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        線性二階錐互補問題的非單調線搜索光滑算法

        2014-12-28 02:09:50趙花麗
        關鍵詞:有界二階單調

        趙花麗

        (咸陽師范學院數學與信息科學學院,陜西咸陽 712000)

        線性二階錐互補問題:求解一向量x∈Rn,使其滿足

        s=Mx+q,x ?s=0,且 x ∈ Kn,s∈ Kn。

        這里M∈ Rn×n,q∈ Rn,n維二階錐定義為:Kn

        二階錐互補問題是近十年來研究的新問題,目前利用光滑算法[1-4]來求解二階錐互補問題已成為一個研究熱點,本文在光滑算法的基礎上利用CM光滑函數提出了線性二階錐互補問題的非單調線搜索光滑算法。算法中利用非單調因子來控制搜索的非單調程度,對初始點的選取沒有任何限制,最后,給出算法的全局收斂性和局部超線性收斂性分析,并且給出數值實驗,就非單調因子對計算結果的影響進行了比較。

        1 預備知識

        對任意的向量x=(x1,x2),y=(y1,y2)∈R ×Rn-1,定義二階錐Kn上的若當積:x?y=(x,[]y,y1x2+x1y2)。

        設 λ1,λ2,u1,u2分別表示 x 的特征值和相應的特征向量,則向量x=(x1,x2)∈R×Rn-1可以表示為:x= λ1u1+ λ2u2,其中

        2 基于非單調線搜索的光滑算法

        本文中用CHKS函數

        y=x-s=(y1,y2)∈ R × Rn-1,λ1,λ2分別表示 y的最大、最小特征值,則[2]

        其中

        將線性二階錐互補問題轉化為求解下面的光滑方程組

        顯然,對任意光滑參數 μ > 0,H(x,s,μ)的雅可比矩陣 H'(x,s,μ)在任意點 (x,s,μ)都存在。

        其中Dx=I-g'(y),Ds=I+g'(y),

        Dμ=g'(y)。

        算法步驟:

        (1)令 ω =(x,s,μ)∈Rn× Rn× R+,給定初始值 ω0=(x0,s0,μ0),取常數 δ,σ ∈ (0,1),W0=‖H(ω0)‖,Q0=1。

        p=(0,0,1)∈ Rn× Rn× R,β > 1 滿足‖H(ω0)‖ ≤ βμ0,令 k=0。

        (2)如果H(ωk)=0,則算法停止。

        (3)求解牛頓方向 (Δxk,Δsk,Δμk),解線性方程組 H(ωk)+H'(ωk)Δωk=(1/β)Wkp。

        (4)確定步長rk=δlk,lk是使得關于l的不等式成立的最小非負整數,

        ‖H(ωk+ δlΔωk)‖ ≤(1- σ(1-1/β)δl)Wk。

        (5)令 ωk+1= ωk+rkΔωk,取參數

        ηk∈[0,1],Qk+1= ηkQk+1

        Wk+1=(ηkQkWk+ ‖H(ωk+1)‖/Qk+1。令k=k+1,轉步驟(2)。

        從算法很容易看出參數ηk的值控制著線搜索的非單調程度,當ηk為0時就是一般的單調Armijo線搜索。

        3 收斂性分析

        引理1 假定M是半正定矩陣,如果所有V∈?H(ω*)是非奇異的,則有:

        (1)算法所產生的序列{Wk}是單調下降的。

        (2)序列{μk}是單調下降的,并且對所有k有:μk> 0。

        證明:(1)由算法可知:

        (2)由算法可知

        所以序列{μk}是單調下降的,并且對所有 k有:μk> 0。

        引理2 假定M是半正定矩陣,如果所有V∈?H(ω*)是非奇異的,則算法產生的序列{ωk}都位于中心路徑的鄰域內,即 ‖H(xk,sk,μk)‖ ≤ βμk。

        證明:由算法知:

        因此對所有 k 有:‖H(xk,sk,μk)‖ ≤ βμk。

        引理3 假定M是半正定矩陣,如果所有V∈?H(ω*)是非奇異的,則由算法產生的序列{Wk}是收斂的且極限為W*=0。

        證明:由引理1知

        由Qk的定義有:

        又因為0<rk=δlk<1,

        定理1 假定M是半正定矩陣,如果所有V∈?H(ω*)是非奇異的,則由算法產生的序列{ωk}是有界的且序列 {(xk,sk)}的任意聚點是 SOCCP的解。

        證明:首先證明序列{ωk}是有界的。

        由引理1知:{μk}是有界的,使得 |μk|< ε。下證序列{(xk,sk)}是有界的。

        假定{(xk,sk)}是無界的,則存在子序列{(xk,sk)},使得 limk→∞‖(xk,sk)‖ = ∞。

        因為M是半正定矩陣,函數φμ是連續(xù)可微的,所以函數 H是連續(xù)可微的,所以對每個 μk有l(wèi)im‖(xk,sk)‖→∞‖H(xk,sk,μk)‖ = ∞ 。

        又由引理 2 知:‖H(xk,sk,μk)‖ ≤ βμk。

        即存在ε>0,當k充分大時有:

        ‖H(xk,sk,μk)‖ ≤ βε。

        這就產生了矛盾。所以{(xk,sk)}是有界的。因此序列{ωk}有界。

        其次我們證明{(xk,sk)}的任意聚點是SOCCP的解。

        由引理 1知序列 {Wk}是收斂的,序列{‖H(ωk)‖}是有界的。由于{ωk}是有界的,則序列{ωk}有收斂的子序列,記為{ωk}。令ω*表示子序列的極限,則

        由引理3有‖H(ω*)‖ =0,所以得證。

        定理3 (局部超線性收斂)假定M是半正定矩陣,如果所有V∈?H(ω*)是非奇異的,則{ωk}超線性收斂到ω*。即

        其證明類似于文獻[5]中的定理5,在此省略證明。

        4 數值實驗

        隨機產生一個線性二階錐互補問題進行數據實驗。在整個實驗中,取參數 σ =1.0e-4,δ=0.5,μ0=1.0e-4,初始點x0,s0的每個分量均為[-1,1]的隨機數,參數,算法的終止準則為 ‖H(x,s,μ)‖ ≤1.0e-7。在實驗中,對每組r,n分別用上述算法進行20次實驗,I表示平均迭代次數,T表示平均CPU時間,NH表示|xTs|的最大值。

        我們做了3組實驗,第一組實驗:對算法的有效性進行測試。在整個實驗中固定ηk=0.1,見表1,從數據結果來看,該算法是有效的,并且所用的CPU時間較短,迭代次數也較少。

        表1 算法的數值結果

        第二組實驗:固定n=100,r=95對算法中ηk的不同取值進行結果比較,見表2。ηk值的變化對算法所用的CPU時間和迭代次數產生很大的影響。當ηk值為0時,即算法為一般的光滑算法,采用非單調因子之后,對結果的精確程度有明顯的改進,但對速度的改進程度還依賴ηk的取值。

        表2 不同ηk的結果比較

        第三組實驗:固定n=100,r=95,在實驗過程中取ηk為(0,1)區(qū)間上的隨機數,發(fā)現(xiàn)對同樣的問題,不同次的實驗,算法所需要的迭代次數與時間差別很大,也沒有一個規(guī)律可尋。

        5 結語

        本文給出了一個非單調線搜索光滑算法,從算法的3組實驗中可以看出,采用非單調線搜索的光滑算法,對于求解線性二階錐互補問題是有效的,并且精確度也很高。非單調因子ηk的值在算法中起著非常重要的作用,因子ηk取適當的數值,非單調線搜索算法比單調線搜索算法的效果要好,那么因子ηk的取值規(guī)則,對算法進一步優(yōu)化起關鍵性作用,這也是我們下一步要研究的問題。

        [1]Fukushima M,Luo Z Q,Tseng P.Smoothing Functions for Second-order Cone Complementarity Problems[J].SIAM Journal on Optimization,2002,12:436-460.

        [2]Xiang Song Zhang,SanYang Liu,ZhenHua Liu.A Smoothing Method for Second Order Cone Complementarity Problem[J].Jurnal of Computational and Applied Mathematical,2009,228:83-91.

        [3]Huali Zhao,Hongwei Liu.Predictor Corrector Smoothing Newton Method for Solving the Second Order Cone Complementarity[J].ICICTA,2010,3:927-930.

        [4]Hua-li Zhao, Hong-wei Liu.A Predictor-corrector smoothing Newton Method for the Second-order Cone Complementarity[J].CASON,2010,1:259-262.

        [5]Qi L,Sun D,Zhou G.A New Look at Smoothing Newton Methods for Nonlinear Complementarity Problems and Box Constrained Variational Inequalities[J].Mathematical Programming,2000,87:1-35.

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