【摘 要】隨著復雜網(wǎng)絡的廣泛應用，病毒傳播逐漸成為復雜網(wǎng)絡安全的嚴重問題之一。本文首先對復雜網(wǎng)絡的病毒傳播進行分析，給出了經典的復雜網(wǎng)絡病毒傳播模型。在此基礎上提出了一種SIRC模型，對此進行數(shù)學建模，并在Matlab平臺上進行仿真分析。

【關鍵詞】復雜網(wǎng)絡 病毒傳播 數(shù)學建模

一、復雜網(wǎng)絡中的病毒傳播分析

（一）復雜網(wǎng)絡的安全問題

在現(xiàn)實世界里，復雜網(wǎng)絡規(guī)模龐大，一般部署在面積廣闊且復雜惡劣的環(huán)境中，對實際應用產生巨大隱患。在復雜網(wǎng)絡安全研究中，Shi等提出了SIS模型，該模型綜合考慮傳播過程中的影響；李光正等借助網(wǎng)絡拓撲，提出了一種SIRS模型，證明網(wǎng)絡拓撲影響復雜網(wǎng)絡的病毒傳播；李文杰在蠕蟲網(wǎng)絡的基礎上提出了SPIRQ模型；Han等人提出復雜網(wǎng)絡中的遠程病毒傳播SIRS模型。本文提出了一種修復狀態(tài)C，在此基礎上提出了一種SIRC模型，該模型更加符合實際網(wǎng)絡病毒傳播模型，有助于抑制復雜網(wǎng)絡的病毒傳播。

（二）經典復雜網(wǎng)絡病毒模型研究

在復雜網(wǎng)絡的經典傳播病毒模型有：SI模型、SIR模型、SIS模型等。

SI模型是經典的網(wǎng)絡病毒傳播模型，在該模型的網(wǎng)絡每一個節(jié)點有兩個不同的狀態(tài)——易感染和感染，易感染節(jié)點以一定感染率轉換為感染狀態(tài)，SI模型能夠反映出感染的過程，有助于網(wǎng)絡安全性能的提升。

SIR（Susceptible Infectious Removed）模型，是網(wǎng)絡程序員通常采用的模型，該模型提出了一種感染節(jié)點修復好的狀態(tài)，例如顯示網(wǎng)絡中通過殺毒和補丁修復網(wǎng)絡。

SIS（Susceptible Infectious Susceptible）模型，相對于SI模型，該模型考慮了修復后重回到易感染狀態(tài)，因此節(jié)點有可能再次被感染。

二、基于復雜網(wǎng)絡的病毒傳播模型

（一）SIRC網(wǎng)絡病毒傳播模型

SIRC（Susceptible Infected Removed Cleared）模型的主機主要分為四種狀態(tài)：易感染類、已感染類、免疫類以及修復類。

SIRC模型引入修復類狀態(tài)C，該狀態(tài)更加符合現(xiàn)實復雜網(wǎng)絡中病毒傳播過程以及節(jié)點修補性的特性，令t時刻，模型中狀態(tài)節(jié)點數(shù)目占總節(jié)點數(shù)的比例分別為表示，可由式表示：

（1）

如圖1所示，在SIRC模型中易感染狀態(tài)S被I類感染的概率為，I類進入修復狀態(tài)C狀態(tài)的概率為，修復狀態(tài)I獲得免疫效果R的概率為，而免疫效果失去免疫轉換為易感染狀態(tài)S的概率為，I類由于與R接觸，將以的概率轉換為R類。狀態(tài)轉換圖的數(shù)學模型進行微分方程求解，令，轉換后的方程組如式2所示，其中記

：通過對方程組解析，式2可以推得因此需或。

當時，代入可以將式2轉化為：

（2）

式（1）可以解得，可以求得或，表示網(wǎng)絡病毒被網(wǎng)絡清除，表示病毒已破壞網(wǎng)絡，網(wǎng)絡已經崩潰。感染節(jié)點時，表示一個網(wǎng)絡中病毒的平衡狀態(tài)。

當時，即存在，同理可以求得微分方程的穩(wěn)態(tài)解如下：

（3）

（二）數(shù)值仿真分析

在Matlab平臺進行SIRC模型數(shù)值仿真分析，在Redcode模型去實驗分析，參數(shù)分別取

，通過式（3）可以求解得出：，在Matlab上仿真可以得出各類節(jié)點的比例變化曲線，通過仿真可以得到：1、感染狀態(tài)的節(jié)點隨著仿真步數(shù)增多，逐漸趨向于0，這意味著網(wǎng)絡病毒被完全清除，網(wǎng)絡恢復正常工作。2、四種狀態(tài)所占比例經過多次震蕩趨向于穩(wěn)態(tài)，震蕩幅度不斷減小。

三、結語

本文通過對復雜網(wǎng)絡病毒傳播模型進行分析，提出了一種新的復雜網(wǎng)絡病毒傳播模型——SIRC模型。該模型帶有修復狀態(tài)，通過數(shù)學建模，可以得知SIRC模型的四個狀態(tài)在多次震蕩后，趨向于穩(wěn)態(tài)，其中感染狀態(tài)的節(jié)點所占比例趨向于0，網(wǎng)絡能夠恢復安全狀態(tài)。本文提出的模型更加符合現(xiàn)實網(wǎng)絡的實際情況，有助于維護網(wǎng)絡中國的信息安全。

參考文獻：

[1]李光正，史定華.復雜網(wǎng)絡上SIRS類疾病傳播行為分析[J].自然科學進展，2006，16（4）：508-511.

[2]李文杰，劉奇峰.用于網(wǎng)絡蠕蟲傳播模擬的SPIRQ模型[J].天津理工大學學報，2010，26（4）：7-9，.