付云鵬+馬樹才

摘要：本文以模糊變量的截集為切入點(diǎn)，給出隨機(jī)變量取值為模糊數(shù)時(shí)加權(quán)可能性均值、方差和協(xié)方差的定義，將其分別作為證券投資收益為模糊數(shù)時(shí)未來收益、風(fēng)險(xiǎn)和不同證券收益之間相關(guān)程度的度量，構(gòu)建了基于加權(quán)可能性均值-方差的組合投資決策模型；通過在加權(quán)可能性均值-方差模型中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資比例限制而使模型結(jié)構(gòu)更加完整，應(yīng)用過程中更加貼近實(shí)際情況，并結(jié)合中國證券市場的實(shí)際運(yùn)行狀況將三個(gè)模型的實(shí)證結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

關(guān)鍵詞： 模糊數(shù)； 加權(quán)可能性均值； 加權(quán)可能性方差； 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)； 投資比例

中圖分類號(hào)： F830 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

證券市場是現(xiàn)代金融體系的一個(gè)重要的組成部分，證券市場的基本功能之一就是為資金盈余者提供投資對(duì)象，為資金短缺者提供資金來源。由于受到國際形勢、國家宏觀經(jīng)濟(jì)狀況、企業(yè)自身經(jīng)營情況和自然災(zāi)害等不確定性因素的影響，投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)無法精確地描述和刻畫，如何在投資過程中尋求到投資的收益高而風(fēng)險(xiǎn)低的最優(yōu)策略是投資者關(guān)心的首要問題。組合投資使投資者投資于各種證券的資金適當(dāng)分散化，將不同的資金份額投資于不同的證券，通過多種證券風(fēng)險(xiǎn)的彼此抵消，達(dá)到在保證其收益的同時(shí)降低風(fēng)險(xiǎn)的目的。

鑒于組合投資理論研究對(duì)象的復(fù)雜性，面對(duì)這樣極為復(fù)雜的系統(tǒng)，除了證券收益和風(fēng)險(xiǎn)的自身不確定性外，對(duì)該系統(tǒng)的描述也往往不確定。證券組合投資問題的主要研究內(nèi)容就是在不確定性的系統(tǒng)中分析不確定性的收益及風(fēng)險(xiǎn)，研究建立滿足不同類型的投資需求和不同投資環(huán)境約束的模型，以及如何獲得模型的有效邊界。這種不確定性表現(xiàn)為兩種不同的形式：一種是事件發(fā)生與否以及發(fā)生的概率有多大的不確定性，即所謂的隨機(jī)性；另一種是事件所處的系統(tǒng)狀態(tài)自身的復(fù)雜性，及投資者思維判斷的主觀性所導(dǎo)致的邊界不明確的不確定性，即所謂的模糊性。從信息觀點(diǎn)看，隨機(jī)性只涉及到信息的量，而模糊性則關(guān)系到信息的含義，可以說模糊性是一種比隨機(jī)性更為深刻的不確定性。模糊性的存在在現(xiàn)實(shí)中也比隨機(jī)性的存在更為廣泛，尤其是在主觀認(rèn)識(shí)領(lǐng)域，模糊性的作用遠(yuǎn)比隨機(jī)性的作用更為重要。因此，對(duì)證券市場中的不確定性進(jìn)行研究，在模糊環(huán)境下研究組合投資問題，將模糊信息考慮到組合投資決策模型的構(gòu)建之中，建立基于模糊信息處理的組合投資模型，從理論上講具有非常重要的意義。

一、加權(quán)可能性均值、方差的定義及性質(zhì)

（一）加權(quán)可能性均值及性質(zhì)

定義1：設(shè)∈F（R）為模糊變量，的α（α∈（0，1））截集為Aα=[A-α，A+α]，則模糊變量的基于截集的加權(quán)可能性均值為：

Ew（）=∫01[λE（A+α）+（1-λ）E（A-α）]dα（1）

其中E（A-α）表示模糊變量的截集左端點(diǎn)的均值，E（A+α）分別表示模糊變量的截集右端點(diǎn)的均值，權(quán)重參數(shù)λ∈[0，1]為決策者的樂觀程度系數(shù)。λ值越大，加權(quán)可能性均值越偏向于模糊變量的α截集的右端點(diǎn)。此時(shí)加權(quán)可能性均值越大，說明決策者越樂觀；λ值越小，投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度越悲觀。

當(dāng)模糊變量為三角型模糊變量=時(shí)，設(shè)其取值分別為i=，i=1，2，…，n，其中pi，qi分別為三角型模糊變量i的左、右寬度，由定義1可知的加權(quán)可能性均值為：

Ew（）=∫01[λE（A+α）+（1-λ）E（A-α）]dα

=+[SX（]1[]2[SX）]λ-[SX（]1[]2[SX）]（1-λ）（2）

其中=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]ai，=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]pi，=[SX（]1[]n[SX）]∑[DD（]n[]i=1[DD）]qi為實(shí)數(shù)平均值。

定理1：設(shè)兩個(gè)模糊變量，的α截集分別為Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，k為非負(fù)實(shí)數(shù)，則：

（1）Ew（k）=kEw（）；

（2）Ew（+）=Ew（）+Ew（）。

（二）加權(quán)可能性方差與協(xié)方差的定義及性質(zhì)

定義2：設(shè)∈F（R）為模糊變量，的α截集為Aα=[A-α，A+α]，則模糊變量的基于截集的加權(quán)可能性方差為：

Varw（）=∫01[λVar（A+α）+（1-λ）Var（A-α）]dα（3）

其中Var（A-α）為模糊變量的截集左端點(diǎn)的方差，Var（A+α）為模糊變量的截集右端點(diǎn)的方差，加權(quán)可能性方差定義為模糊變量的每個(gè)截集的左端點(diǎn)方差Var（A-α）和右端點(diǎn)方差Var（A+α）的加權(quán)平均值。權(quán)重λ∈[0，1]的值越大，加權(quán)可能性方差越接近于截集右端點(diǎn)的方差；λ值越小，加權(quán)可能性方差越接近于截集左端點(diǎn)的方差。

定義3：設(shè)，∈F（R）為模糊變量，，的α截集分別為Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，則模糊變量，的基于截集的加權(quán)可能性協(xié)方差為：

Covw（，）=∫01[λCov（A+α，B+α）+（1-λ）Cov（A-α，B-α）]dα（4）

其中Cov（A-α，B-α）為模糊變量，截集的左端點(diǎn)的協(xié)方差，Cov（A+α，B+α）Var（A+α）為模糊變量，截集的右端點(diǎn)的協(xié)方差。權(quán)重λ∈[0，1]值越大，加權(quán)可能性協(xié)方差越接近于截集右端點(diǎn)的協(xié)方差；λ值越小，加權(quán)可能性方差越接近于截集左端點(diǎn)的協(xié)方差。

定理2：設(shè)兩個(gè)模糊變量，的α截集分別為Aα=[A-α，A+α]和Bα=[B-α，B+α]，k為非負(fù)實(shí)數(shù)，則：

（1）Varw（k）=k2Varw（）；

（2）Varw（+）=Varw（）+Varw（）+2Covw（，）。

推論1：設(shè)，為模糊變量，m，n為非負(fù)實(shí)數(shù)，則：

Varw（m+n）=m2Varw（）+n2Varw（）+2mnCovw（，）

三角型模糊變量的加權(quán)可能性方差為：

Varw（）=∫01[λVar（A+α）+（1-λ）Var（A-α）]dα=Var（a）+λCov（a，q）-（1-λ）Cov（a，p）+[SX（]1[]3[SX）]λVar（q）+[SX（]1[]3[SX）]（1-λ）Var（p）（5）

當(dāng)i，j為三角型模糊變量i=和j=時(shí)，i，j的加權(quán)可能性協(xié)方差為：

Covw（i，j）=Cov（ai，aj）+[SX（]1[]2[SX）]λ[Cov（ai，qj）+Cov（aj，qi）]-[SX（]1[]2[SX）]（1-λ）[Cov（ai，pj）+Cov（aj，pi）]（6）

二、加權(quán)可能性均值-方差的組合投資模型

（一）模型構(gòu)建

假設(shè)市場上有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可以進(jìn)行組合投資，設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i資產(chǎn)的預(yù)期收益率為i（i=1，2，…，n），xi（0xi1）為投資者投資于證券i的比例，于是該證券組合投資的預(yù)期收益率=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii也是一個(gè)模糊數(shù)，若模糊收益率i的α∈[0，1]）截集為（ri）α={x∈X|i（x）α}=[r-iα，r+iα]，根據(jù)加權(quán)可能性均值的定義，可知組合投資的預(yù)期收益率的可能性均值為：

Ew（）=Ew∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xiEw（i）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi∫01[λE（r+iα+（1-λ）E（r-iα）]dα]

其中權(quán)重參數(shù)λ的取值反映了投資者對(duì)組合資產(chǎn)的未來收益的樂觀程度，組合資產(chǎn)的模糊收益率的加權(quán)可能性方差為：

Varw（）=Varw（∑[DD（]n[]i=1[DD）]xii）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2Varw（i）+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixjCovw（i，j）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2∫01[λVar（r+iα+（1-λ）Var（r-iα）]dα+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixj∫01[λCov（r+iα，r+jα+（1-λ）Cov（r-iα，r-jα）]dα

其中，權(quán)重參數(shù)λ的取值反映了投資者對(duì)組合投資的未來風(fēng)險(xiǎn)的樂觀程度。若用證券組合投資的預(yù)期收益率的加權(quán)可能性均值和加權(quán)可能性方差，分別作為證券投資未來收益和風(fēng)險(xiǎn)的度量，則在預(yù)先給定收益率的下限為μ（μ>0）的條件下，選擇投資組合使其總風(fēng)險(xiǎn)最小的組合投資模型可表示為：

min Varw（）=∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi2Varw（i）+2∑[DD（]n[]i>j=1[DD）]xixjCovw（i，j）

s.t.Ew（）μ

∑[DD（]n[]i=1[DD）]xi=1

xi0（7）

（二）實(shí)證分析

選取上海證券交易所中上市的8種股票進(jìn)行組合投資，具體名稱和代碼見表1，樣本數(shù)據(jù)選取上述8種股票從2007年1月到2010年3月，共39個(gè)月的月收益率數(shù)據(jù)的均值作為每種股票的預(yù)期收益率。由于股票的價(jià)格在同一天中也是波動(dòng)變化的，本文采用三角型模糊數(shù)來表示股票的月收益率，設(shè)第i種股票第t個(gè)月的最高價(jià)格為Git，最低價(jià)格為Dit，第一個(gè)交易日的開盤價(jià)格為Kit，最后一個(gè)交易日的收盤價(jià)格為Sit，則第i種股票第t個(gè)月的月收益率可用三角型模糊數(shù)it=（i=1，2，…，8；t=1，2，…，39）來表示，其中αit=rit-nit，βit=mit-rit，mit=[SX（]Git-Kit[]Kit[SX）]×100%，rit=[SX（]Sit-Kit[]Kit[SX）]×100%，nit=[SX（]Dit-Kit[]Kit[SX）]×100%，則顯然有nitritmit。這樣得到的每月的收益率都反映了該月收益率的波動(dòng)情況，于是第i種股票的模糊預(yù)期收益率可用三角型模糊數(shù)表示：

i==[SX（]1[]T[SX）]∑[DD（]T[]t=1[DD）]it（8）

其中T為樣本數(shù)據(jù)的時(shí)期數(shù)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求得上述8種股票的模糊收益率的中心值及左、右寬度的均值數(shù)據(jù)見表1。

假設(shè)某投資者對(duì)投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)均持中立的態(tài)度，取風(fēng)險(xiǎn)樂觀系數(shù)為λ=05，此時(shí)8種證券的加權(quán)可能性均值和加權(quán)可能性方差數(shù)據(jù)分別見表2和表3。將表2和表3中的數(shù)據(jù)代入到模型（7），可得不同預(yù)期收益率下限的不同投資比例與風(fēng)險(xiǎn)見表4。從表4中可以看出隨著預(yù)期收益率下限的增大，模型的風(fēng)險(xiǎn)值隨之增大。投資者根據(jù)不同的收益率的下限選擇不同的投資比例，同時(shí)承擔(dān)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。

三、存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型

（一）模型構(gòu)建

假設(shè)投資者將其持有資金按x0（x00）的比例存入銀行，視利息收益為無風(fēng)險(xiǎn)收益，其收益率為r0，風(fēng)險(xiǎn)值為0；將其余的資金投資于n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模糊收益率為i=（i=1，2，…，n），投資比例為xi（xi0），則存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的加權(quán)可能性均值-方差模型可表示為：

（二）實(shí)證分析

若投資者除了將全部的持有的資金投資于8種股票外，還將其部分資金存入銀行，即投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，當(dāng)前一年期定期存款利率為225%，將其折合為月收益平均利率后為01856%，將表2、表3中的數(shù)據(jù)和月存款收益率代入模型（9）中，可得不同預(yù)期收益率下限的不同投資比例與風(fēng)險(xiǎn)見表5。

從表5中可以看出當(dāng)投資者的預(yù)期收益率小于銀行存款月利率01856%時(shí)，投資者會(huì)將其全部資產(chǎn)存入銀行，此時(shí)不需要承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)預(yù)期收益率下限在025%到2%之間時(shí)，投資者為了獲得更多的收益，將其持有資金投資于股票3、股票5和股票7，隨著預(yù)期收益率的提高，三種股票的投資比例相應(yīng)增加，銀行存款的比例相應(yīng)下降；當(dāng)預(yù)期收益率下限為2%時(shí)，銀行存款的比例下降到5437%，股票3的投資比例增加到1474%，股票5的投資比例增加到2259%，股票7的投資比例增加到829%，在此過程中投資者所需承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值也由00722增加到572324；當(dāng)預(yù)期收益率下限在25%到4%之間時(shí)，股票3、股票5和股票7的投資比例繼續(xù)增加，銀行存款的投資比例繼續(xù)下降，由4809%下降到408%，股票5的投資比例由2571%上升到475%，風(fēng)險(xiǎn)值也由740908上升到2529464；當(dāng)預(yù)期收益率下限為42686%時(shí)，此時(shí)銀行存款的投資比例為0，全部資金投資于股票4，此時(shí)模型的風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最大值3572106。

四、存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差組合投資模型

（一）模型構(gòu)建

在證券交易市場中，證券的交易數(shù)量往往會(huì)受到一定的限制，投資者在實(shí)際投資決策中也可能基于各方面因素的綜合考慮，常常對(duì)于資金的分配有一定的最高投資比例和最低投資比例的主觀限制。為滿足上述要求，本文建立存在投資限制條件下的加權(quán)可能性均值-方差投資模型如下：

（二）實(shí)證分析

若投資者為避免風(fēng)險(xiǎn)將其資金存入銀行的比例限制在10%-30%之間，為保證投資的分散性將每種股票的投資比例也做適當(dāng)?shù)南拗?，設(shè)投資比例的上、下界限制向量分別為：

將表2和表3中數(shù)據(jù)代入模型（10），可得到不同預(yù)期收益率下限的投資比例和風(fēng)險(xiǎn)見表6。從表6中可以看出當(dāng)預(yù)期收益率下限小于1669%時(shí)，投資者將其全部資金的30%投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)1，將167%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)2，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)3，213%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)4，452%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)5，131%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)6，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)7，2641%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)8，在8種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中投資比例最大的是資產(chǎn)8，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)1、3、7只達(dá)到預(yù)先給的投資比例下限，此時(shí)投資者所有承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)為873144。在本例中投資者所能達(dá)到的最高的收益率為36561%，此時(shí)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值為2256776。雖然在投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的樂觀程度為中性的時(shí)候，即λ=05時(shí)，8種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的加權(quán)可能性均值中有兩種資產(chǎn)：資產(chǎn)3的收益率的加權(quán)可能性均值為42686%，資產(chǎn)5的收益率的加權(quán)可能性均值為4117%，大于模型中所能達(dá)到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投資比例的限制，無法達(dá)到更高的收益水平；同時(shí)，投資者所有承擔(dān)的最高風(fēng)險(xiǎn)值2256776，也要小于沒有投資比例限制的最高風(fēng)險(xiǎn)值3572016。

五、模型的比較分析

本文構(gòu)建的模型（9）在模型（7）的基礎(chǔ)上增加了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，由于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相對(duì)較低，在預(yù)期收益率下限較小的時(shí)候，投資者可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)的收益。隨著投資者預(yù)期收益率的提高，投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例在逐漸地下降，但是當(dāng)投資者的預(yù)期收益率的下限很大的時(shí)候，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例為0。模型（10）在模型（9）的基礎(chǔ)上增加了投資比例的限制。在為了保證投資的分散性，事先對(duì)每種資產(chǎn)的投資比例做了最高和最低的投資比例限制，雖然投資者在這種情況下所能達(dá)到的預(yù)期收益率水平降低了，但是其承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)的最大值也變小了。

三種模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖見圖1，從圖1中可以看出三種模型中投資者所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值都是隨著預(yù)期收益率的增加而增加；在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型中，盡管預(yù)期收益率下限很低，小于225%，這時(shí)投資者仍要承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)，其值為1764268；同樣對(duì)于存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)預(yù)期收益率下限水平225%，投資者所需承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值僅為740908。因?yàn)榇藭r(shí)投資者將其全部資產(chǎn)的4809%存入銀行，這部分投資無需承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)，只有其投資于股票3的1474%、投資于股票5的2259%和投資于股票7的829%是需要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的。但是，當(dāng)預(yù)期收益率下限大于425%時(shí)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例下降為0，也就是說決策者將全部資產(chǎn)投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。此時(shí)兩種模型的預(yù)期值相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)值也相同，兩個(gè)模型的風(fēng)險(xiǎn)-收益關(guān)系圖像重合。

存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖像，位于存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型和加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖之間，這說明對(duì)應(yīng)于同一個(gè)預(yù)期收益率下限的值，存在投資比例限制的模型加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值，介于加權(quán)可能性均值-方差模型和存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值中間。例如當(dāng)投資者的預(yù)期收益率為275%時(shí)，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1204906，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1143266，加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1824404。這是因?yàn)樵诖嬖谕顿Y比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型中有30%的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中3551%的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而加權(quán)可能性均值-方差模型將全部資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，故其風(fēng)險(xiǎn)值最大。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型最大收益無法達(dá)到另外兩個(gè)模型同樣的42686%，其所能到達(dá)的最大值為36561%。因此，在圖1中存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的收益-風(fēng)險(xiǎn)曲線要比另外兩條曲線短。

六、結(jié)論

本文通過在基于加權(quán)均值-方差的組合投資模型中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資比例限制的條件，使得模型更加完善、應(yīng)用過程中更加貼近實(shí)際情況。在預(yù)期收益率較低的情況下，研究表明存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型比沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型具有更小的風(fēng)險(xiǎn)。但是，當(dāng)預(yù)期收益率下限大于425%時(shí)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例下降為0，此時(shí)兩種模型的預(yù)期值相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)值也相同。在同一個(gè)預(yù)期收益率下限的情況下，存在投資比例限制的模型加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值，介于加權(quán)可能性均值-方差模型和存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值中間。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型最大預(yù)期收益的最大值比另外兩個(gè)模型的最小。

參考文獻(xiàn)：

[1] Tanaka H.，Guo P.& Túrksen I.B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems， 2000，111：387-397.

[2] Carlsson C.， Fuller R.， Mailender P.Possibilistic Approach to Selecting Portfolios with Highest Utility Score[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，131：13-21.

[3] 張衛(wèi)國.現(xiàn)代投資組合理論——模型、方法與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[4] 陳煒，張潤彤，楊玲.存在融資條件下證券組合選擇的一種模糊決策方法[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2007（3）：67-70.

[5] 洪雁，邵全，吳祈宗.模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃下的投資組合模型研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2005（9）：112-118.

[6] 許若寧，翟曉燕.風(fēng)險(xiǎn)投資決策的模糊分析模型[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008（1）：120-126.

[7] 姚邵文.模糊環(huán)境下的投資組合模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009（8）：149-150.

[8] 付云鵬，馬樹才.一種新的基于可能性均值的證券組合投資決策模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011（3）：164-166.

[9] 付云鵬，馬樹才，宋琪.基于模糊空間距離的組合投資模型及應(yīng)用研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2012（8）：124-136.endprint

四、存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差組合投資模型

（一）模型構(gòu)建

在證券交易市場中，證券的交易數(shù)量往往會(huì)受到一定的限制，投資者在實(shí)際投資決策中也可能基于各方面因素的綜合考慮，常常對(duì)于資金的分配有一定的最高投資比例和最低投資比例的主觀限制。為滿足上述要求，本文建立存在投資限制條件下的加權(quán)可能性均值-方差投資模型如下：

（二）實(shí)證分析

若投資者為避免風(fēng)險(xiǎn)將其資金存入銀行的比例限制在10%-30%之間，為保證投資的分散性將每種股票的投資比例也做適當(dāng)?shù)南拗?，設(shè)投資比例的上、下界限制向量分別為：

將表2和表3中數(shù)據(jù)代入模型（10），可得到不同預(yù)期收益率下限的投資比例和風(fēng)險(xiǎn)見表6。從表6中可以看出當(dāng)預(yù)期收益率下限小于1669%時(shí)，投資者將其全部資金的30%投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)1，將167%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)2，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)3，213%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)4，452%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)5，131%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)6，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)7，2641%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)8，在8種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中投資比例最大的是資產(chǎn)8，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)1、3、7只達(dá)到預(yù)先給的投資比例下限，此時(shí)投資者所有承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)為873144。在本例中投資者所能達(dá)到的最高的收益率為36561%，此時(shí)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值為2256776。雖然在投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的樂觀程度為中性的時(shí)候，即λ=05時(shí)，8種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的加權(quán)可能性均值中有兩種資產(chǎn)：資產(chǎn)3的收益率的加權(quán)可能性均值為42686%，資產(chǎn)5的收益率的加權(quán)可能性均值為4117%，大于模型中所能達(dá)到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投資比例的限制，無法達(dá)到更高的收益水平；同時(shí)，投資者所有承擔(dān)的最高風(fēng)險(xiǎn)值2256776，也要小于沒有投資比例限制的最高風(fēng)險(xiǎn)值3572016。

五、模型的比較分析

本文構(gòu)建的模型（9）在模型（7）的基礎(chǔ)上增加了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，由于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相對(duì)較低，在預(yù)期收益率下限較小的時(shí)候，投資者可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)的收益。隨著投資者預(yù)期收益率的提高，投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例在逐漸地下降，但是當(dāng)投資者的預(yù)期收益率的下限很大的時(shí)候，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例為0。模型（10）在模型（9）的基礎(chǔ)上增加了投資比例的限制。在為了保證投資的分散性，事先對(duì)每種資產(chǎn)的投資比例做了最高和最低的投資比例限制，雖然投資者在這種情況下所能達(dá)到的預(yù)期收益率水平降低了，但是其承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)的最大值也變小了。

三種模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖見圖1，從圖1中可以看出三種模型中投資者所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值都是隨著預(yù)期收益率的增加而增加；在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型中，盡管預(yù)期收益率下限很低，小于225%，這時(shí)投資者仍要承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)，其值為1764268；同樣對(duì)于存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)預(yù)期收益率下限水平225%，投資者所需承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值僅為740908。因?yàn)榇藭r(shí)投資者將其全部資產(chǎn)的4809%存入銀行，這部分投資無需承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)，只有其投資于股票3的1474%、投資于股票5的2259%和投資于股票7的829%是需要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的。但是，當(dāng)預(yù)期收益率下限大于425%時(shí)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例下降為0，也就是說決策者將全部資產(chǎn)投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。此時(shí)兩種模型的預(yù)期值相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)值也相同，兩個(gè)模型的風(fēng)險(xiǎn)-收益關(guān)系圖像重合。

存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖像，位于存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型和加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖之間，這說明對(duì)應(yīng)于同一個(gè)預(yù)期收益率下限的值，存在投資比例限制的模型加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值，介于加權(quán)可能性均值-方差模型和存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值中間。例如當(dāng)投資者的預(yù)期收益率為275%時(shí)，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1204906，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1143266，加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1824404。這是因?yàn)樵诖嬖谕顿Y比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型中有30%的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中3551%的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而加權(quán)可能性均值-方差模型將全部資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，故其風(fēng)險(xiǎn)值最大。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型最大收益無法達(dá)到另外兩個(gè)模型同樣的42686%，其所能到達(dá)的最大值為36561%。因此，在圖1中存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的收益-風(fēng)險(xiǎn)曲線要比另外兩條曲線短。

六、結(jié)論

本文通過在基于加權(quán)均值-方差的組合投資模型中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資比例限制的條件，使得模型更加完善、應(yīng)用過程中更加貼近實(shí)際情況。在預(yù)期收益率較低的情況下，研究表明存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型比沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型具有更小的風(fēng)險(xiǎn)。但是，當(dāng)預(yù)期收益率下限大于425%時(shí)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例下降為0，此時(shí)兩種模型的預(yù)期值相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)值也相同。在同一個(gè)預(yù)期收益率下限的情況下，存在投資比例限制的模型加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值，介于加權(quán)可能性均值-方差模型和存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值中間。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型最大預(yù)期收益的最大值比另外兩個(gè)模型的最小。

參考文獻(xiàn)：

[1] Tanaka H.，Guo P.& Túrksen I.B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems， 2000，111：387-397.

[2] Carlsson C.， Fuller R.， Mailender P.Possibilistic Approach to Selecting Portfolios with Highest Utility Score[J].Fuzzy Sets and Systems，2002，131：13-21.

[3] 張衛(wèi)國.現(xiàn)代投資組合理論——模型、方法與應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[4] 陳煒，張潤彤，楊玲.存在融資條件下證券組合選擇的一種模糊決策方法[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào)， 2007（3）：67-70.

[5] 洪雁，邵全，吳祈宗.模糊機(jī)會(huì)約束規(guī)劃下的投資組合模型研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2005（9）：112-118.

[6] 許若寧，翟曉燕.風(fēng)險(xiǎn)投資決策的模糊分析模型[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008（1）：120-126.

[7] 姚邵文.模糊環(huán)境下的投資組合模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009（8）：149-150.

[8] 付云鵬，馬樹才.一種新的基于可能性均值的證券組合投資決策模型[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011（3）：164-166.

[9] 付云鵬，馬樹才，宋琪.基于模糊空間距離的組合投資模型及應(yīng)用研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2012（8）：124-136.endprint

四、存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差組合投資模型

（一）模型構(gòu)建

在證券交易市場中，證券的交易數(shù)量往往會(huì)受到一定的限制，投資者在實(shí)際投資決策中也可能基于各方面因素的綜合考慮，常常對(duì)于資金的分配有一定的最高投資比例和最低投資比例的主觀限制。為滿足上述要求，本文建立存在投資限制條件下的加權(quán)可能性均值-方差投資模型如下：

（二）實(shí)證分析

若投資者為避免風(fēng)險(xiǎn)將其資金存入銀行的比例限制在10%-30%之間，為保證投資的分散性將每種股票的投資比例也做適當(dāng)?shù)南拗疲O(shè)投資比例的上、下界限制向量分別為：

將表2和表3中數(shù)據(jù)代入模型（10），可得到不同預(yù)期收益率下限的投資比例和風(fēng)險(xiǎn)見表6。從表6中可以看出當(dāng)預(yù)期收益率下限小于1669%時(shí)，投資者將其全部資金的30%投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)1，將167%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)2，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)3，213%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)4，452%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)5，131%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)6，1%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)7，2641%投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)8，在8種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中投資比例最大的是資產(chǎn)8，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)1、3、7只達(dá)到預(yù)先給的投資比例下限，此時(shí)投資者所有承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)為873144。在本例中投資者所能達(dá)到的最高的收益率為36561%，此時(shí)承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值為2256776。雖然在投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的樂觀程度為中性的時(shí)候，即λ=05時(shí)，8種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的加權(quán)可能性均值中有兩種資產(chǎn)：資產(chǎn)3的收益率的加權(quán)可能性均值為42686%，資產(chǎn)5的收益率的加權(quán)可能性均值為4117%，大于模型中所能達(dá)到的最大的收益率水平。但是，由于受到的投資比例的限制，無法達(dá)到更高的收益水平；同時(shí)，投資者所有承擔(dān)的最高風(fēng)險(xiǎn)值2256776，也要小于沒有投資比例限制的最高風(fēng)險(xiǎn)值3572016。

五、模型的比較分析

本文構(gòu)建的模型（9）在模型（7）的基礎(chǔ)上增加了無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，由于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率相對(duì)較低，在預(yù)期收益率下限較小的時(shí)候，投資者可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)的收益。隨著投資者預(yù)期收益率的提高，投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例在逐漸地下降，但是當(dāng)投資者的預(yù)期收益率的下限很大的時(shí)候，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例為0。模型（10）在模型（9）的基礎(chǔ)上增加了投資比例的限制。在為了保證投資的分散性，事先對(duì)每種資產(chǎn)的投資比例做了最高和最低的投資比例限制，雖然投資者在這種情況下所能達(dá)到的預(yù)期收益率水平降低了，但是其承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)的最大值也變小了。

三種模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖見圖1，從圖1中可以看出三種模型中投資者所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值都是隨著預(yù)期收益率的增加而增加；在不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型中，盡管預(yù)期收益率下限很低，小于225%，這時(shí)投資者仍要承擔(dān)較大的風(fēng)險(xiǎn)，其值為1764268；同樣對(duì)于存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)預(yù)期收益率下限水平225%，投資者所需承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)值僅為740908。因?yàn)榇藭r(shí)投資者將其全部資產(chǎn)的4809%存入銀行，這部分投資無需承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)，只有其投資于股票3的1474%、投資于股票5的2259%和投資于股票7的829%是需要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的。但是，當(dāng)預(yù)期收益率下限大于425%時(shí)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例下降為0，也就是說決策者將全部資產(chǎn)投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。此時(shí)兩種模型的預(yù)期值相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)值也相同，兩個(gè)模型的風(fēng)險(xiǎn)-收益關(guān)系圖像重合。

存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖像，位于存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型和加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)收益關(guān)系圖之間，這說明對(duì)應(yīng)于同一個(gè)預(yù)期收益率下限的值，存在投資比例限制的模型加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值，介于加權(quán)可能性均值-方差模型和存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值中間。例如當(dāng)投資者的預(yù)期收益率為275%時(shí)，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1204906，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1143266，加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值為1824404。這是因?yàn)樵诖嬖谕顿Y比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型中有30%的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中3551%的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而加權(quán)可能性均值-方差模型將全部資金投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，故其風(fēng)險(xiǎn)值最大。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型最大收益無法達(dá)到另外兩個(gè)模型同樣的42686%，其所能到達(dá)的最大值為36561%。因此，在圖1中存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型的收益-風(fēng)險(xiǎn)曲線要比另外兩條曲線短。

六、結(jié)論

本文通過在基于加權(quán)均值-方差的組合投資模型中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資比例限制的條件，使得模型更加完善、應(yīng)用過程中更加貼近實(shí)際情況。在預(yù)期收益率較低的情況下，研究表明存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型比沒有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的模型具有更小的風(fēng)險(xiǎn)。但是，當(dāng)預(yù)期收益率下限大于425%時(shí)，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例下降為0，此時(shí)兩種模型的預(yù)期值相同時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)值也相同。在同一個(gè)預(yù)期收益率下限的情況下，存在投資比例限制的模型加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值，介于加權(quán)可能性均值-方差模型和存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的加權(quán)可能性均值-方差模型的風(fēng)險(xiǎn)值中間。但是，由于受到投資比例的限制，存在投資比例限制的加權(quán)可能性均值-方差模型最大預(yù)期收益的最大值比另外兩個(gè)模型的最小。

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