王天一，黃 卓，佘 宇，沈詩涵

（1.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 金融學(xué)院，北京 100029；2.北京大學(xué) 國家發(fā)展研究院，北京 100871；3.北京大學(xué) 匯豐商學(xué)院，廣東 深圳518055）

0 引言

期貨價(jià)格的波動(dòng)率是現(xiàn)代金融領(lǐng)域關(guān)注的重要研究?jī)?nèi)容之一。許多研究表明，中國農(nóng)產(chǎn)品期貨市場(chǎng)存在國外成熟期貨市場(chǎng)的特征，如波動(dòng)集聚性、尖峰厚尾等。此外，中國的期貨市場(chǎng)也存在較為明顯的杠桿效應(yīng)，利空消息和利好消息對(duì)期貨收益率的沖擊并不對(duì)稱。對(duì)中國商品期貨市場(chǎng)波動(dòng)率進(jìn)行估計(jì)、分析與預(yù)測(cè)有利于認(rèn)識(shí)中國商品期貨市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)特征、幫助指導(dǎo)交易和資產(chǎn)配置等。

對(duì)時(shí)變波動(dòng)率建模的經(jīng)典模型始于Engle（1982）提出的自回歸條件異方差模型（ARCH）。Bollerslev（1986）將其推廣為廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。這類模型可以很好地描述金融市場(chǎng)波動(dòng)率集聚性、尖峰厚尾等特征，所以很快被經(jīng)濟(jì)學(xué)家應(yīng)用于各類實(shí)證研究中，并且又催生出GARCH模型的很多推廣形式，如EGARCH，GJR-GARCH，IGARCH，Realized GARCH等。盡管GARCH類模型經(jīng)常被應(yīng)用于中國商品期貨市場(chǎng)波動(dòng)率的研究，但主要集中于探究期貨產(chǎn)品的尖峰厚尾、杠桿效應(yīng)等性質(zhì)，在涉及商品期貨波動(dòng)率預(yù)測(cè)的文獻(xiàn)中，利用基于極差的估計(jì)量來提高估計(jì)的精確性的研究較少。我們認(rèn)為，基于極差的統(tǒng)計(jì)量比基于回報(bào)率的統(tǒng)計(jì)量包含了更多關(guān)于波動(dòng)的信息，使用基于極差的波動(dòng)率的GARCH模型應(yīng)該在樣本內(nèi)估計(jì)和樣本外預(yù)測(cè)方面均有更好的表現(xiàn)。為了驗(yàn)證我們的想法，本文分別將Molnar(2012)根據(jù)Parkinson估計(jì)量所建立的RangeGARCH模型和傳統(tǒng)的GARCH類模型應(yīng)用于中國的大宗商品期貨市場(chǎng)，考察他們對(duì)主要期貨品種價(jià)格波動(dòng)的建模和預(yù)測(cè)能力。

1 模型設(shè)定

1.1 GARCH模型

為了刻畫波動(dòng)率的條件方差，Engle于1982年建立了ARCH模型，并在1986年被Bollerslev推廣為廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。該模型假設(shè)εt是資產(chǎn)收益率在t時(shí)的殘差，或稱為“新息”，當(dāng)εt滿足以下條件時(shí)稱其服從GARCH(p,q)模型：

其 中 zt獨(dú) 立 同 分 布 ，E(zt)=0，Var(zt)=1，αi≥0，βi≥0，α(1)+β(1)＜1。ARCH/GARCH類模型能夠刻畫資產(chǎn)收益率中的波動(dòng)率聚集。因?yàn)檩^大的平方殘差會(huì)導(dǎo)致新息εt有大的條件方差，所以ARCH/GARCH模型中，一個(gè)大的擾動(dòng)會(huì)傾向于緊接著出現(xiàn)另一個(gè)大的擾動(dòng)。此外，這類模型還能描述金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)的持續(xù)性等特征。

1.2 RangeGARCH模型

波動(dòng)率是不可直接觀察到的，因此要對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，常用的估計(jì)量是資產(chǎn)收益的方差，由于資產(chǎn)日收益的均值接近于零，故常用日收益率平方來估計(jì)。然而這個(gè)估計(jì)量噪音較大，通常估計(jì)出來的α系數(shù)都很小。本文關(guān)注的主要是Parkinson(Parkinson(1980))波動(dòng)率估計(jì)量：

根據(jù)Parkinson(1980)的證明，與傳統(tǒng)的估計(jì)量相比，給定同樣的樣本量，Parkinson估計(jì)量對(duì)波動(dòng)的變化更加敏感。此外，Bali and Weinbaum(2005)的實(shí)證檢驗(yàn)指出Parkinson估計(jì)量比傳統(tǒng)的偏誤更小且更有效；Molnar(2012)用模擬數(shù)據(jù)證明Parkinson估計(jì)量在分布性質(zhì)上也比傳統(tǒng)的更接近真實(shí)值。

Molnar(2012)用Parkinson估計(jì)量修正GARCH模型為RangeGARCH模型(本文中簡(jiǎn)稱為RGARCH)，形式如下：

本文擬采用RGARCH(1,1)模型對(duì)中國商品期貨市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本內(nèi)擬合和樣本外預(yù)測(cè)。

2 數(shù)據(jù)及其統(tǒng)計(jì)特征

本文采用18種中國商品期貨市場(chǎng)上的交易品種數(shù)據(jù)。這些品種分別為：農(nóng)產(chǎn)品期貨(白糖、豆粕、大豆一號(hào)、棉花、強(qiáng)筋小麥、橡膠、玉米、早秈稻、棕櫚油、豆油)，貴金屬期貨(黃金)，基礎(chǔ)原料期貨(鋁、銅、鋅、螺紋鋼、塑料、PVC、PTA)。由于期貨合約具有不連續(xù)性，為了克服交易量過小、價(jià)格波動(dòng)不穩(wěn)定等特點(diǎn)，本文采用構(gòu)造的主力合約數(shù)據(jù)以及來自Wind數(shù)據(jù)庫的活躍合約數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。數(shù)據(jù)覆蓋2009年5月到2013年5月的日交易數(shù)據(jù)，包括最高價(jià)、最低價(jià)、開盤價(jià)和收盤價(jià)。

本文使用“開盤價(jià)—收盤價(jià)”來計(jì)算日收益率，這也與Parkinson估計(jì)量覆蓋范圍相一致的收益率計(jì)算方式。一方面可以避免隔夜收益率帶來的所謂“開盤價(jià)跳躍”的現(xiàn)象，另一方面為后續(xù)的不同模型間系數(shù)比較提供了方便。即本文定義商品期貨的日收益率為：

rt=log(Ct)-log(Ot)

而商品期貨日波動(dòng)率的估計(jì)量為：

其中 Ct，Ot，Ht，Lt分別代表第t天的收盤價(jià)、開盤價(jià)、最高價(jià)和最低價(jià)。

由各期貨合約的日收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征（見表1）可以看出：各合約的收益率序列均可被視為零均值；其峰度皆大于正態(tài)分布的峰度，Jarque-Bera檢驗(yàn)結(jié)果顯示在1%的顯著水平下拒絕各期貨合約日收益率服從正態(tài)分布的假定；將Ljung-Box檢驗(yàn)應(yīng)用于日收益率序列，結(jié)果顯示收益率序列的相關(guān)性不高，符合有效市場(chǎng)的假設(shè)，故建模時(shí)不再考慮均值方程式內(nèi)加入自回歸項(xiàng)。對(duì)于收益率平方序列，Ljung-Box檢驗(yàn)指出了顯著的ARCH效應(yīng)，說明收益率具有條件異方差的特征。以上各統(tǒng)計(jì)特征意味著可以對(duì)各合約的日收益率序列建立GARCH類模型。Parkinson估計(jì)量的序列均值同樣可視為0，且不存在序列相關(guān)性。

表1 各合約日收益率序列和Parkinson估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)特征

Q(24)為收益率序列的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量，滯后階24階，Q2(24)為收益率平方序列的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量，滯后階24階。

3 實(shí)證分析

3.1 樣本內(nèi)擬合

樣本內(nèi)擬合我們主要考察如下幾點(diǎn)：（1）不同模型對(duì)于收益率分布的擬合狀況，（2）不同新息的相對(duì)信息含量。對(duì)于第一個(gè)問題，我們使用的方法是似然函數(shù)值的比較。因?yàn)閺乃迫缓瘮?shù)的定義上看，對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，似然函數(shù)值更大說明模型更好地?cái)M合了實(shí)際數(shù)據(jù)的分布。為了分析不同模型的差距是否有統(tǒng)計(jì)顯著性，我們進(jìn)一步使用了基于似然函數(shù)值的非嵌套模型Vuong統(tǒng)計(jì)量。設(shè)GARCH(1,1)模型的似然函數(shù)為 l1，t(?)，RGARCH(1,1)模型的似然函數(shù)為。 計(jì) 算 對(duì) 數(shù) 似 然 函 數(shù) 之 差 ，，并構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

表2 GARCH（1,1）與RGARCH（1,1）的樣本內(nèi)估計(jì)結(jié)果

表2中，除滬鋁、鄭棉、強(qiáng)麥、塑料、滬鋅和PTA之外，RGARCH(1,1)模型的似然函數(shù)值在Vuong統(tǒng)計(jì)量的意義下都顯著地大于GARCH(1,1)的似然函數(shù)值，說明對(duì)這些序列而言RGARCH(1,1)模型的擬合效果更好。此外所有品種的商品期貨都表現(xiàn)出了α的上升和 β的下降(從GARCH(1,1)到RARCH(1,1))。顯示出極差估計(jì)量相比收益率平方而言，其信息含量更高，噪音也更小。

為了進(jìn)一步比較Parkinson估計(jì)量和收益率平方之間的相對(duì)重要性，我們將Parkinson估計(jì)量和傳統(tǒng)的收益率平方同時(shí)放入GARCH模型的方差方程式中進(jìn)行擬合，建立組合GARCH(1,1)模型(combined GARCH)如下：

對(duì)組合GARCH(1,1)模型的估計(jì)結(jié)果如表3所示。除了豆油、塑料、橡膠、早秈稻和PTA之外，其他13種期貨品種的α2都十分顯著，而α1則相對(duì)不顯著，這說明Parkinson覆蓋了收益率平方的信息，使得收益率平方對(duì)于波動(dòng)率序列的動(dòng)態(tài)不再產(chǎn)生顯著的影響。對(duì)于除了滬鋁、鄭棉、強(qiáng)麥、滬鋅和PTA之外的其他期貨品種，均存在α1＜α2，也說明針對(duì)大多數(shù)的期貨品種，Parkinson估計(jì)量是一個(gè)更有優(yōu)勢(shì)的估計(jì)量。而且，在約束條件分別為α1=0和α2=0時(shí)，無約束與有約束的模型的似然比檢驗(yàn)顯示除了PTA其他17種期貨都在5%的水平下拒絕α2=0，但是絕大多數(shù)序列不能拒絕α1=0，這進(jìn)一步說明了當(dāng)加入了Parkinson估計(jì)量后，α1變得不顯著了，Parkinson估計(jì)量比傳統(tǒng)估計(jì)量表現(xiàn)更好。

表3 Combined GARCH(1,1)的參數(shù)估計(jì)及似然比檢驗(yàn)

由以上樣本內(nèi)分析可知，在樣本內(nèi)擬合方面，RGARCH(1,1)模型比GARCH(1,1)模型能更準(zhǔn)確地估計(jì)中國的商品期貨市場(chǎng)的大多數(shù)期貨品種。

3.2 樣本外預(yù)測(cè)

本節(jié)采用滾動(dòng)窗口的方式比較RGARCH(1,1)模型和常用GARCH族模型對(duì)中國商品期貨市場(chǎng)的樣本外預(yù)測(cè)能力，正文部分以和GARCH(1,1)模型的比較為主，和其他模型的比較的主要結(jié)果在本節(jié)最后表格中給出。

對(duì)于真實(shí)波動(dòng)率代理變量的選擇，我們使用的是收益率的平方，和傳統(tǒng)的代理變量選擇一致。收益率平方本身是GARCH(1,1)模型的信息源，這樣的選取方式實(shí)際上是偏向GARCH(1,1)模型的，如果在這樣的標(biāo)準(zhǔn)下RGARCH(1,1)模型仍然勝出，則結(jié)論對(duì)RGARCH模型的支持力度更大。為了盡量準(zhǔn)確估計(jì)模型系數(shù)。本文采用滾動(dòng)窗的窗寬選擇為300、400、500和600。本文應(yīng)用RMSE作為損失函數(shù)來評(píng)估預(yù)測(cè)效果，其值越小說明預(yù)測(cè)誤差越小，其預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確。

表4展示了以日收益率平方為基準(zhǔn) 的 RGARCH(1,1)與 GARCH(1,1)預(yù)測(cè)比較，在所有預(yù)測(cè)值中，有接近70%的結(jié)果是RGARCH(1,1)的RMSE小于GARCH(1,1)的RMSE。進(jìn)一步考慮到比較基準(zhǔn)實(shí)際上偏向GARCH模型這一事實(shí)，該結(jié)果說明，RGARCH(1,1)模型的效果較GARCH(1,1)模型有相當(dāng)?shù)奶嵘?/p>

表4 以日收益平方為基準(zhǔn)的預(yù)測(cè)比較

最后，本文還將RGARCH模型與其他常見GARCH模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行了比較，用以對(duì)比的其他常用GARCH族模型有：

進(jìn)行比較所用的窗口期為300，其結(jié)果如表5所示?？梢钥闯觯瑢?duì)于除白糖、黃金外的其他期貨品種，RGARCH模型確實(shí)比其他常用GARCH模型能有更好的預(yù)測(cè)效果。而對(duì)于白糖和黃金，EGARCH和GJR-GARCH的表現(xiàn)更有優(yōu)勢(shì)，很可能是因?yàn)檫@兩種期貨的波動(dòng)率對(duì)好消息和壞消息的反應(yīng)具有較為明顯的不對(duì)稱性，而RGARCH模型無法刻畫杠桿效應(yīng)。然而對(duì)于其他的商品期貨品種，RGARCH模型則是較有優(yōu)勢(shì)的選擇。

4 結(jié)論

在對(duì)波動(dòng)率的估計(jì)與預(yù)測(cè)研究中，將基于極差的Parkinson估計(jì)量加入到GARCH模型中以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的平方收益率估計(jì)量，構(gòu)建RangeGARCH模型，有可能提高估計(jì)的準(zhǔn)確性，達(dá)到更好的擬合和預(yù)測(cè)效果。本文通過將RGARCH(1,1)應(yīng)用于中國商品期貨市場(chǎng)的18種合約，經(jīng)過實(shí)證檢驗(yàn)證明了對(duì)于大多數(shù)商品期貨合約而言，RGARCH模型在樣本內(nèi)擬合和樣本外預(yù)測(cè)方面都比普通GARCH模型和其他常見GARCH族模型更具有優(yōu)勢(shì)。在樣本內(nèi)擬合方面，RGARCH模型能將更多的權(quán)重賦予較近期的觀察值，調(diào)整更迅速、估計(jì)更精確；更大的似然函數(shù)值說明它相對(duì)于GARCH模型更具備擬合的優(yōu)良性。如果把兩種估計(jì)量同時(shí)放在同一個(gè)GARCH模型中，則RGARCH的估計(jì)量會(huì)比傳統(tǒng)的估計(jì)量在顯著性上勝出。在樣本外預(yù)測(cè)方面，通過對(duì)均方誤差的比較可知，大部分情況下，RGARCH模型相對(duì)于其他GARCH模型有較好的預(yù)測(cè)精度。

表5 與其他常見GARCH類模型的預(yù)測(cè)比較（window=300）

[1]Bali T,Weinbaum D.A Comparative Study of Alternative Extreme Value Volatility Estimators[J].Journal of Futures Markets,2005,25(9).

[2]Brandt M W,Jones C S.Volatility Forecasting With Range-Based EGARCH Models[J].Journal of Business&Economic Statistics,2006,24(4).

[3]Chou R Y.Modeling The Asymmetry of Stock Movements Using Price Ranges[J],Advances in Econometrics,2006,(20A).

[4]Chou R Y,Liu N.The Economic Value of Volatility Timing Using A Range-Based Volatility Model[J].Journal of Economic Dynamics and Control,2010,(34).

[5]陳冬芝,帥雁丹.中國大豆期貨收益率GARCH效應(yīng)實(shí)證分析[J].商，2012，(21).

[6]鞏蘭杰,張龍斌.一種考慮基差非對(duì)稱影響的期貨波動(dòng)率性預(yù)測(cè)模型研究—基于上海銅期貨市場(chǎng)的實(shí)證分析[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2008,(4).

[7]吳曉雄，趙克文，魏宇.我國新商品期貨品種的波動(dòng)特征研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011，(24).