fā)動機能夠產(chǎn)生1 500 N到7 500 N的可調(diào)節(jié)推力，經(jīng)過粗略計算分析，選取6 000 N作為嫦娥三號在下降過程中受到的反推力在水平方向上的平均分量，即Fτ=6 000 N。由能量守恒得0.5MV2max=FτS。解得：S≈578 km，即ob段為578 km。(在此求解過程中忽略bc段對下降高度及水平位移的影響,由于采用能量守恒求解，所以結(jié)果不受軟著陸軌道形狀的影響，即不考慮ab段形狀的影響)。

假設嫦娥3號軌道傾角為30°，運行方向自西向東，經(jīng)緯度分析如圖4所示。

圖3 嫦娥3號軟著陸過程簡化

圖4 經(jīng)緯度分析

由圖4解得：

所以近月點所在經(jīng)度為19.51+16.51=36.02°W，近月點所在緯度為44.12+9.53=53.65°N，高度為15 km，與之對應的遠月點的經(jīng)緯度為180-36.02= 143.98°E,53.65°S,高度為100 km。

3 最優(yōu)定點著陸問題描述

無量綱化后的軟著陸動力學方程[14-15]為：

嫦娥3號的初始條件，位置約束：θ(τ0)=θ0，φ(τ0)=φ0，r(τ0)=RL+h0;速度約束：u(τ0)=0，v(τ0)=v0，w(τ0)=0。嫦娥3號的終端條件，位置約束：θ(τf)=θf，φ(τf)=φf，r(τf)=RL+hf；速度約束：u(τf)=0，v(τf)=0，w(τf)=0。推力方向角應滿足：α∈[αmin,αmax],β∈[βmin,βmax]；著陸的過程中法向和側(cè)向速度應滿足：u∈[umin,umax],ω∈[ωmin,ωmax];飛行器著陸過程所消耗的燃料mu應滿足：mu≤mmax，性能指標函數(shù)應選取燃料最省，即：

本文中取推力大小為常值，因此性能指標函數(shù)等價于著陸時間最短，即：

直接利用初始位置參數(shù)和著陸過程狀態(tài)要求作為上述方法的初始值和約束條件。

4 仿真求解最優(yōu)著陸軌道

動力下降初始及終端條件為：h0=15 km，θ0=36.02°，φ0=53.65°，u0=0，ν0=1.7 km·s-1，ω0=0；hf=-2.641 km，θf=19.5°，φf=44.12°，uf=0，νf=0，ωf=0。月球引力常數(shù)μ=4902.802 km3·s-2，自轉(zhuǎn)角速度ω=2.6617×10-6rad·s－1，月球半徑RL=1737.013 km，著陸器初始質(zhì)量m0=2.4×103kg，初始軌道傾角i0=30°，制動發(fā)動機推力T=6 000 N，比沖Isp=2940 m·s－1。求解過程中約束推力方向角α∈[-50°,40°], β∈[130°,220°]，法向和側(cè)向速度的取值范圍為[-110,110]m·s－1，著陸過程燃料消耗mu≤300 kg。代入初始參數(shù)，通過Matlab仿真得到不同視角下最優(yōu)著陸軌道如圖5所示。從仿真結(jié)果可以看出，最優(yōu)軟著陸軌道具有良好的光滑性，即在實際工程當中具較高的可實現(xiàn)性與可操作性。

5 結(jié)論

針對嫦娥3號軟著陸軌道設計問題，運用開普勒定律求得在近月點的速度為1.7 km·s-1，方向為此點的切線方向；在遠月點的速度為1.62 km·s-1，方向為此點的切線方向。采用能量守恒定律計算獲得近月點所在經(jīng)度為19.51+16.51=36.02°W，近月點所在緯度為44.12+9.53=53.65°N,高度為15 km；與之對應的遠月點的經(jīng)緯度為180-36.02=143.98°E,53.65°S,高度為100 km。利用Matlab對嫦娥3號的最優(yōu)軟著陸軌道進行仿真，結(jié)果表明設計的最優(yōu)軌道較好滿足所要求的約束條件，能夠為探測器軟著陸軌道設計提供一定參考。

圖5 不同視角下最優(yōu)著陸軌道

[1]林勝勇,李珠基,和興鎖.月球垂直軟著陸軌道初步設計[J].中國空間科學技術(shù),2005(2)：47-51.

[2]林勝勇,李珠基,和興鎖.月球探測器直接軟著陸最優(yōu)軌道設計[J].宇航學報,2007,28(2)：409-413.

[3]王明光,裴聽國,袁建平.基于偽光譜方法月球軟著陸軌道快速優(yōu)化設計[J].中國空間科學與技術(shù),2007(5)：27-32.

[4]單永正,段廣仁,張烽.月球精確定點軟著陸軌道設計及初始點選取[J].宇通學報,2009,30(6)：2099-2104.

[5]郭景錄,付平.登月著陸軌道優(yōu)化算法研究[J].計算機仿真,2009,26(12)：70-73.

[6]曹濤,董長虹.基于組合優(yōu)化策略的月球軟著陸最優(yōu)軌道設計[J].北京航空航天大學學報,2012,38(11)：1537-1541.

[7]羅宗富,孟云鶴,湯國建.基于進化策略的月球軟著落探測軌道設計[J].空間科學學報,2012,32(1)：92-98.

[8]蔣瑞,韓兵.嫦娥三號著陸控制研究與軟件仿真[J].微型電腦應用,2012,28(2)：17-19.

[9]杜劍平,韓中庚.嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略的優(yōu)化模型[J].數(shù)學建模及其應用,2014,3(4)：39-53.

[10]冷建華.嫦娥三號軟著陸軌道設計[J].山東工業(yè)技術(shù), 2014,32(24)：3-4.

[11]何悠,羅琦,劉金華.嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略[J].硅谷,2014,13(23)：14-15.

[12]李祥宇,宋藝旋,呂晨,等.嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略[J].佳木斯大學學報,2015,33(1)：123-127.

[13]劉林林,劉裴倩,楊青,等.嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略[J].運城學院學報,2014,32(5)：27-30.

[14]彭祺擘,李海陽,沈紅新,等.基于Gauss偽譜法和直接打靶法結(jié)合的月球定點著陸軌道優(yōu)化[J].國防科技大學學報,2014,34(2)：120-123.

[15]雍恩米,唐國金,陳磊.基于Gauss偽譜方法的高超聲速飛行器再入軌跡快速優(yōu)化[J].宇航學報,2008,29 (6)：1766-1772.

（責任編輯：李堆淑）

Design of Chang'e-3 Soft Landing Orbit

YUAN Xun-feng,LI Lei,WEI Lei
（CollegeofElectronicInformationandElectricalEngineering,ShangluoUniversity,Shangluo726000,Shaanxi）

The soft landing orbital design is one of the key technologies in lunar exploration.Based on Problem A of Contemporary Undergraduate Mathematical Contest in Modeling 2014 for college students, for the Chang'e-3 soft landing orbital design's problem,using the Kepler's law and velocity of perilune and apolune,with the kinetic equation of soft landing,and the amount of fuel consumption as the optimization conditions,Matlab to Chang'e-3 optimization soft landing orbit is utilized to proceed simulation.The results show that the optimization orbit of the design can better meet the requivement of the constraint equation.It will bring about reference for the exploration of soft landing orbit.

soft landing;orbital design;energy conservation

V412.41

A

1674-0033（2015）02-0024-04

10.13440/j.slxy.1674-0033.2015.02.007

2014-12-18

陜西省教育科學“十二五”規(guī)劃資助項目（SGH13401）

袁訓鋒，男，湖北神農(nóng)架人，博士，講師