高 芬，李 兵

（1．西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院，西安710021；2．西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安710049）

目前各類面形檢測干涉測量系統(tǒng)中多采用時域相移法，利用壓電陶瓷相移器（Piezoe-lectric Transducer，PZT）帶動被測件或參考鏡移動引入相移，通過電荷耦合器件（Charge-coupled Device，CCD）采集多幅相移干涉條紋圖，再利用一定的相移算法從干涉條紋圖中提取出待測相位（波面）信息［1］．理論上不管采用何種相移算法提取的待測相位信息都是準(zhǔn)確并且唯一的，但實際干涉測量系統(tǒng)要受不同誤差源（如PZT相移不準(zhǔn)、CCD非線性、激光器不穩(wěn)定、振動、空氣擾動等）的影響，使得不同相移算法的相位提取精度不同，導(dǎo)致干涉測量系統(tǒng)的檢測精度也不同．激光器不穩(wěn)定作為影響相位提取精度的重要因素之一，對實際測量的影響不可忽略，尤其在一些超高精度檢測中．

相移點衍射干涉測量技術(shù)［2-5］是為滿足激光核聚變和極紫外光刻等領(lǐng)域?qū)η蛎?、非球面鏡亞納米級檢測需求而發(fā)展起來的一項新技術(shù)．為達(dá)到相移點衍射干涉測量中納米甚至納米以下的超高檢測精度要求，實際點衍射系統(tǒng)構(gòu)建中一般采用比傳統(tǒng)Hariharan五步法誤差敏感度更低的5～13步相移算法．現(xiàn)有對于激光器不穩(wěn)定引入檢測誤差的分析多是基于傳統(tǒng)的菲索光路及Hariharan五步算法［6-9］，未有對多種多步相移算法的綜合比較分析．作者在文獻(xiàn)［1］中已基于Schmit和Creath的擴(kuò)展平均技術(shù)［10］，在傳統(tǒng)4步和3步算法的基礎(chǔ)上分別推導(dǎo)了A類和B類5～13步相移算法公式，并仿真比較了兩類5～13步算法對PZT相移不準(zhǔn)及CCD非線性誤差的抑制特性．本文將開展不同步數(shù)相移算法對激光器不穩(wěn)定誤差的抑制特性分析，擬通過研究為滿足不同檢測精度需求的實際干涉測量系統(tǒng)設(shè)計中最適相移算法選用、相關(guān)硬件參數(shù)的選擇及引入誤差的估計提供參考．

1 相移點衍射干涉測量原理

點衍射干涉測量法是通過微米尺寸小孔衍射產(chǎn)生近似理想的球面波作為參考面，代替原有球面干涉儀中的標(biāo)準(zhǔn)實物鏡頭，無需標(biāo)準(zhǔn)鏡頭即組成超高精度的干涉測量系統(tǒng)，理論上可達(dá)到亞納米級檢測精度．基本檢測原理［11］如圖1所示，He-Ne激光匯聚光束經(jīng)微米尺寸小孔后發(fā)生衍射，衍射的球面波被分成兩部分，一部分作為測試光，另一部分作為參考光．測試光經(jīng)被測表面反射后，再經(jīng)針孔表面反射．與參考光進(jìn)行干涉，在CCD上產(chǎn)生干涉條紋．由于干涉條紋包含被測表面面形信息，通過PZT帶動被測件移動，獲得多幅相移干涉條紋圖，再通過相位提取、解包、擬合等系列相移干涉圖像處理過程即可獲得被測表面面形信息，并計算峰-谷誤差（Peak-to-Valley，PV）和均方根誤差（Root-Mean-Square，RMS）．

圖1 點衍射干涉測量原理圖Fig．1 The principle of the point-diffraction interferometry

2 理論分析模型

依據(jù)時域相移干涉測量原理，CCD采集的第i幅相移干涉圖像的光強(qiáng)分布可以表示為

式中：（x，y）為干涉場中任意點；I0（x，y）為平均（背景）光強(qiáng)；V（x，y）為條紋對比度；φ（x，y）為待提取相位；δi為由第i步相移引入的參考相位，i＝1，2，…，M，M為正整數(shù)，依據(jù)PZT相移方向的不同，常取δi＝-（i-1）π／2（PZT后移）或δi＝ （i-1）π／2（PZT前移）．

由M步相移采集對應(yīng)的M幀圖像即可得到M個方程，通過求解即可得到待測相位為

其中f（）表示相位計算公式，由相移算法決定，與干涉條紋光強(qiáng)有關(guān)．由于方程中含有3個未知量，至少需要三幅干涉圖才能建立三個代數(shù)方程求出φ（x，y），因此M≥3．

實際干涉測量中需考慮光路的往返，直接依干涉條紋圖求解得到的相位φ（x，y）為實際待測相位的2倍，因此被測表面的實際面形偏差表達(dá)式為

其中λ為相干光的波長．

為滿足不同測試條件及測試精度需求，國內(nèi)外已發(fā)展了多種相移算法［10，12-14］，其中 Schmit和Creath基于擴(kuò)展平均法提出的A類和B類多種多步算法［10］在商業(yè)化干涉儀軟件上得以廣泛應(yīng)用，文獻(xiàn)［1］中已詳細(xì)推導(dǎo)并列表給出了A類和B類的5～13步相移算法公式，本文仿真分析中將直接應(yīng)用各算法公式．

為獲得不同步數(shù)算法對不同誤差源的抑制效果，本文沿用文獻(xiàn)［1］中的分析思路，即建立無誤差和有誤差影響下的干涉圖像光強(qiáng)分布模型，用指定36項Zernike多項式系數(shù)擬合出來的波面作為理想待測面形，在此基礎(chǔ)上利用Matlab仿真一組無誤差的理想干涉條紋圖和一組有誤差影響下的干涉條紋圖，用多步相移算法分別進(jìn)行相位提?。魪恼`差影響下的干涉條紋圖中提取得到的實際相位為φ′（x，y），從理想干涉條紋圖中提取得到的理想相位為φ（x，y），則由誤差源引起的相位檢測誤差Δφ（x，y）＝φ′（x，y）-φ（x，y），對應(yīng)引入的面形檢測誤差ΔW（x，y）為

3 仿真結(jié)果及分析

激光光源的不穩(wěn)定包括波長（頻率）不穩(wěn)定和光強(qiáng)（功率）不穩(wěn)定兩部分，一般都為隨機(jī)變化量，本文將以A、B兩類多步相移算法中的5、6、7、13步相移算法為例分別進(jìn)行引入面形檢測誤差的分析比較．

3．1 激光器波長（頻率）不穩(wěn)定引入的檢測誤差

激光器波長的不穩(wěn)定會改變兩束相干光的相位差，當(dāng)干涉儀為共光路干涉時，這種影響并不明顯，但實際干涉測量光路不可能完全共光路，影響明顯，因此激光器波長不穩(wěn)定引起的相位誤差需要重點考慮的．設(shè)測試光和參考光的非共光路光程差為L，得到波長穩(wěn)定度Δλ／λ及頻率穩(wěn)定度Δv／v與引入的相位誤差ΔφL之間的關(guān)系為

式中：ΔφL為激光器波長不穩(wěn)定引入的相位誤差；λ為激光器波長變化量；λ為激光工作波長（這里取λ＝0．632 8×10-3mm）；c表示光速（取c＝ 3．0×1011mm·s-1）；Δv為激光器頻率的變化量；v為激光器頻率．

則第i步相移對應(yīng)干涉條紋的實際光強(qiáng)分布可表述為

對于圖1所述點衍射干涉測量系統(tǒng)來說，參考光和測試光非共光路部分的光程差L＝2R，R為被測件的頂點曲率半徑，依據(jù)系統(tǒng)構(gòu)成，考慮R在0．25～2m之間取值，由式（5）可計算得L分別取0．5m、1m、2m和4m時，引入的相位誤差ΔφL隨激光器波長（頻率）穩(wěn)定性的變化關(guān)系如圖2所示，為方便后續(xù)比較，這里將相位誤差換算至了波面誤差ΔwL（ΔwL＝ΔφL·λ／4π），單位為nm．

圖2 激光器波長 （頻率）不穩(wěn)定引入的相位誤差Fig．2 Phase error caused by laser wave（frequency）instability

由于相移時激光器波長的不穩(wěn)定性是隨機(jī)的，即ΔφL（x，y）為一隨機(jī)的變化量．假設(shè)激光器波長不穩(wěn)定度Δλ／λ＝±10-9，L取1m，可計算得引入了ΔφL≈±10-5rad（對應(yīng)ΔωL約為±0．5nm）的隨機(jī)性誤差．依據(jù)本文第2節(jié)介紹的方法，用不同相移算法對理想干涉圖像及引入了激光器波長不穩(wěn)定誤差的干涉圖像進(jìn)行相位提取，得到引入的面形檢測誤差的PV值比較如圖3所示，考慮到ΔφL（x，y）的隨機(jī)性，圖中給出了100次仿真計算的PV值比較．

由圖3可知，100次仿真計算得由各相移算法進(jìn)行提取產(chǎn)生的檢測誤差的PV值均為0～0．75 nm之間的隨機(jī)值，引入的面形檢測誤差的PV極大值均比波長不穩(wěn)定引入的隨機(jī)性誤差 （ΔwL＝±0．5nm）本身幅值略大，但不超過1．5倍．這里近似取引入的面形檢測誤差ΔW＝1．5ΔwL，進(jìn)一步估計不同Δλ／λ和L下引入的面形檢測誤差．結(jié)合圖2、圖3的分析結(jié)果可知：在λ／λ一定的情況下，測試光和參考光光程的差值L越大，各算法引入的誤差越大，引入的面形誤差的PV值ΔWPV值隨著波長穩(wěn)定度的降低成線性增長，若Δλ／λ取±10-10，各算法由波長不穩(wěn)定引入的面形檢測誤差約為0．075nm·m-1，若取Δλ／λ＝±10-9，由波長不穩(wěn)定引入的誤差就已達(dá)0．75nm·m-1．一般市售激光器給定的頻率穩(wěn)定性指標(biāo)為頻率的變化量Δv，變化量Δv越小，表示頻率的穩(wěn)定性越好，對于給定頻率穩(wěn)定性指標(biāo)Δv為±1MHz的一般市售激光器，可計算得Δλ／λ約為±2×10-9，由此引入的檢測誤差約為1．5nm·m-1，4m非共光路光程引入的誤差已達(dá)6nm．可見，激光器波長（頻率）不穩(wěn)定對測量結(jié)果的影響很大，要達(dá)到點衍射干涉測量中PV納米以下檢測精度需求，需使用波長穩(wěn)定度優(yōu)于10-9的激光器．

通過多次平均可減小該隨機(jī)性誤差的影響，表1列出了圖3所示各算法100次仿真計算的PV均值．由表1可知：多次平均下，激光器波長不穩(wěn)定度相同時，同步數(shù)的相移算法相比較，B類算法引入的誤差比A類算法誤差稍大；同類算法下，步數(shù)越多，引入的誤差越小，算法的誤差抑制效果越好，但各算法對激光器波長不穩(wěn)定誤差的抑制效果差別不大，引入的面形檢測誤差值均約為波長不穩(wěn)定引入的隨機(jī)性誤差（波面誤差）值本身幅值的1／2．

圖3 100次計算激光器波長不穩(wěn)定引入的面形檢測誤差PV值（取Δλ／λ＝±10-9，L＝1m）Fig．3 PV figure error caused by laser wave instability within 100caculate times

表1 100次計算激光器波長不穩(wěn)定引入誤差的PV均值（Δλ／λ＝±10-9，L＝1m）Tab．1 Average of PV figure error caused by laser wave instability within 100caculate times

3．2 激光器光強(qiáng)（功率）不穩(wěn)定引入的檢測誤差

激光器光強(qiáng)（功率）不穩(wěn)定使得探測器實際輸出光強(qiáng)在原來光強(qiáng)上疊加了一個隨機(jī)變化量ΔI（x，y），第i步相移對應(yīng)干涉圖像的實際光強(qiáng)分布可表述為

目前He-Ne激光器的功率穩(wěn)定性一般在±0．2%～±5%之間，考慮不同光源強(qiáng)度波動，仿真各相移算法進(jìn)行相位提取產(chǎn)生的面形檢測誤差，圖4為以5A和5B算法為例，100次仿真計算得引入面形檢測誤差的PV值，圖4（a）為光源光強(qiáng)穩(wěn)定性取±1%時的結(jié)果，4（b）為光強(qiáng)穩(wěn)定性取±0．2%時的結(jié)果，表2、表3第二行給出了用不同相移算法進(jìn)行相位提取時，100次計算得引入誤差的PV極大值．通過分析可知，光源的強(qiáng)度穩(wěn)定性越好，引入的誤差越小，當(dāng)光源強(qiáng)度在±1%范圍之內(nèi)隨機(jī)波動時，各算法引入的面形檢測誤差的PV值均接近2nm，當(dāng)光源強(qiáng)度在±0．2%范圍之內(nèi)波動時引入誤差PV值可減小到約0．5nm，可見光源功率穩(wěn)定性同樣對測量有較大影響．通過分析可知，要達(dá)到點衍射干涉測量中PV nm以下檢測精度需求，需使用功率穩(wěn)定性優(yōu)于±0．5%的激光器．

圖4 100次計算激光器光強(qiáng)（功率）不穩(wěn)定引入的面形檢測誤差PV值Fig．4 PV figure error caused by laser intensity（power）instability within 100caculate times

同樣，通過多次平均可減小該誤差影響，當(dāng)光源強(qiáng)度穩(wěn)定性分別取±1%和±0．2%，各算法100次仿真得到產(chǎn)生誤差的PV均值如表2、表3第三行所示．通過比較分析可知：激光器光強(qiáng)穩(wěn)定性相同的情況下，B類算法引入的誤差比A類算法誤差稍大；同類算法下，步數(shù)越多，引入的誤差越小，算法的誤差抑制效果越好，但各算法誤差抑制效果差別不大；引入的面形檢測誤差的PV均值與光強(qiáng)波動百分?jǐn)?shù)也呈線性遞增關(guān)系，光強(qiáng)波動性為±0．2%時100次計算引入的誤差的PV均值接近0．2nm，光強(qiáng)波動性為±1%時100次計算引入的誤差的PV均值接近1nm．

表2 激光光強(qiáng)波動±1%計算得引入誤差的PV極大值和均值Tab．2 Maximum and average values of PV figure error caused by±1%laser intensity instability

表3 激光光強(qiáng)波動±0．2%時計算得引入誤差的PV極大值和均值Tab．3 Maximum and average values of PV figure error caused by±0．2%laser intensity instability

4 結(jié) 論

1）激光器的波長（頻率）不穩(wěn)定和光強(qiáng)（功率）不穩(wěn)定均在干涉檢測中引入了隨機(jī)性誤差，兩者對測量結(jié)果都有影響，其影響程度與激光器的不穩(wěn)定參數(shù)及系統(tǒng)檢測精度需求有關(guān)．

2）多次平均下，A類及步數(shù)越多的算法因激光器頻率不穩(wěn)定和功率不穩(wěn)定引入的誤差均越小，但彼此之間差別不大，各算法對激光器不穩(wěn)定引入的這兩種隨機(jī)性誤差的抑制效果均不明顯．

3）多次測量下，因激光器波長不穩(wěn)定引入的面形檢測誤差與干涉測量系統(tǒng)的非共光路光程L有關(guān)，引入誤差的PV極大值均比波長不穩(wěn)定引入的隨機(jī)性誤差本身幅值略大，但都不超過1．5倍；波長不穩(wěn)定引入的面形檢測誤差的PV極大值隨著波長穩(wěn)定度的降低成線性增長，Δλ／λ為±10-10時，各算法引入的誤差均約為0．075nm·m-1，Δλ／λ為±10-9時，由波長不穩(wěn)定引入的誤差就已達(dá)0．75nm·m-1．

4）多次測量下，各相移算法因激光器光強(qiáng)的不穩(wěn)定引入的面形檢測誤差的PV極大值與光源的光強(qiáng)波動幅度有關(guān)，波動幅度為±1%時，各算法引入的面形檢測誤差的PV值均接近2nm，波動幅度為±0．2%時，引入誤差PV值可減小到約0．5nm．

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