鄭雪蓮

（山東工商學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 煙臺264005)

本文考慮如下形式的非線性最優(yōu)化問題：

其中f（x）：R→R，ci（x）：R→R，i∈I都是連續(xù)可微的實(shí)值函數(shù)。對于任意x∈Rn，I（x）＝{i∈I｜c(diǎn)i（x）＝Ψ（x）}，其中Ψ：Rn→R，Ψ（x）＝max{ci（x），搜索方向由如下的線性方程組來計(jì)算，

解為（d0k，λ0k），其中Hk∈Rn×n是對稱矩陣

解為（dk，λk），其中

本文假設(shè)下列條件始終成立：

A1對任意x∈Rn，向量組{▽ci（x），i∈I（x）}是線性無關(guān)的，產(chǎn)生的迭代序列{xk}包含在一個緊致凸集S中。

A2設(shè)在KKT點(diǎn)x*處，對應(yīng)的乘子向量為λ*，并且二階充分條件與嚴(yán)格互補(bǔ)松弛條件成立。

證明 由引理1，對充分大的k，dk＝。再由(LS1)和(LS3)可得

對任意的i∈I（x*），有

因?yàn)榉匠探M的系數(shù)矩陣非奇異，所以引理的結(jié)論是正確的。

下面，我們給出本文的主要結(jié)果：

證明 對i∈II（x*），當(dāng)k充分大時，由ci（xk）＜0且→0，可得ci

對i∈I（x*），利用泰勒公式

再由(LS3)及引理2可得

因?yàn)関∈（2，3），故當(dāng)k充分大時，由引理1可知ci（xk＋）≤0。綜上所述，當(dāng)k充分大時，h（c（xk＋））＝0。

［1］R.Fletcher and S.Leyffer.Nonlinear programming without a penalty function[R].Technical Report NA/171,Department of Mathematics,University of Dundee,Scotland to appear in Mathematical Programming,1997.

［2］C.M.Chin.A local convergence theory of a filter line search method for nonlinear programming[J].Numerical Optimization Report,Department of Statistics,University of Oxford,England,2002.

［3］A.Wachter and L.T.Biegler.Line search filter methods for nonlinear programming:Local convergence[J].Technical report,Department of Chemical Engineering,Carnegic Mellon University,2004.

［4］高自友,賀國平,吳方.任意初始點(diǎn)下的序列線性方程組算法[J].中國科學(xué)(A輯),1997,27(1):24-33.