王璐

一、 追溯勾股定理的歷史

勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，傳統(tǒng)上認(rèn)為是由古希臘的畢達(dá)哥拉斯所證明.據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯證明了這個(gè)定理后，即殺了百頭牛來(lái)慶祝，因此又稱(chēng)“百牛定理”.在中國(guó)，《周髀算經(jīng)》也記載了勾股定理，相傳是在商代由商高發(fā)現(xiàn)，故又稱(chēng)之為商高定理.

二、 勾股定理知識(shí)概要

“直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”，這就是大名鼎鼎的勾股定理，它描述了直角三角形三邊的關(guān)系.而勾股定理的逆定理是：“若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.”它的作用是用來(lái)判斷一個(gè)三角形是否直角三角形.無(wú)論是勾股定理還是它的逆定理，都為我們更深刻地研究直角三角形作出了很大的貢獻(xiàn).

此外，掌握常用的勾股數(shù)也可以給我們的計(jì)算帶來(lái)方便.我們把滿(mǎn)足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱(chēng)為勾股數(shù)，常見(jiàn)的有：3，4，5；

6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25. 當(dāng)然我們還可以證明勾股數(shù)的整數(shù)倍數(shù)仍然是勾股數(shù).

三、 學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用勾股定理

在使用勾股定理時(shí)，首先要判斷三角形是否直角三角形，然后找出直角邊和斜邊，最后運(yùn)用勾股定理.若圖形缺少直角條件，則可以通過(guò)作垂線的方法構(gòu)造直角三角形.若不能直接運(yùn)用勾股定理求出直角三角形的邊，則可以引入未知數(shù)，建立方程求解.勾股定理主要有以下應(yīng)用：

1. 已知直角三角形兩邊，求第三邊.

2. 已知直角三角形一邊，求另兩邊的關(guān)系.

3. 探索三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系.

如圖1分別以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，半圓，等邊三角形，我們可以利用勾股定理以及面積公式證明每幅圖中三個(gè)圖形的面積之間存在著同樣的關(guān)系.

5. 求直角三角形斜邊上的高.

例 若三角形三邊長(zhǎng)分別是6，8，10，則它最長(zhǎng)邊上的高為多少？

【分析】本題首先要借助勾股定理的逆定理判斷出這是一個(gè)直角三角形，且長(zhǎng)為10的那條邊為斜邊.所以三角形的面積可以用直角邊乘積的一半求解，即面積為24. 又直角三角形還可以用一般的三角形面積公式，即邊長(zhǎng)與這條邊上的高所得積的一半.所以用斜邊乘斜邊上的高的一半也等于24，解出高的長(zhǎng)度即可.

四、 勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用

在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC.試求整個(gè)圖形的面積.

【分析】本題根據(jù)條件是可以判斷三角形ABC為直角三角形的，所以可以根據(jù)勾股定理求出AC邊的長(zhǎng)度.同時(shí)也可以求出三角形ABC的面積，但是在沒(méi)有判斷三角形ACD為直角三角形的情況下，不能直接用兩直角邊乘積的一半求其面積.

思路：根據(jù)勾股定理求出AC=5，并且求出三角形ABC面積為6，又因?yàn)槿切蜛CD中三邊長(zhǎng)為5，12，13，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形ACD為直角三角形，面積為AC與CD乘積的一半，即30，所以整個(gè)圖形的面積為36.

要想學(xué)好勾股定理，同學(xué)們一定要多總結(jié)不同題型的解法，在做題中去體會(huì)老師說(shuō)到的一些解題方法.如巧妙地設(shè)未知數(shù)可以解決一些折疊問(wèn)題或是其他無(wú)法直接求出邊長(zhǎng)的題目，方程也可以幫我們解決一些圖形問(wèn)題.

最后給同學(xué)們出一道難題：

在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理. 圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為_(kāi)_____.

答案：440.

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）