陳歡，劉蛟龍，尉建利，于云峰

(1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，陜西西安710072;2.北京航天自動控制研究所系統(tǒng)理論與仿真技術(shù)研究室，北京100854)

0 引言

導(dǎo)彈制導(dǎo)精度是導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的重要戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)之一，提高導(dǎo)彈的制導(dǎo)精度不但可以有效地增強(qiáng)導(dǎo)彈攻擊效率，而且可以減輕導(dǎo)彈重量、提高導(dǎo)彈機(jī)動能力和突防能力［1-2］。

在實(shí)際應(yīng)用過程中，經(jīng)典比例導(dǎo)引律和增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律使用最為廣泛。經(jīng)典比例導(dǎo)引律沒有考慮制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)滯后和目標(biāo)機(jī)動的情況［3-4］;增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律考慮了目標(biāo)機(jī)動情況，并對其進(jìn)行了一定程度的有效補(bǔ)償。目前，基于二次型性能指標(biāo)的一階最優(yōu)制導(dǎo)律的研究已經(jīng)非常成熟［5］，不同于經(jīng)典比例導(dǎo)引律，該制導(dǎo)律對目標(biāo)的機(jī)動和導(dǎo)彈指令響應(yīng)動力學(xué)滯后進(jìn)行了一定程度的補(bǔ)償［6］，制導(dǎo)性能相對于比例導(dǎo)引律有了較大程度的提高。文獻(xiàn)［4，6-7］分別從不同的角度給出了基于最優(yōu)控制理論的一階最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)過程，并通過仿真分析表明了其優(yōu)越性。文獻(xiàn)［3，5，8］已經(jīng)考慮到了制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)階數(shù)對制導(dǎo)精度的影響。文獻(xiàn)［3］分析了制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)對制導(dǎo)系統(tǒng)的影響，并給出了相應(yīng)的仿真結(jié)果;文獻(xiàn)［5］重點(diǎn)對三階和四階制導(dǎo)系統(tǒng)最優(yōu)制導(dǎo)律的形式、增益獲取途徑和仿真應(yīng)用進(jìn)行了理論研究。但總的來說，隨著測量狀態(tài)的增加和測量精度的提高，研究高階最優(yōu)制導(dǎo)律成為一種必然趨勢［5］。

本文基于文獻(xiàn)［2-3］中的典型五階制導(dǎo)系統(tǒng)模型，提出了一種高階最優(yōu)制導(dǎo)律，并給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過程。通過與增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律和一階最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行比較，表明了所提出的制導(dǎo)律的優(yōu)越性。

1 模型的建立

1.1 彈-目之間簡化二維數(shù)學(xué)模型的建立

圖1為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的二維線性化運(yùn)動模型。在該簡化模型中，x為視線的基準(zhǔn)方向;MT表示目標(biāo)瞄準(zhǔn)線;M為攔截導(dǎo)彈，T為目標(biāo)，二者的速度分別為VM和VT，加速度分別為nL和nT。

圖1 彈-目簡化二維數(shù)學(xué)模型Fig.1 Two-dimensional missile-target engagement geometry

導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對加速度可以表示為:

一般β和λ都很小，因此上式可以近似為:

同樣，利用小角度假設(shè)，導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對距離y可以近似表示為:

在線性分析中，假設(shè)接近速度VC為常值，因此有:

式中，R為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對距離;λ為目標(biāo)視線角;tF為末制導(dǎo)時間。式(2)和式(5)組成了導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動方程。

1.2 考慮動力學(xué)滯后的制導(dǎo)系統(tǒng)模型的建立

本文介紹的最優(yōu)制導(dǎo)律為基于考慮五階動力學(xué)滯后的制導(dǎo)系統(tǒng)。根據(jù)文獻(xiàn)［2-3］中的介紹，此處將導(dǎo)引頭、噪聲濾波器等效為二階動力學(xué)環(huán)節(jié)。將飛控系統(tǒng)等效為典型的三階動力學(xué)滯后環(huán)節(jié)，即:

式中，nC為指令加速度;T為等效彈體時間常數(shù)。由以上數(shù)學(xué)模型，可得相應(yīng)的導(dǎo)彈與目標(biāo)制導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。

圖2 考慮五階動力學(xué)滯后的制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Fifth-order binomial guidance system

2 五階最優(yōu)制導(dǎo)律理論推導(dǎo)

2.1 最優(yōu)制導(dǎo)律推導(dǎo)過程

制導(dǎo)系統(tǒng)模型如圖2所示，系統(tǒng)狀態(tài)方程可表示為:

即:

式中，F(xiàn)為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣;G為輸入控制矩陣。該狀態(tài)空間向量方程在末制導(dǎo)時刻的解為:

根據(jù)式(10)可得到表征導(dǎo)彈與目標(biāo)碰撞時刻脫靶量y(tF)的表達(dá)式，簡化表述如下:

考慮到現(xiàn)代反導(dǎo)戰(zhàn)爭中目標(biāo)的大機(jī)動飛行對導(dǎo)彈的需用過載要求不斷提高，高精度制導(dǎo)對導(dǎo)彈脫靶量也有很高的要求，設(shè)計制導(dǎo)律的首要考慮就是實(shí)現(xiàn)脫靶量為零，其次就是使用最少的燃料來實(shí)現(xiàn)第一個要求。

對于大氣層外飛行的導(dǎo)彈，通過側(cè)向發(fā)動機(jī)來實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈的機(jī)動運(yùn)動，此時導(dǎo)彈需要充足的燃料來實(shí)現(xiàn)機(jī)動，進(jìn)而控制導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)大氣層外的高精度攔截。通常情況下，用側(cè)向轉(zhuǎn)移速度ΔV來衡量導(dǎo)彈機(jī)動過程所需燃料的多少，ΔV又可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為指令加速度:

由此可見，對達(dá)到零脫靶量使用燃料最少的限制，可歸結(jié)為對攔截彈需用過載的限制。由于積分在數(shù)學(xué)運(yùn)算上比較復(fù)雜，一般情況下選取對nC的平方進(jìn)行積分來代替直接求取ΔV。綜上，本文選取以 達(dá)到最小為約束條件來實(shí)現(xiàn)零脫靶量，即受限于最小的

當(dāng)y(tF)=0時，由式(12)得:

由Schwartz不等式可得:

即:

根據(jù)Schwartz不等式的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)nC(t)=kph2(t－t)時，等號成立，即取最小值。此

F時下式成立:

令x=tgo=tF－t，tgo表示剩余飛行時間。易求得:

將式(19)～式(21)帶入式(18)，即可得到考慮動力學(xué)滯后的最優(yōu)制導(dǎo)律為:

2.2 最優(yōu)制導(dǎo)律簡化分析

根據(jù)式(22)和式(23)可知，如果只考慮一階動力學(xué)滯后環(huán)節(jié)，即 x4=x5=0，且，此時五階最優(yōu)制導(dǎo)律可簡化為考慮一階動力學(xué)環(huán)節(jié)的最優(yōu)制導(dǎo)律，即:

如果不考慮高階系統(tǒng)動力學(xué)滯后，認(rèn)為制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)速率可以無限快，即視等效彈體時間常數(shù)T無限趨近于零，那么有q→∞。此時，由式(22)和式(23)可得 N'→3，且

由此可見，考慮高階系統(tǒng)動力學(xué)滯后環(huán)節(jié)得到的最優(yōu)制導(dǎo)律式(22)退化為不考慮動力學(xué)滯后的經(jīng)典的增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律。此時如果目標(biāo)不進(jìn)行任何形式的機(jī)動，最優(yōu)制導(dǎo)律就是有效導(dǎo)航比為3的經(jīng)典比例導(dǎo)引律。

2.3 剩余飛行時間估算改進(jìn)

末制導(dǎo)過程中剩余飛行時間估計誤差較大，會導(dǎo)致制導(dǎo)精度嚴(yán)重降低，甚至?xí)斐蓪?dǎo)彈脫靶。文獻(xiàn)［9-10］中給出一種常見的補(bǔ)償后剩余飛行時間的方法。由式(23)可知，剩余飛行時間直接影響到有效導(dǎo)航比N'，本文越過對剩余飛行時間的補(bǔ)償而直接補(bǔ)償有效導(dǎo)航比N'，通過反復(fù)驗(yàn)證，得到不同補(bǔ)償值情況下脫靶量y(tF)的大小，如表1所示。

表1 不同補(bǔ)償值情況下脫靶量的大小Table 1 Miss distance of different compensation cases

根據(jù)表1，為實(shí)現(xiàn)高精度制導(dǎo)，取N^'=N'+1，N^'為補(bǔ)償后的有效導(dǎo)航比。

3 仿真結(jié)果及分析

本文仿真過程中考慮了對攔截彈過載能力的限制，在圖2的基礎(chǔ)上對基本制導(dǎo)回路引入過載飽和使之變成非線性制導(dǎo)系統(tǒng)。

仿真初始條件:末制導(dǎo)飛行時間tF=10 s，彈目接近速度VC=1 220 m/s，等效彈體時間常數(shù)T=1 s，目標(biāo)機(jī)動過載nT=6，最大可用過載nCmax=6，9。

圖3～圖8分別為增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律(APN)和一階最優(yōu)制導(dǎo)律(OPG1)在最大可用過載nCmax分別為6和9時與五階最優(yōu)制導(dǎo)律(OPG5)關(guān)于脫靶量和側(cè)向轉(zhuǎn)移速度的對比曲線。圖中，APN取有效導(dǎo)航比N'=4。

圖3和圖4為nCmax=6，當(dāng)導(dǎo)彈機(jī)動能力與目標(biāo)機(jī)動過載相等時，一旦考慮制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)特性，無論是APN和OPG都會導(dǎo)致攔截彈不同程度脫靶，這意味著要想實(shí)現(xiàn)直接碰撞需要攔截彈具備高于目標(biāo)的機(jī)動能力。

圖3 APN與OPG5脫靶量對比Fig.3 Miss comparison for APN and OPG5

圖4 OPG1與OPG5脫靶量對比Fig.4 Miss comparison for OPG1 and OPG5

圖5 和圖6為nCmax=9時APN和OPG1與OPG5脫靶量的對比曲線。可以看出，APN在不考慮動力學(xué)特性情況下可以很快實(shí)現(xiàn)脫靶量為零;當(dāng)考慮動力學(xué)特性后，隨著模型的細(xì)化，APN制導(dǎo)精度逐漸降低。OPG1應(yīng)用于一階滯后系統(tǒng)制導(dǎo)精度較高，而應(yīng)用于本文的五階動力學(xué)系統(tǒng)后幾乎不能實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)直接撞擊。本文所介紹的OPG5雖然在末制導(dǎo)時間較短時脫靶量較大，但是當(dāng)7 s后可以實(shí)現(xiàn)零脫靶量的目標(biāo)，制導(dǎo)精度明顯高于APN和OPG1。

圖5 APN與OPG5脫靶量對比Fig.5 Miss comparison for APN and OPG5

圖6 OPG1與OPG5脫靶量對比Fig.6 Miss comparison for OPG1 and OPG5

圖7 和圖8為nCmax=9時采用APN與OPG5導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)攔截所需側(cè)向轉(zhuǎn)移速度ΔV的大小。可以看出，在考慮制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)特性后，本文所述制導(dǎo)律OPG5能以較低的側(cè)向轉(zhuǎn)移速度實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的精確撞擊。

圖7 APN與OPG5側(cè)向轉(zhuǎn)移速度對比Fig.7 Lateral divert comparison for APN and OPG5

圖8 OPG1與OPG5側(cè)向轉(zhuǎn)移速度對比Fig.8 Lateral divert comparison for OPG1 and OPG5

4 結(jié)束語

本文根據(jù)最優(yōu)控制理論，給出了考慮五階動力學(xué)滯后環(huán)節(jié)的最優(yōu)制導(dǎo)律詳細(xì)的推導(dǎo)過程。并與增強(qiáng)型比例導(dǎo)引律和一階最優(yōu)制導(dǎo)律進(jìn)行了比較，給出了三種制導(dǎo)律在目標(biāo)常值機(jī)動情況下脫靶量和側(cè)向轉(zhuǎn)移速度曲線。五階最優(yōu)制導(dǎo)律有效地降低了制導(dǎo)系統(tǒng)動力學(xué)特性對脫靶量的影響，同時，減小了攔截彈對側(cè)向轉(zhuǎn)移速度的需求。當(dāng)導(dǎo)彈過載能力受到限制時，五階最優(yōu)制導(dǎo)律能在較短的末制導(dǎo)飛行時間內(nèi)實(shí)現(xiàn)零脫靶量的要求。但是，本文所介紹的五階最優(yōu)制導(dǎo)律在工程使用上還有待進(jìn)一步驗(yàn)證，如何獲取精確的目標(biāo)機(jī)動過載信息以及怎樣精確計算剩余飛行時間，仍需進(jìn)行深入研究。

［1］ 王洪強(qiáng)，邵曉巍，周剛，等.一種改進(jìn)的組合末制導(dǎo)律研究［J］.計算機(jī)技術(shù)與發(fā)展，2011，21(12):239-242.

［2］ Zarchan P.Tactical and strategic missile guidance［M］.Washington D C:AIAA，Inc，2007:149-152.

［3］ 張宏，夏群力，祁載康，等.基于目標(biāo)機(jī)動補(bǔ)償?shù)脑鰪?qiáng)型比例導(dǎo)引性能研究［J］.紅外與激光工程，2007，36(S1):82-87.

［4］ 李遺，宋振鐸，劉德忠.應(yīng)用極小值原理推導(dǎo)一階動力學(xué)最優(yōu)制導(dǎo)律［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2008，28(5):83-85.

［5］ 劉德忠，祁載康.基于二次型性能指標(biāo)的高階最優(yōu)制導(dǎo)律研究［C］//飛行力學(xué)與飛行試驗(yàn)2006學(xué)術(shù)交流年會論文集.西安:飛行力學(xué)雜志社，2006:292-297.

［6］ 許濤，楊軍，展建超.紅外制導(dǎo)導(dǎo)彈最優(yōu)導(dǎo)引律工程實(shí)現(xiàn)方法研究［J］.計算機(jī)仿真，2010，27(2):96-100.

［7］ 王輝，林德福，程振軒.考慮動力學(xué)滯后的最優(yōu)比例導(dǎo)引律［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2011，31(4):33-36.

［8］ 姜玉憲.脫靶量估算和廣義比例導(dǎo)引［J］.宇航學(xué)報，1994，15(1):8-13.

［9］ 肖增博，雷虎民，馬附洲.一種最優(yōu)末制導(dǎo)律研究［J］.現(xiàn)代防御技術(shù)，2009，37(2):18-21.

［10］徐琰珂，梁曉庚.對剩余飛行時間估計誤差不敏感的末制導(dǎo)改進(jìn)方法［J］.火力與指揮控制，2011，36(10):100-103.