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        滾動中的“秘密”

        2014-12-29 01:48:53支春竹
        初中生世界·八年級 2014年12期
        關(guān)鍵詞:圈數(shù)路程圓心

        支春竹

        問題提出:

        甲、乙兩枚大小相同的硬幣,現(xiàn)將硬幣甲固定在桌上,讓硬幣乙沿著硬幣甲的邊緣無滑動滾動一周回到原來的位置,那么滾動的硬幣乙自轉(zhuǎn)了多少圈?

        解題思路:

        我們同學(xué)拿到這樣的動態(tài)幾何題,常常不是用大腦的無限空間來思考,而是很自然地想去拿硬幣試試. 任何原理都是在實驗的基礎(chǔ)上猜想再證明得出的,這種想法是很好的,但是,大部分實驗都只是用來感受的,用來估測的,所有實驗都避免不了誤差,所以,實驗只能給你提供一個目標(biāo),并不能給你一個明晰的解答過程.

        既然是運(yùn)動的,首先是要明白物體的運(yùn)動軌跡,要學(xué)會抽象且全面地在圖形上表現(xiàn)出來. 如下圖所示,讓硬幣乙沿著硬幣甲的邊緣無滑動滾動一周回到原來的位置,就抽象成兩個相切的圓.我們要想知道轉(zhuǎn)的圈數(shù),就要知道硬幣乙的運(yùn)動路程.圓的運(yùn)動路程比較容易求出,便是圓心的運(yùn)動路程. 在圖中作出圓心的運(yùn)動軌跡.假設(shè)兩個圓的半徑都為r,由此,我們可以清晰地發(fā)現(xiàn)圓乙(即硬幣乙)的運(yùn)動路程就是以圓甲(即硬幣甲)的圓心為圓心,以2r為半徑的圓的周長,即4πr,它自身的周長是2πr. 所以一共滾了2圈.

        這種方法很容易想到,圓的運(yùn)動路程就是圓心的運(yùn)動路程是解決本題的關(guān)鍵所在. 當(dāng)然,如果覺得圖形不易理解,我們還可以趣味想象.

        我們先把這兩個圓看成兩個質(zhì)點(即兩個圓的圓心),但它們有各自的屏障,任何物體必須和它們保持r的距離,那么這兩個點距離最近為2r. 現(xiàn)在,其中一個點想360°地觀察另一個點,則它要行走4πr的路程,回歸原題,可知一共滾了2圈.

        反思總結(jié):

        這個問題的解決可以分兩步走:第一步把這個問題看作是一個平移,硬幣乙平移的路程是硬幣甲的一個周長;第二步看作硬幣乙的旋轉(zhuǎn),硬幣自轉(zhuǎn)一周的路程是硬幣乙的周長. 再用硬幣乙平移的路程除以硬幣乙的周長就是硬幣乙自轉(zhuǎn)的圈數(shù).

        實驗讓我們明確探究的方向,對問題有感性的認(rèn)識,理性的思考更會讓我們透視問題的本質(zhì),正如華羅庚所說,“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,您說是嗎?endprint

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