張 燕，寇冰煜，毛 磊

（1．南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京210094；2．解放軍理工大學(xué) 理學(xué)院，南京211101）

隨著社會需要的發(fā)展，保險公司為吸引更多的客戶，紛紛推出各種分紅保險，即投保人可以得到傳統(tǒng)保單規(guī)定的保險責(zé)任外，還可以從保險公司經(jīng)營的利潤中獲得較高的投資回報．保險風(fēng)險理論中的紅利策略是De Finetti于1957年首先提出的．與盈余相關(guān)的紅利策略有兩種：①常值紅利邊界策略，當(dāng)保險公司的盈余低于常值邊界時，公司不會給股東發(fā)放紅利，當(dāng)保險公司盈余到達常值紅利邊界時，公司便將超出常值邊界的盈余全部作為紅利發(fā)給股東．文獻［1］研究了這種分紅策略下帶利率的對偶風(fēng)險模型．文獻［2］研究了這種策略下的對偶風(fēng)險模型的分紅問題；②閾紅利策略，當(dāng)保險公司盈余低于常值邊界時，公司不會給股東發(fā)放紅利，但當(dāng)保險公司盈余高于常值紅利邊界時，公司會以速率r向股東發(fā)放紅利（其中r＜c，c為保費率），直到其盈余低于該固定值為止．文獻［3］研究了閾紅利策略下帶常利率和干擾的泊松風(fēng)險模型的絕對破產(chǎn)問題．文獻［4］研究了閾紅利策略在對偶風(fēng)險模型中的最優(yōu)問題．

在常值紅利邊界下保險公司的最終破產(chǎn)概率為1．實際經(jīng)營中應(yīng)對紅利的發(fā)放加以限制來減小保險公司的最終破產(chǎn)概率，若將保險公司所定的紅利邊界設(shè)置為依賴于時間的邊界即線性紅利邊界恰能克服這一缺陷，文獻［5］研究了線性紅利邊界下經(jīng)典風(fēng)險模型，文獻［6］研究了線性紅利邊界下帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險模型．考慮到保險公司的實際經(jīng)營會受利率等不確定性因素的影響，本文對以上文獻中的模型進行推廣，在線性分紅策略下研究帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險模型，該模型既有利于吸引顧客又達到了降低最終破產(chǎn)概率的目的，對經(jīng)營者更具有實際的指導(dǎo)意義．

1 模型介紹

1．1 預(yù)備知識

在風(fēng)險理論中，帶干擾的經(jīng)典風(fēng)險模型為

1．2 模型的建立

在模型式（1）和式（2）的基礎(chǔ)上，文中研究如下具有線性閾紅利邊界的帶干擾的風(fēng)險模型

式中：c1為單位時間公司收取的保費；α（0＜α≤c1）為紅利率，即當(dāng)盈余超過紅利邊界bt時，紅利以α分發(fā)．發(fā)完紅利之后的凈保費率以c2＝c1-α≥0表示．設(shè)Wi表示第i-1次與第i次理賠出現(xiàn)的時間間隔，｛Wi；i≥1｝是獨立同分布的非負隨機變量序列且服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為k（t）＝λe-λt，t＞0．設(shè)｛Xi；i≥1｝是獨立同分布的非負隨機變量，共同的密度函數(shù)為p（x），并假設(shè)｛Xi；i≥1｝，｛Ti；i≥1｝和｛W（t）；t≥0｝相互獨立．

為保證保險公司運行上的安全，假定安全負載條件為

1．3 相關(guān)定義

定義風(fēng)險模型式（3）的破產(chǎn)時刻Tb為

如果Tb＝∞，則認為保險公司永不破產(chǎn)．破產(chǎn)概率為

生存概率為

相應(yīng)的罰金折現(xiàn)期望函數(shù)，又稱Gerber-Shiu函數(shù)為

其中：I（·）為示性函數(shù)ω（x1，x2），0≤x1，x2＜ ∞為一非負函數(shù)；δ為一非負常數(shù)，e-δTb為折罰因子，Ub（Tb-）為破產(chǎn)前瞬時盈余，｜Ub（Tb）｜ 為破產(chǎn)赤字．

函數(shù)m（u，b）包含了Tb，Ub（Tb-）和｜Ub（Tb）｜的很多信息．令δ＝0，ω（x1，x2）＝1，式（4）即為破產(chǎn)概率ψ（u，b）；令δ＝0，ω（x1，x2）＝I（x1，x2），式（4）即為破產(chǎn)前瞬時盈余和破產(chǎn)赤字的聯(lián)合分布函數(shù)；令ω（x1，x2）＝1，式（4）即為破產(chǎn)時刻Tb的Laplace變換．

2 主要結(jié)果

2．1 定義算子

2．2 罰金折現(xiàn)函數(shù)、破產(chǎn)概率及生存概率滿足的積分-微分方程

2．3 罰金折現(xiàn)函數(shù)滿足的更新方程

2．4 罰金折現(xiàn)函數(shù)的解析表達式

3 結(jié) 論

將文獻［1-4］中的紅利策略推廣為線性閾紅利策略時，考慮到保險公司的實際經(jīng)營受市場利率等不確定性因素影響，建立了具有線性閾紅利邊界的帶干擾的風(fēng)險模型式（3），推導(dǎo)出了相應(yīng)的罰金折現(xiàn)函數(shù)、破產(chǎn)概率及生存概率滿足的積分-微分方程，推廣了文獻［8-9］中相應(yīng)結(jié)果．特別地，當(dāng)保險公司的實際經(jīng)營受利率等不確定性因素影響，且存在常數(shù)閾紅利策略時，推導(dǎo)出了罰金折現(xiàn)函數(shù)滿足的更新方程及確切的解析表達式．

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