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        高超聲速導(dǎo)彈近最優(yōu)中制導(dǎo)律

        2014-12-25 09:20:26喬清青陳萬春
        飛行力學(xué) 2014年1期
        關(guān)鍵詞:降階邊界層超聲速

        喬清青,陳萬春

        (北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)

        0 引言

        高超聲速導(dǎo)彈由于具有飛行高度高、速度快、機(jī)動(dòng)性好等特點(diǎn),能有效縮短對(duì)目標(biāo)的反應(yīng)時(shí)間,具有較高的突防成功率[1]。高超聲速導(dǎo)彈飛行距離較遠(yuǎn),需要一種中制導(dǎo)律將導(dǎo)彈導(dǎo)引至目標(biāo)附近,為末端作戰(zhàn)保存能量,滿足各種約束條件,并完成中末制導(dǎo)的平滑交接班。

        導(dǎo)彈的中制導(dǎo)問題可歸結(jié)為一個(gè)非線性兩點(diǎn)邊值問題。由于導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的高度非線性,兩點(diǎn)邊值問題無法求出解析解。奇異攝動(dòng)是解決復(fù)雜非線性最優(yōu)控制問題的一種經(jīng)典方法,通過抑制動(dòng)力學(xué)方程中的小參數(shù)使系統(tǒng)階數(shù)降低,可容易地獲得相應(yīng)的降階解,再計(jì)算小參數(shù)獲得邊界層解,以修正降階解。使用奇異攝動(dòng)可得到性能較理想的近似解,并可根據(jù)需要獲得開環(huán)或閉環(huán)解。奇異攝動(dòng)方法在航空航天領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。由于飛行器動(dòng)力學(xué)方程中小參數(shù)不明顯,因此通常使用“強(qiáng)迫奇異攝動(dòng)”方法,即先根據(jù)估算的各變量的時(shí)間常數(shù)以及應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)區(qū)分變化快慢不同的變量,再在快變量前插入小參數(shù)ε(0<ε<1)構(gòu)成奇異攝動(dòng)系統(tǒng)。令小參數(shù)為零,即假設(shè)較快變量能在瞬間達(dá)到平衡,從而使系統(tǒng)階數(shù)降低,并求解出降階解,然后通過邊界層修正計(jì)算考慮被忽略的快變量及其邊界條件。用奇異攝動(dòng)方法求解飛行器制導(dǎo)非線性兩點(diǎn)邊值問題,可獲得算法較簡單,并可在彈上實(shí)時(shí)解算的近最優(yōu)制導(dǎo)律[2-3]。

        文獻(xiàn)[4]針對(duì)超聲速飛行器的最大航程滑行問題,將動(dòng)力學(xué)方程分成三個(gè)層次,用奇異攝動(dòng)方法求解了一種最大航程閉環(huán)導(dǎo)引律。文獻(xiàn)[5]考慮了球形地球上的飛行器質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,推導(dǎo)了奇異攝動(dòng)最大航程制導(dǎo)律,給出了該算法與用序列二次規(guī)劃(SQP)算法解算出的最優(yōu)彈道和熱流率曲線。無熱流約束的彈道均為跳躍-滑翔式彈道,飛行中產(chǎn)生的熱流率也較大。

        針對(duì)上述問題,本文利用文獻(xiàn)[6]中的高超聲速飛行器的氣動(dòng)模型,用奇異攝動(dòng)和動(dòng)態(tài)逆方法為高超聲速導(dǎo)彈推導(dǎo)了一種使熱流率較低的最大末速中制導(dǎo)律。

        1 導(dǎo)彈質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型

        式中,r,h,E,γ,m,n 和 R0分別為航程、高度、比能、彈道傾角、質(zhì)量、過載和地球平均半徑。問題的初始條件為:

        式中,CD0和CDt分別為零升阻力系數(shù)和升致阻力系數(shù)。動(dòng)壓定義為q=ρV2/2。各氣動(dòng)力系數(shù)見文獻(xiàn)[4]。導(dǎo)彈迎角為:

        式中,m,g,S分別為導(dǎo)彈的質(zhì)量、當(dāng)?shù)刂亓铀俣群蛥⒖济娣e,“~”表示變量的實(shí)際值。

        令導(dǎo)彈飛行時(shí)產(chǎn)生的最大熱流率為:

        式中,熱流率單位為W/cm2。

        文獻(xiàn)[6]用奇異攝動(dòng)方法為高超聲速飛行器推導(dǎo)了一種最遠(yuǎn)航程制導(dǎo)律,并用其與配點(diǎn)法和SQP方法解算出的最優(yōu)彈道進(jìn)行比較,證明了高超聲速導(dǎo)彈的無約束彈道為跳躍-滑翔彈道。當(dāng)導(dǎo)彈飛行至較高高度時(shí),指令過載很小,甚至趨近于0。跳躍式彈道可很好地為導(dǎo)彈保存能量,但產(chǎn)生的熱流率較大,不適于工程實(shí)際應(yīng)用。

        根據(jù)文獻(xiàn)[7]中的結(jié)論,要減小熱流率,就應(yīng)使飛行彈道盡量平滑。用一些尋優(yōu)方法,經(jīng)過反復(fù)迭代運(yùn)算可以得到較理想的結(jié)果,但其所需運(yùn)算時(shí)間長,無法在飛行器上實(shí)時(shí)進(jìn)行。另外,目標(biāo)的運(yùn)動(dòng),以及導(dǎo)彈在實(shí)際飛行中受到的各種干擾,均會(huì)導(dǎo)致飛行狀態(tài)發(fā)生改變,從而無法滿足跟蹤最優(yōu)值所需的條件。

        2 奇異攝動(dòng)中制導(dǎo)律

        由于高超聲速導(dǎo)彈飛行時(shí)間較長,需要在中制導(dǎo)段盡量保存能量,以保證末端攔截有足夠的能量。問題變成使微分方程式(1)~式(4)所描述的系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到預(yù)測攔截點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系中的末端位置(rf,hf),使得末端比能最大。假設(shè)目標(biāo)以當(dāng)前速度作勻速直線運(yùn)動(dòng),則經(jīng)過剩余飛行時(shí)間tgo后,其所處位置作為預(yù)測攔截點(diǎn)。剩余飛行時(shí)間估算如下:

        式中,Rtm為導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離;Vc為接近速度;a為導(dǎo)彈沿視線方向的平均加速度,認(rèn)為與導(dǎo)彈軸向加速度相等。

        用文獻(xiàn)[8]中介紹的方法估算各狀態(tài)變量的時(shí)間常數(shù)。根據(jù)其大小可將變量分成:慢變量(r,E)、中間變量h和快變量γ。在中間變量和快變量前分別插入小參數(shù) ε1(0<ε1<1)和 ε2(0<ε2<1),可得到導(dǎo)彈的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)奇異攝動(dòng)模型為:

        為使末端速度最大,可令性能指標(biāo)為:J=-Ef。

        2.1 降階系統(tǒng)

        最慢變量構(gòu)成了降階系統(tǒng),由降階系統(tǒng)求解出的解稱為外解。令ε1=ε2=0,得到γ=0,n=1-V2/(R0+h)。帶入式(7)~式(10),得到降階系統(tǒng)為:,其中:D=D0+K[1-V2/(R0+h)]2/q;高度h為零階系統(tǒng)的控制量。Hamilton函數(shù)寫成:H=λrVR0/(R0+h)-λEDV。由伴隨方程,可知 λr為常數(shù)。由橫截條件 λE(tf)= -1和H(tf)=0,得:

        系統(tǒng)中各變量與時(shí)間無關(guān),因此H(t)=0,可求得:

        由控制方程?H/?h=0,帶入式(11)和式(12)可得:

        式(13)為h和E的隱函數(shù)。為加快彈上運(yùn)算速度,可先將不同比能下的?D/?h與高度h的關(guān)系列成表格,這樣通過插值即可求出與某指定能量下對(duì)應(yīng)的最優(yōu)高度h*。根據(jù)第1節(jié)中導(dǎo)彈氣動(dòng)力系數(shù),計(jì)算出的比能與降階最優(yōu)高度關(guān)系如圖1所示。

        圖1 降階系統(tǒng)最優(yōu)高度與比能的關(guān)系Fig.1 Relationship between reduced order optimal altitude and specific energy

        本節(jié)中的V,D,h均為降階值,下文中用上標(biāo)“o”表示外解中的變量。降階系統(tǒng)中忽略了高度變量的邊界值。為使導(dǎo)彈能夠達(dá)到預(yù)定位置,對(duì)降階最優(yōu)高度作如下修正:

        式中,kh為待選系數(shù);rtm為兩者之間的水平距離。

        2.2 第一邊界層

        在飛行器質(zhì)量不變和一定速度條件下,飛行器受到的零升阻力隨海拔高度的增加而減小,由相同過載產(chǎn)生的阻力隨海拔高度的增加而增加。因此,當(dāng)指令過載不為0時(shí),存在一個(gè)使阻力達(dá)到極小值的高度。

        從物理上看,式(13)的意義在于:在某能量狀態(tài)下,在降階最優(yōu)高度上作水平飛行時(shí),飛行器受到的阻力最小。為得到一較平滑的彈道,邊界層修正得到的系統(tǒng)控制量應(yīng)使導(dǎo)彈能在降階最優(yōu)高度上飛行。

        令 ε1=1,ε2=0,則 n=cos γ[1 - V2/(R0+h)],得到的第一邊界層動(dòng)態(tài)由高度動(dòng)力學(xué)方程決定。該層的控制量為彈道傾角γ。用動(dòng)態(tài)逆方法對(duì)該層進(jìn)行求解,第一邊界層的系統(tǒng)方程和輸出方程為:

        該系統(tǒng)并非仿射非線性系統(tǒng),因此將控制量改設(shè)為:

        式中,ωh為待定系數(shù)。系統(tǒng)的控制為:

        將式(14)帶入,整理后可得到期望彈道傾角的表達(dá)式為:

        對(duì)導(dǎo)彈系統(tǒng)的時(shí)間尺度分析可知,速度和高度變量在相同的時(shí)間尺度上,因此該層中的速度變量可看作當(dāng)前導(dǎo)彈速度V??疾焓?15)所示的一階系統(tǒng),其性能主要取決于h的時(shí)間常數(shù)。

        下文中用上標(biāo)“i1”表示第一邊界層中的變量。該層計(jì)算中忽略了控制量彈道傾角的邊界條件。為了使導(dǎo)彈在中制導(dǎo)末端,導(dǎo)引頭能夠順利截獲目標(biāo),需對(duì)最優(yōu)進(jìn)行修正:

        其中:

        2.3 第二邊界層

        令ε1=ε2=1,可得到第二邊界層動(dòng)力學(xué)方程,為系統(tǒng)方程完整形式。其控制變量為指令過載n。第二邊界層系統(tǒng)動(dòng)態(tài)主要由γ的動(dòng)力學(xué)方程決定,控制量為n。其系統(tǒng)方程和輸出方程為:

        第二邊界層系統(tǒng)為原系統(tǒng)中最快的一層,認(rèn)為其中的變量均可取為當(dāng)前值??煽闯觯鲜剿鞠到y(tǒng)是一個(gè)仿射非線性系統(tǒng),可直接構(gòu)造逆系統(tǒng)并求解控制律。求得控制量為:

        式中,ωγ為待定系數(shù)。

        2.4 中制導(dǎo)算法

        通過式(13)得到降階最優(yōu)后,用式(16)和式(17)即可計(jì)算得到導(dǎo)彈的指令過載。

        根據(jù)動(dòng)態(tài)逆理論,式(16)和式(17)中的待定系數(shù)ωh和ωγ應(yīng)分別為高度變量和彈道傾角變量的時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。用文獻(xiàn)[4]介紹的方法可估算變量的時(shí)間常數(shù),但該方法依賴人工選取的典型值,因此估算出的時(shí)間常數(shù)在某區(qū)間內(nèi)均可取值。文獻(xiàn)[9]中介紹了如何根據(jù)二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析方法選取合適的時(shí)間常數(shù)值的方法,然而由于高超聲速導(dǎo)彈飛行速度快,可達(dá)到很高的高度,導(dǎo)致其受到的阻力對(duì)指令過載的變化相當(dāng)敏感。因此,當(dāng)導(dǎo)彈處于很大的高度時(shí),其指令過載趨近于0,這樣才不會(huì)使飛行器能量迅速損失。

        對(duì)于本文中的例子,導(dǎo)彈在初始一段時(shí)間內(nèi)從較大的高度下落,需對(duì)初始下降段的降階最優(yōu)高度和第一邊界層最優(yōu)彈道傾角進(jìn)行修正:當(dāng)h=92 008 m時(shí),將導(dǎo)彈以當(dāng)前狀態(tài)作自由下落的彈道高度作為降階最優(yōu)高度;將導(dǎo)彈以當(dāng)前狀態(tài)作自由下落的彈道傾角作為第一邊界層最優(yōu)彈道傾角,以保證導(dǎo)彈在最初下落段指令過載趨近于0。

        3 仿真算例

        本文用Matlab軟件對(duì)制導(dǎo)律進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。導(dǎo)彈的初始狀態(tài)為:r0=0 m,h0=112 080 m,V0=5164.9 m/s。設(shè)目標(biāo)初始狀態(tài) ht(t0)=10 km,rt(t0)=5 500 km。目標(biāo)以Ma=2的速度向?qū)椨鎰蛩俚雀唢w行。仿真過程中,令迎角α≤25°,導(dǎo)彈和目標(biāo)的距離小于等于10 km時(shí)進(jìn)入末制導(dǎo),仿真結(jié)束。仿真結(jié)果見圖2~圖8。

        圖2為導(dǎo)彈和目標(biāo)彈道,可見該制導(dǎo)律可將導(dǎo)彈導(dǎo)引至目標(biāo)附近。

        圖2 導(dǎo)彈和目標(biāo)彈道曲線Fig.2 Trajectories of missile and target curve

        圖3 和圖4分別為高度和彈道傾角曲線。可以看出,基于動(dòng)態(tài)逆的奇異攝動(dòng)制導(dǎo)律的本質(zhì)是使導(dǎo)彈跟隨降階的最優(yōu)值。

        圖5為比能曲線。可以看出,在下落段,導(dǎo)彈能量幾乎沒有損失;在平穩(wěn)飛行段,能量亦平穩(wěn)減小,能夠較好地為末端攔截保存能量。

        圖3 高度曲線Fig.3 Altitude curve

        圖4 彈道傾角曲線Fig.4 Flight path angle curve

        圖5 比能曲線Fig.5 Specific energy curve

        圖6 為指令過載曲線。可以看出,在導(dǎo)彈下落的初始段,指令過載趨近于0,使該段能量損失減少到最小。

        圖6 指令過載曲線Fig.6 Command overload curve

        仿真算例中,用迎角作為導(dǎo)彈的控制量。由圖7所示的迎角曲線可看出,在短暫的自由下落結(jié)束后,迎角立即增大到最大值,以產(chǎn)生足夠的過載使導(dǎo)彈高度調(diào)整至降階最優(yōu)高度位置。

        圖7 迎角曲線Fig.7 Angle of attack curve

        導(dǎo)彈沿降階最優(yōu)高度飛行,形成了平滑的彈道,使大部分飛行時(shí)間內(nèi)由圖8所示的熱流率曲線沒有發(fā)生大的變化。在彈道末端,由于調(diào)整導(dǎo)彈飛行至目標(biāo)附近,產(chǎn)生了較大的指令過載,熱流率也有所上升。整個(gè)中制導(dǎo)段,最大熱流率為551.02 W/cm2,大大低于跳躍-滑翔彈道的最大熱流率值。通過調(diào)整動(dòng)態(tài)逆控制器中的系數(shù)ωh和ωγ,可獲得更小的最大熱流率,以達(dá)到工程應(yīng)用的要求。

        圖8 最大熱流率曲線Fig.8 Maximum heating rate

        4 結(jié)束語

        本文針對(duì)高超聲速導(dǎo)彈的無約束中制導(dǎo)彈道產(chǎn)生熱流率過大的問題,用奇異攝動(dòng)和動(dòng)態(tài)逆方法推導(dǎo)了一種最大末速中制導(dǎo)律。用動(dòng)態(tài)逆方法跟蹤由降階系統(tǒng)計(jì)算得出的最優(yōu)高度和由第一邊界層系統(tǒng)計(jì)算得出的最優(yōu)彈道傾角,得到了一個(gè)閉環(huán)近最優(yōu)中制導(dǎo)律。仿真結(jié)果可見,本文推導(dǎo)的中制導(dǎo)律除可將導(dǎo)彈導(dǎo)引至目標(biāo)附近,并為末端攔截保存能量外,產(chǎn)生了占中制導(dǎo)絕大部分時(shí)間的平滑彈道,使熱流率曲線在該段時(shí)間內(nèi)沒有突變,并且與無熱流約束的最優(yōu)滑行彈道相比,雖然保存能量能力稍弱,但大大減小了最大熱流率,符合工程應(yīng)用的要求。

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