朱衛(wèi)紅 馬興瑞 韓增堯

（1 北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）（2 中國國家航天局，北京 100048）

1 引言

在航天器的發(fā)射階段，火箭的噴氣噪聲、發(fā)動機的燃燒振蕩和氣動噪聲等力學環(huán)境對航天器的設計提出了苛刻的要求。上述力學環(huán)境不僅在空間分布上高度相關、在時間分布上隨機，而且具有量級大、頻帶寬且高頻分量豐富（20 Hz～10kHz）等特點［1］。力學環(huán)境會通過器箭界面?zhèn)鬟f到航天器上，也能通過整流罩內(nèi)的噪聲環(huán)境直接作用在航天器表面［2］，從而導致有效載荷和儀器設備的損傷或失效，因此，在航天器的設計和研制過程中，力學環(huán)境預示具有非常重要的作用。然而，由于航天器的力學環(huán)境復雜，涵蓋了低頻、中頻和高頻各個頻段的載荷，僅采用一種分析工具實現(xiàn)航天器全頻域的力學環(huán)境預示幾乎是不可能的［3］。

在低頻，航天器結(jié)構(gòu)的模態(tài)稀疏，參數(shù)和邊界條件攝動引起的動力學擾動都非常小，有限元法［4］和邊界元法［5］等確定性方法都是非?？煽康念A示手段。在高頻，系統(tǒng)的模態(tài)密集，高頻響應對參數(shù)和邊界條件攝動非常敏感，此時應用統(tǒng)計方法可以很好地描述系統(tǒng)的響應，如統(tǒng)計能量分析（Statistical Energy Analysis，SEA）［6］。但是在中頻，由于航天器結(jié)構(gòu)形式、材料屬性等非常復雜，整個模型可能出現(xiàn)模態(tài)密度和剛度差異較大的情況，如航天器承力結(jié)構(gòu)剛度大、模態(tài)稀疏，而天線、太陽翼等柔性大、模態(tài)密集，因此單純依靠低頻方法和高頻方法都無法解決系統(tǒng)在中頻的力學環(huán)境預示問題，這就是所謂的“中頻問題”［7-8］。目前，還沒有一個成熟和可靠的方法能夠解決航天器中頻力學環(huán)境的預示。

本文在研究現(xiàn)有中頻力學環(huán)境預示方法的理論和應用現(xiàn)狀的基礎上，對幾類方法進行了對比分析；根據(jù)航天器工程的實際需求，提出了國內(nèi)航天器中頻力學環(huán)境預示的研究方向及應進一步解決的關鍵技術。

2 中頻力學環(huán)境預示方法

中頻力學環(huán)境預示在航天器的力學環(huán)境預示中具有重要的意義，是當前國內(nèi)外研究的難點和熱點。目前，中頻預示方法可歸納為三類［9］：①改進的確定性方法，通過提高傳統(tǒng)確定性方法的計算效率和計算精度，將低頻分析方法的適用頻段上延至中頻；②改進的統(tǒng)計能量法，通過適當放松SEA 的假設條件，將SEA 的適用頻段下延至中頻；③混合法，綜合低頻方法和高頻方法的一種方法。

2.1 改進的確定性方法

2.1.1 區(qū)域分解技術

區(qū)域分解技術［10］能夠有效地對模型進行降階，可提高低頻分析方法的頻率上限。其原理是將系統(tǒng)模型劃分為許多子模型，分別對所有子模型進行求解，通過對求解結(jié)果進行后處理，得到原模型的真實響應。這種技術特別適合于并行計算環(huán)境，典型方法有模態(tài)綜合法（CMS）［11］和自適應多級子結(jié)構(gòu)法（AMLS）［12］。CMS只進行一級劃分，這對于復雜的大尺度模型仍然無法滿足需求，而AMLS通過多級劃分可有效地解決這個問題。區(qū)域分解技術目前主要應用于復雜結(jié)構(gòu)的低頻動力學分析，如CMS 和AMLS都能與現(xiàn)有的通用商業(yè)軟件兼容。在中頻分析領域，文獻［13］和文獻［14］將CMS與SEA 結(jié)合，研究了簡單結(jié)構(gòu)的中頻預示響應，取得了理想的分析結(jié)果。文獻［15］將CMS應用到了整車的中頻力學環(huán)境預示中。隨著區(qū)域分解技術的發(fā)展，AMLS已經(jīng)在汽車領域得到了廣泛應用并成為汽車行業(yè)標準，但是該方法在航天領域中應用相對較少。文獻［16］采用AMSL 解決了大型超輕柔性航天器的動力學響應問題，計算效率遠優(yōu)于傳統(tǒng)的有限元法（FEM），但是分析頻率僅限于300 Hz以下。文獻［17］利用AMLS分析了強流固耦合結(jié)構(gòu)的自由振動，結(jié)果表明，在1200 Hz以下，AMLS都具有很高的計算效率和精度，但是其分析模型相對簡單。航天器結(jié)構(gòu)形式復雜、激勵頻帶寬，因此用區(qū)域分解技術預示航天器的中頻響應具有較大的局限性。

2.1.2 復射線變分理論

復射線變分理論（Variational Theory of Complex Rays，VTCR）是文獻［18］中提出的一種中頻預示方法。該方法采用多尺度技術［19］，首先將系統(tǒng)劃分為相似的子結(jié)構(gòu)，每個子結(jié)構(gòu)劃分為內(nèi)部、邊界和角點三個區(qū)域。每個區(qū)域中引入兩個近似尺度——慢尺度X（長波長）和快尺度Y（短波長）來描述結(jié)構(gòu)的響應。區(qū)域響應U可表示為

式中：P為局部振動模態(tài)；W為關于慢尺度的多項式；ω為圓頻率。

慢尺度通過離散求解，快尺度用解析解描述。未知數(shù)僅為需要離散的慢尺度，因此可以得到比FEM 更小、更高效的模型。邊界條件通過變分格式在每個子系統(tǒng)進行平均后近似滿足。VTCR 考慮了時間和空間尺度的有效量，而不是保留與響應相關的微小變化，解決了中、高頻響應對數(shù)據(jù)誤差十分敏感的問題，因此可以在分析中考慮不確定性對系統(tǒng)中頻響應的平均影響。目前，該方法已應用于板、聲場及組合結(jié)構(gòu)的中頻分析中［20-23］，但其應用僅限于同類結(jié)構(gòu)。

2.1.3 波基法

波基法［24］（Wave Based Method，WBM）是一種基于間接Trefftz法的中、低頻預示方法。該方法同F(xiàn)EM 相比，不需要劃分很多的單元，系統(tǒng)的響應由波函數(shù)疊加描述。由于波函數(shù)的數(shù)目少且收斂速度快，因此可用于低、中頻響應預示。WBM 首先將系統(tǒng)劃分為與頻率不相關的凸域，凸域中結(jié)構(gòu)和聲學變量分別展開成結(jié)構(gòu)波函數(shù)和聲波波函數(shù)，以及它們的特解的疊加，所有的波函數(shù)精確滿足區(qū)域控制方程。對于聲場，其聲壓響應p（r）可表示為

式中：r為場內(nèi)任意兩點的距離，?r∈Ω，Ω為凸域；a＝1，2，…，na，na為波函數(shù)的數(shù)目；φa為精確滿足聲場的區(qū)域控制方程的波函數(shù)；ca為波函數(shù)的加權(quán)系數(shù)；特解（r）由載荷的形式?jīng)Q定。

對于每個區(qū)域，WBM 通過引入殘值并用加權(quán)形式令其在邊界處為0來建立系統(tǒng)方程，最后求解得到波函數(shù)的系數(shù)，從而獲得系統(tǒng)響應。文獻［9］中同時考慮板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)運動和面外運動，應用WBM 研究了三維組合板結(jié)構(gòu)以任意角度耦合的諧振。隨后，有學者提出采用FEM 建立非凸域模型，然后與WBM耦合求解的聲振響應預示方法［25］，這種方法彌補了WBM 只能對凸域進行分析的缺陷，已應用在組合結(jié)構(gòu)和三維結(jié)構(gòu)-聲振系統(tǒng)中［26-27］。目前，WBM 處于初步研究階段，在工程上尚未應用。

2.2 改進的統(tǒng)計能量法

2.2.1 能量有限元法

能量有限元法（Energy Finite Element Method，EFEM）是改進的統(tǒng)計能量法中的一種重要方法。該方法從SEA 基本的能量平衡方程出發(fā)，建立每個子結(jié)構(gòu)能量的傳播控制方程。

式中：〈·〉為集合平均；Πin和Πdiss分別為時間和空間的輸入功率和耗散功率；?為梯度算子；I為能量強度。

子結(jié)構(gòu)間的能量傳遞通過能量傳遞系數(shù)描述，該系數(shù)一般通過半無限結(jié)構(gòu)的解析解獲得?？刂品匠讨械母黜?，由波動理論表示為圓頻率ω、波速cg、阻尼η及能量密度e的表達式。

將式（4）代入式（3），即求得能量密度，通常采用有限元格式求解。由于EFEM 對模態(tài)密度沒有要求，可解決SEA 在分析中頻問題時面臨的模態(tài)密度不足問題，且能量平衡方程建立更加嚴密，因此，EFEM 在中、高頻預示中具有很大的應用前景。文獻［28］提出應用能量流分析作為有限元分析（FEA）和SEA 的補充手段，用于中頻響應預示。文獻［29］應用EFEM 對船艦結(jié)構(gòu)進行了數(shù)值分析。文獻［30］提出了基于局部能量格式的EFEM，改進了EFEM 的分析精度，可用來分析更低頻率的響應。文獻［31］研究了復合材料的能量傳遞系數(shù)和連接矩陣，將EFEM 應用到了復合材料機身的響應分析中。EFEM 的難點在于如何建立更加復雜的能量傳遞系數(shù)和傳遞矩陣，因此將該方法應用于航天器結(jié)構(gòu)中存在一定的困難。

2.2.2 基于參數(shù)的SEA

SEA 假設子結(jié)構(gòu)的共振頻率在分析帶寬內(nèi)具有均勻分布的概率密度函數(shù)，這在高模態(tài)密度的高頻是成立的。但是，在低頻和中頻，模態(tài)密度和模態(tài)重疊因子比較低，此時將共振頻率處理為均勻分布的概率密度函數(shù)，就會得到錯誤的預示結(jié)果，因此，應當對每個模態(tài)采用不同的概率密度函數(shù)［32］。只要能將子結(jié)構(gòu)的共振頻率信息進行完善，就能向下延伸SEA 的頻率分析范圍以涵蓋中頻。根據(jù)這個理論，文獻［33-34］提出了基于參數(shù)的統(tǒng)計能量法（Parameter-based Statistical Energy Method，PSEM）。PSEM 首先對系統(tǒng)參數(shù)的變化和子系統(tǒng)固有頻率的分布函數(shù)進行了估計，對每個固有頻率采用不同的概率密度函數(shù)，因此保留了SEA 的計算效率，同時也能精確地捕捉到共振峰。然而，PSEM需要提供比SEA 更加完備的模態(tài)信息，共振頻率的概率密度獲得是該方法的難點。目前，這種方法只在簡單的一維系統(tǒng)中得到了應用。

2.3 混合法

2.3.1 有限元與能量有限元分析混合法

文獻［35］提出一種有限元與能量有限元分析（FE-EFEA）混合法，將復雜結(jié)構(gòu)分為具有高頻動力學特性的長部件和具有低頻動力學特性的短部件。其中：結(jié)構(gòu)的特征尺寸大于波長時，結(jié)構(gòu)定義為短部件；反之，定義為長部件。短部件采用確定性的FEA 建模，長部件采用能量有限元分析（EFEA）建模，兩種模型在連接處耦合。根據(jù)FEA 中位移、斜率與EFEA 中碰撞波的相互關系，建立能量在混合連接處的傳遞模型，然后根據(jù)模型建立長部件和短部件連接處的EFEA 功率傳遞系數(shù)表達式。長部件的集合平均響應和短部件的共振響應，通過求解耦合的FE-EFEA 方程獲得。文獻［36-38］針對FEEFEA 混合法，開展了大量的研究工作。文獻［39］中應用FE-EFEA 混合法，研究了點連接的梁-板系統(tǒng)的中頻響應。目前，這種混合方法僅限于桿、梁和板等簡單結(jié)構(gòu)，對于更加復雜的結(jié)構(gòu)，混合連接的建模困難，而且該方法僅考慮能量從剛性結(jié)構(gòu)單向傳遞到柔性結(jié)構(gòu)上，這也是其局限性。

2.3.2 有限元與統(tǒng)計能量分析混合法

2005年，文獻［40］中提出了基于波動理論的有限元與統(tǒng)計能量分析（FE-SEA）混合法。該方法首先將系統(tǒng)進行劃分：波長大于特征尺寸的子系統(tǒng)，劃分為確定性子系統(tǒng)，采用FEM 建模；波長小于特征尺寸的子系統(tǒng)，劃分為隨機子系統(tǒng)，采用SEA 建模。確定性子系統(tǒng)和隨機子系統(tǒng)由連接邊界上的直接場和混響場的互易關系［41］耦合，然后求解得到整體系統(tǒng)的響應。假設整個結(jié)構(gòu)由一個確定性子結(jié)構(gòu)和N個隨機子結(jié)構(gòu)連接組合而成，系統(tǒng)的確定性子結(jié)構(gòu)的自由度列向量為q（節(jié)點自由度或模態(tài)自由度），則耦合后確定性子系統(tǒng)的動力學方程可寫為［40］

式中：fext為作用在確定性子系統(tǒng)上的載荷矩陣；為第m個隨機子系統(tǒng)在混響場中的受擋混響力；Dtot可由式（6）計算。

式中：Dd為非耦合確定性子系統(tǒng)的動剛度矩陣；為第m個隨機子系統(tǒng)在直接場中的動剛度矩陣，該矩陣一般通過邊界元法求得，對于理想點連接、線連接和面連接，可由解析表達式直接求得。

因為隨機子系統(tǒng)中存在不確定性，則受擋混響力frev變?yōu)殡S機變量。系統(tǒng)的動力學方程可以進一步改寫為

式中：Sqq為位移的互譜矩陣；載荷的互譜矩陣Sff表達式為

式中：為外載荷的互譜矩陣；為第n個隨機子系統(tǒng)的受擋混響力矩陣。

文獻［41］提出了系統(tǒng)最大熵的概念，指出當系統(tǒng)存在最大熵時，系統(tǒng)具有最小的信息量，隨機邊界包含所有可能集合。此時，隨機子系統(tǒng)的混響場變?yōu)槁祉憟?，漫混響場中的受擋混響力與系統(tǒng)的不確定性因素無關，其集合平均為

式中：αm為與漫混響場能量相關的比例常數(shù)，可由式（10）計算。

式中：Em和nm分別為第m個隨機子系統(tǒng)的能量和模態(tài)密度。

式（9）和式（10）建立了隨機子系統(tǒng)和確定性子系統(tǒng)的聯(lián)系。求解時，首先建立隨機子系統(tǒng)的能量方程；然后由隨機子系統(tǒng)的能量獲得受擋混響力，代入確定性子系統(tǒng)的方程，可獲得確定性子系統(tǒng)的響應。在FE-SEA 混合法中，只有隨機子系統(tǒng)含有不確定性，但是可以通過參數(shù)將不確定性引入到確定性子系統(tǒng)中［42］。

目前，法國ESI集團發(fā)布的商業(yè)軟件VA One已經(jīng)實現(xiàn)了基于波動理論的FE-SEA 混合法［43］。國外航天領域在FE-SEA 混合法上做了大量的應用研究和試驗驗證工作。文獻［44］針對“先進通信技術衛(wèi)星”（ACTS）的數(shù)傳天線在聲載激勵下的響應問題，分別采用FE-SEA 混合法、有限元／邊界元法以及SEA 進行了分析，其中混合法的分析上限為600Hz。分析結(jié)果表明：FE-SEA 混合法在600 Hz以下與試驗結(jié)果吻合，精度與有限元／邊界元法接近，但是計算效率遠高于后者。文獻［45］應用FESEA 混合法對“云霧激光雷達和紅外導引衛(wèi)星”（CALIPSO）在聲載下的隨機響應進行了分析，衛(wèi)星主結(jié)構(gòu)用FEM 建模，太陽翼和聲場用SEA 建模。分析結(jié)果表明：在1000Hz以下，F(xiàn)E-SEA 混合法與試驗結(jié)果相吻合。文獻［46］采用FE-SEA 混合法對火箭級間結(jié)構(gòu)建模，其中滾動控制系統(tǒng)部分采用精細的有限元模型，柱外殼和滾動控制系統(tǒng)的外罩采用SEA 子系統(tǒng)，獲得的分析結(jié)果相對于SEA 的結(jié)果出現(xiàn)了明顯的響應振蕩。文獻［47］分別采用FE-SEA 混合法、SEA 和耦合有限元／邊界元法，研究了收攏狀態(tài)太陽翼在混響聲激勵作用下的響應問題。研究表明：FE-SEA 混合法可以得到SEA 無法獲得的響應振蕩，同時分析效率遠優(yōu)于耦合有限元／邊界元法。我國航天領域在FE-SEA 混合法的理論和應用上也做了一些相關的研究工作。文獻［48］采用VA One軟件的FE-SEA 混合法，對某衛(wèi)星天線在混響聲場中的響應進行了分析。分析結(jié)果表明：在天線邊緣處與試驗結(jié)果的量級基本一致，但在壓緊座處差異較大。文獻［49］系統(tǒng)地整理了基于波動理論的FE-SEA 混合法的基本理論，完善了隨機子系統(tǒng)能量平衡方程的表達式，拓寬了這種方法的應用范圍，同時也研究了理想點連接的建模方法，并利用板-梁組合結(jié)構(gòu)開展了數(shù)值仿真驗證和試驗驗證，取得非常好的驗證結(jié)果。

2.3.3 波基法與統(tǒng)計能量分析混合法

文獻［50］借鑒FE-SEA 混合法的基本理論，提出了波基法與統(tǒng)計能量分析（WBM-SEA）混合法，并應用該方法研究了板-聲場耦合系統(tǒng)的中頻響應，結(jié)果與FE-SEA 混合法相吻合。在WBM-SEA 混合法中，確定性子系統(tǒng)采用WBM 建模，隨機子系統(tǒng)應用SEA 建模，兩種子系統(tǒng)通過連接界面處的互易關系耦合。求解時，首先由SEA 的功率平衡方程求得隨機子系統(tǒng)的響應；然后通過互易原理求得受擋混響力；最后將受擋混響力代入耦合方程，求得確定性子系統(tǒng)的響應。理論上，WBM 比FEM 具有更高的計算效率和分析頻限，因此，WBM-SEA 混合法的效率優(yōu)于FE-SEA 混合法的效率。目前，WBMSEA 混合法尚處于初步研究階段，不具備工程應用能力。

3 中頻預示方法分析

改進的確定性方法通過改進傳統(tǒng)低頻方法的計算效率和收斂速度，將分析頻率上限提高至中頻。這類方法的分析模型獲得相對容易，可利用有限元、邊界元模型，模型的物理意義清晰。但是，改進的確定性方法本質(zhì)上是一種確定性分析方法，無法考慮參數(shù)和邊界條件攝動對中頻響應的影響，雖然可以用蒙特卡洛（Monte Carlo）仿真或隨機過程對這種影響進行估計，但是計算量大，不適合工程應用。此外，這類方法在分析復雜模型時比較困難，如區(qū)域分解技術在處理復雜工程問題時的頻率范圍仍有一定限制，VTCR 只能應用于簡單的同類子結(jié)構(gòu)，而WBM 只能應用于凸域。因此，采用改進的確定性方法對航天器結(jié)構(gòu)進行中頻預示存在一定的困難。

改進的統(tǒng)計能量法主要是改進傳統(tǒng)的高頻SEA，通過適當放松SEA 的基本假設，降低其分析頻率下限，以涵蓋中頻。這類方法建模簡單，分析效率高，能夠與現(xiàn)有的高頻方法兼容。但是，該方法要提供比SEA 更詳細的模型信息，如PSEM 須提供模態(tài)概率密度函數(shù)，同時，對于更加復雜的結(jié)構(gòu)形式，建模面臨巨大的困難，如EFEM 對于復雜連接建模非常困難：上述因素限制了這類方法在航天器中頻預示中的應用。

混合法根據(jù)中頻動力學響應兼有高頻和低頻動力學特性的特點，對響應的高頻行為和低頻行為分別進行建模，最后耦合求解獲得整個結(jié)構(gòu)的中頻動力學響應。這類方法符合中頻動力學的特點，同時，由于在高頻建模中已經(jīng)考慮了不確定性因素的影響，不需要額外的不確定性分析，因此比較適合于工程應用。從近十年的研究和工程應用來看，混合法已成為中頻力學環(huán)境預示方法發(fā)展的趨勢，具有很好的工程應用潛力。目前，基于波動理論的FESEA 混合法代表了中頻預示的最新研究成果，國外航天領域一直在參與應用研究與相關的試驗驗證工作，是一種比較理想的航天器中頻力學環(huán)境預示方法。該方法適用范圍廣，與現(xiàn)有的低頻和高頻分析方法都能很好地兼容；能滿足能量的雙向傳遞，更加符合實際的能量傳遞情況，而其他混合法大多只能考慮能量的單向流動（如FE-EFEM 混合法中能量僅能從剛性結(jié)構(gòu)傳遞到柔性結(jié)構(gòu)上）。不過，該方法子系統(tǒng)的劃分是根據(jù)結(jié)構(gòu)特性，這與工程實際中采用基于部件子結(jié)構(gòu)的劃分是不同的，同時，對兩類子系統(tǒng)的連接進行建模及載荷的施加等，都是要解決的技術難題。

綜上所述，改進的確定性方法和改進的統(tǒng)計能量法由于理論本身的原因，在航天器工程中的應用具有一定的局限性，目前尚未有這兩類方法用于航天器中頻預示的文獻?；诓▌永碚摰腇E-SEA混合法，在理論上更加符合中頻力學環(huán)境的特點，而且FEM 和SEA 也是目前工程中應用非常成熟的方法，這也為FE-SEA 混合法的工程應用奠定了基礎；同時，國外航空航天領域在該方法上做了大量的研究和試驗工作，具有一定的借鑒作用。因此，F(xiàn)ESEA 混合法可作為航天器中頻力學環(huán)境預示研究的主要方向。

4 啟示與建議

航天器中頻力學環(huán)境預示是航天器力學環(huán)境預示的難點，開展我國航天器中頻力學環(huán)境預示研究具有重要的意義。我國航天工業(yè)部門在“十一五”初期啟動FE-SEA 混合法的理論和應用研究，目前已經(jīng)完成了相關的理論推導、點連接的建模與驗證工作，但是將FE-SEA 混合法應用于我國的航天器工程還要開展大量的研究工作。根據(jù)目前國內(nèi)的研究和未來的航天器工程需求，同時結(jié)合國外的研究現(xiàn)狀，建議從以下幾個方面開展深入研究。

（1）基礎理論研究：國內(nèi)FE-SEA 混合法研究起步晚，基礎理論缺乏，其建模理論和分析原理尚未掌握。因此，國內(nèi)應當從基礎理論出發(fā)，通過扎實的基礎理論研究為FE-SEA 混合法在航天器中頻力學環(huán)境預示中的應用打好堅實的基礎。

（2）在工程應用中要解決的技術難關：FE-SEA混合法是一種典型的中頻預示方法，但是目前國內(nèi)外沒有一個界定標準能夠區(qū)分低頻、中頻和高頻，因此該方法的適用性和有效范圍是其應用的技術難點；同時，應根據(jù)具體的航天器任務，解決模型載荷加載、混合模型建模等關鍵技術問題。

（3）試驗驗證：國外航天領域針對FE-SEA 混合法已經(jīng)開展了相關的理論和應用驗證，積累了大量的試驗數(shù)據(jù)和經(jīng)驗；國內(nèi)目前針對該方法可靠性的驗證工作尚未展開，因此，在開展理論研究的同時，應同時開展大量的試驗驗證工作。

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