中原 恒

引言

基于地震波干涉法并利用振幅信息來(lái)推定介質(zhì)衰減構(gòu)造是否可行，已成為近年來(lái)的重大課題?；仡櫾撜n題截止到目前的研究，首先是理論探討：Snieder（2007）對(duì)衰減波動(dòng)方程的相反定理進(jìn)行證明，揭示了在非均勻介質(zhì)中，噪聲源只有在補(bǔ)償衰減效果后分布的情況下地震波干涉法才嚴(yán)密成立這一結(jié)果。Weavers（2008）應(yīng)用量子場(chǎng)論中的Ward恒等式與地震波干涉法的等價(jià)性，揭示了對(duì)于含有波動(dòng)方程的一般線性微分方程，從場(chǎng)的相互作用中提取格林函數(shù)的方法。Margerin和Sato（2011）揭示了若要在非均勻的衰減性介質(zhì)中使地震波干涉法成立，那么也必須使廣義光學(xué)定理成立。不論哪一種理論都揭示出，只要滿足特定的條件，即使在衰減性介質(zhì)中，地震波干涉法也能成立。

此外，還通過(guò)數(shù)值計(jì)算進(jìn)行了檢驗(yàn)。例如，Cupillard和Capdeville（2010）揭示出：在考慮球狀地殼構(gòu)造的情況下，當(dāng)噪聲源在地表呈空間均勻分布時(shí)，就可以正確推定其衰減，但當(dāng)噪聲源為局部存在時(shí)，就無(wú)法進(jìn)行正確推定了。相同的數(shù)值驗(yàn)證也經(jīng)Weaver（2011）得出了結(jié)論。

在實(shí)際數(shù)據(jù)分析中，Snieder和Safak（2006）通過(guò)對(duì)同一建筑物內(nèi)不同樓層的地震記錄進(jìn)行反褶積，把在建筑物內(nèi)呈上下傳播的波分離，由振幅比成功推定出了建筑物的Q值。另一方面，Prieto等（2009）基于地震波干涉法，推定了南加利福尼亞地區(qū)的衰減結(jié)構(gòu)。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f(shuō)，他是以物理性的直觀，根據(jù)Aki（1957）提出的非衰減性介質(zhì)中空間自相關(guān)法公式，提出了噪聲源在衰減性介質(zhì)中擴(kuò)散的公式，并以此作為基礎(chǔ)。Tsai（2011）對(duì)其公式進(jìn)行了理論上的探討，但這個(gè)公式是嚴(yán)密解還是近似解，仍未可知。最近，Nakahara（2012）針對(duì)一維、二維和三維的均質(zhì)衰減性介質(zhì)，已將空間自相關(guān)法的公式成功定式化。特別是基于針對(duì)二維的結(jié)果，Prieto等（2009）的公式并非嚴(yán)密解，但其在衰減較弱的情況下基本接近真實(shí)解，這已在理論上明確。在證明過(guò)程中，由于空間自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系起到了重要的作用，所以這部分不僅引用以往的論文，還向大家說(shuō)明問(wèn)題存在的客觀性。

本論文在重視理論連貫性的前提下，將采用地震波干涉法推定地下衰減構(gòu)造這一目標(biāo)的理論背景進(jìn)行明確。首先詳細(xì)證明衰減性介質(zhì)中的空間自相關(guān)法和地震波干涉法的理論關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上，揭示了Prieto等（2009）提出的利用兩者之間關(guān)系推定衰減構(gòu)造的具體方法。

1 衰減性非均勻介質(zhì)中地震波干涉法的證明

首先對(duì)衰減性非均勻介質(zhì)中地震波干涉法進(jìn)行證明。同時(shí)，采用以下的衰減波動(dòng)方程：

式中，G是衰減波動(dòng)方程式的格林函數(shù)，r是空間，t代表時(shí)間，v（r）代表速度，κ（r）代表衰減，考慮到了非均勻介質(zhì)的情況。這一方程，先被Margerin和Sato（2011）采用，然后既作為波動(dòng)方程中的一例（今村，1978），又作為電報(bào)方程（Courant and Hilbert，1962）中的一例被研究。關(guān)于此方程各項(xiàng)物理意義，今村（1978）利用橡膠涂層包裹琴弦的振動(dòng)進(jìn)行了說(shuō)明。根據(jù)這一說(shuō)明，左邊第3項(xiàng)是與速度成正比的摩擦力，左邊第4項(xiàng)是由橡膠彈性決定的復(fù)原力。下面，證明的過(guò)程與Snieder（2007）相同，只是采用的衰減波動(dòng)方程在形式上略有差異。本論文采用（1）的衰減波動(dòng)方程的理由，也將在后面進(jìn)行討論。Q值與頻率成正比，衰減時(shí)波形形狀不變，只有振幅發(fā)生變化，因此方程相對(duì)簡(jiǎn)單。

將（1）式從空間—時(shí)間域變換到空間—頻率域，可得出下面的亥姆霍茲方程：

設(shè)震源為r1時(shí)，方程如下：

在頻率域采用的復(fù)共軛與時(shí)間域中的時(shí)間反轉(zhuǎn)相對(duì)應(yīng)。對(duì)于時(shí)間反轉(zhuǎn)場(chǎng)，若震源為r2時(shí)，

成立，其中＊代表復(fù)共軛。將（4）式與G＊的乘積和（5）式與G的乘積進(jìn)行減法運(yùn)算，并體積分，結(jié)果如下：

V表示體積分的積分域，對(duì)于左邊的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)，還可以采用高斯散度定理將體積分轉(zhuǎn)變成面積分：

S為面積分的積分域，n為S的單位外法向量。綜上所述，可得出：

整理后如下式：

方程右邊，有關(guān)格林函數(shù)的方程，是利用了震源和觀測(cè)點(diǎn)可以互為替換的特性。鑒于無(wú)限介質(zhì)在放射條件下無(wú)限遠(yuǎn)傳播的波動(dòng)場(chǎng)為零，因面積分的影響可以忽略，僅用體積分就可以表示如下：

公式中，右邊的－iω表示與時(shí)間微分對(duì)應(yīng)，左邊還可以進(jìn)一步替換，如下表示：

Im表示的是虛數(shù)部分，右邊再次將震源和觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行替換。右邊的格林函數(shù)與其復(fù)共軛的積，是與位置r的脈沖震源觀測(cè)點(diǎn)r1，r2處波動(dòng)場(chǎng)互相關(guān)的計(jì)算結(jié)果相對(duì)應(yīng)的。由公式可知，為使地震波干涉法成立（從互相關(guān)提取格林函數(shù)），在取得右邊互相關(guān)的同時(shí)，也要考慮對(duì)速度和衰減依存程度。也就是說(shuō)，噪聲源的分布為2κ（r）／v（r），就是對(duì)衰減影響進(jìn)行的適度補(bǔ)償。這在Snieder（2007）中最早被提出來(lái)。但是，在實(shí)際操作中，這種絕佳的平衡是很難達(dá)到的。特別在介質(zhì)構(gòu)造不均勻的情況下，復(fù)雜的噪聲源分布客觀存在，地震波干涉法能否嚴(yán)密地成立，還應(yīng)認(rèn)真慎重地研究。

2 空間自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系

前面已經(jīng)對(duì)非均勻衰減性介質(zhì)中采用的地波干涉法進(jìn)行了證明，接下來(lái)要探討空間自相關(guān)法與地震波干涉法之間的關(guān)系。這個(gè)問(wèn)題的設(shè)立如圖1所示。首先，選取衰減性無(wú)限介質(zhì)中的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（三角形標(biāo)記），假設(shè)噪聲源（星形標(biāo)記）在介質(zhì)中呈體積分布。在這種情況下，可以對(duì)兩點(diǎn)間的波動(dòng)場(chǎng)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化的交叉譜分析，明確其與格林函數(shù)之間的理論關(guān)系。此外，在無(wú)衰減的情況下，由于假設(shè)平面波向觀測(cè)點(diǎn)各向同性入射（例如，Nakahara，2006；Sanchez－Sesma and Campillo，2006），因此必須注意條件的變化。

假設(shè)兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的位置分別為r1、r2，這時(shí)頻率域的波動(dòng)場(chǎng)用u（r1，ω）、u（r2，ω）表示。這兩點(diǎn)的波動(dòng)場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)化交叉譜C1，2（r，ω）可定義如下：

式中＜＞是樣本平均，用r＝r2－r1表示。在（12）式中取等號(hào)時(shí)，假設(shè)波動(dòng)場(chǎng)的空間穩(wěn)定：

接下來(lái)分析由噪聲源生成的波動(dòng)所構(gòu)成的波動(dòng)場(chǎng)，可通過(guò)噪聲源光譜N（r，ω）與格林函數(shù)表示如下：

假設(shè)不同情況下的噪聲源無(wú)相關(guān)性，那么

式中，S（r）是噪聲源的分布強(qiáng)度，F(xiàn)（ω）是功率譜。假設(shè)所有噪聲源都具有共性，那么通過(guò)以上討論可得出：

雖然格林函數(shù)在頻率域略有扭曲，但由于SPAC法中（12）式的分母和分子可以約分，所以代入后可導(dǎo)出：

這就是空間自相關(guān)法與地震波干涉法相互關(guān)聯(lián)的理論關(guān)系式。也就是說(shuō)，當(dāng)（18）式成立時(shí)，（19）關(guān)系式也成立，但由于空間自相關(guān)法是對(duì)各頻率獨(dú)立進(jìn)行計(jì)算，所以格式函數(shù)在頻率稍有扭曲也不構(gòu)成問(wèn)題，與地震波干涉法相比，對(duì)條件的要求能略有寬容。另外，空間自相關(guān)法與地震波干涉法相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系式在非衰減性介質(zhì)的情況下，已由Nakahara（2006）針對(duì)純量波以及 Sanchez－Sesma與Campillo（2006）和 Yokoi與 Margaryan（2008）針對(duì)向量波推導(dǎo)出來(lái)了。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)在于，（19）關(guān)系式對(duì)于衰減性介質(zhì)也成立。這里特別需要強(qiáng)調(diào)的是有關(guān)噪聲源的分布。在非衰減性介質(zhì)中，必須是Aki（1957）中闡述的平面波入射（即遠(yuǎn)處某噪聲源呈觀測(cè)點(diǎn)圍繞分布）；在衰減性介質(zhì)中，噪聲源必須呈體積分布。

3 關(guān)于Prieto等（2009）中算式的理解

前一節(jié)中針對(duì)非均勻的衰減性無(wú)限介質(zhì)，導(dǎo)出了空間自相關(guān)法和地震波干涉法的理論關(guān)系式。本節(jié)將基于上述結(jié)果來(lái)了解Prieto等（2009）中的算式。

目標(biāo)確立，就必須要有附加條件。首先討論均勻的衰減性介質(zhì)（速度、衰減以及空間分布均勻的狀態(tài)下）。從（11）式可知，地震波干涉法嚴(yán)密成立時(shí)，要求噪聲源呈空間均勻分布狀態(tài)。也就是說(shuō)κ、v都是不變的。在Nakahara（2012）中，（19）式對(duì)于均勻的衰減性無(wú)限介質(zhì)成立，已眾所周知。將（1）式的波動(dòng)方程中的格林函數(shù)（參見(jiàn)今村，1978）代入（19）式后，就能成功地將空間自相關(guān)法擴(kuò)展應(yīng)用到衰減性介質(zhì)。雖然其中包括一維、二維和三維不同情況下的特定應(yīng)用，但由于本文的目的是了解Prieto等（2009）的算式，所以僅針對(duì)二維情況下的結(jié)果進(jìn)行簡(jiǎn)單的討論。

在二維情況下，格式函數(shù)用0次的第1種漢克爾函數(shù)H（1）0（x）表示。將其帶入（19）式后，可導(dǎo)出以下嚴(yán)密式：

圖1 噪聲源（灰色星號(hào)）隨機(jī)空間分布的衰減性介質(zhì)模型設(shè)置。兩個(gè)臺(tái)站用實(shí)心三角表示。示意說(shuō)明了三維坐標(biāo)系

該算式可以進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，但很難進(jìn)行深入分析。因此，要附加兩個(gè)條件：衰減要?。é剩痥?1）；觀測(cè)點(diǎn)之間的距離要遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)（kr?1）。首先，格林函數(shù)的遠(yuǎn)場(chǎng)近似如下：

而且（20）式的分母計(jì)算要使用到下面的關(guān)系式：

這與Nakahara（2012）的（27）式相對(duì)應(yīng)，但在弱衰減的近似計(jì)算中，格林函數(shù)要展開(kāi)到κ／k的一次項(xiàng)為止，而且要取0次貝塞爾函數(shù)與一次紐曼函數(shù)參數(shù)設(shè)為零時(shí)的極限。利用以上算法，當(dāng)只剩下κ／k的一次項(xiàng)后，由（20）可導(dǎo)出：

這里的J0（x）、Y0（x）分別是0次的貝塞爾函數(shù)、紐曼函數(shù)。算式的 ［ ］中，若滿足條件κ／k?1，那么就能導(dǎo)出下面Prieto等（2009）的算式：

綜上所述，對(duì)于（20）式的嚴(yán)密解來(lái)說(shuō)，只要滿足衰減小、觀測(cè)點(diǎn)間距遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)這兩個(gè)假設(shè)條件，理論上就能夠?qū)С鯬rieto等（2009）的算式。

4 討論

首先，要討論本研究的理論制約條件?？臻g自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系式（19），是在設(shè)定（1）式的衰減波動(dòng)方程后，針對(duì)非均勻衰減性無(wú)限介質(zhì)導(dǎo)出的結(jié)果。要使這一結(jié)果成立，地震波干涉法也必須成立，要求噪聲源的分布能夠滿足較好補(bǔ)償衰減影響這一條件。當(dāng)這一條件無(wú)法滿足時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)假象。事實(shí)上，噪聲源的分布與所要探知的地下構(gòu)造有著復(fù)雜的聯(lián)系，由此可見(jiàn)，確認(rèn)噪聲源分布的有效性并非易事。當(dāng)然，噪聲源的分布要針對(duì)衰減性介質(zhì)和非衰減性介質(zhì)分情況考慮。但是，對(duì)于非衰減性介質(zhì)，我們都知道，像Aki（1957）那樣利用圓排列來(lái)計(jì)算方位角平均，就能夠消除假象。但是，對(duì)于衰減性介質(zhì)，即使利用圓排列也無(wú)法消除噪聲源分布的不均勻性。這就是（11）式有必要對(duì)噪聲源進(jìn)行體積分的原因，因?yàn)橥ㄟ^(guò)方位角平均可以除去方位角方向的非均勻介質(zhì)，卻無(wú)法去除徑向方向的非均勻介質(zhì)。

接下來(lái)，（20）關(guān)系式是針對(duì)均勻衰減性介質(zhì)，由假定的衰減波動(dòng)方程（1）推導(dǎo)出來(lái)的。（1）式只是衰減波動(dòng)方程的形式之一，Snieder（2007）和 Tsai（2011）中所采用的波動(dòng)方程去掉了（1）式的左邊最后一項(xiàng)。這種不同取決于Q值與頻率之間的依賴關(guān)系（Nakahara，2012）。算式（1）中，Q 值與頻率成正比，波形無(wú)變化，只有振幅有變化，所以是最簡(jiǎn)單的情況。Snieder（2007）中采用的減衰波動(dòng)方程式，由于Q值與頻率之間的依賴關(guān)系較復(fù)雜，所以解析起來(lái)很難。僅當(dāng)衰減κ很小時(shí)，兩者的差異由于與κ2成正比，所以可以忽略不計(jì)。若能將衰減波動(dòng)方程順利地轉(zhuǎn)換成線形微分方程，如Sato等（2012）所指出的那樣，利用Resalvent公式就可證明地震波干涉法的成立，但是若一般情況下Q值與頻率之間的依存關(guān)系無(wú)規(guī)律可循時(shí)，證明起來(lái)就會(huì)相當(dāng)麻煩。

在本研究中，針對(duì)均勻衰減性介質(zhì)，在假設(shè)衰減很弱且觀測(cè)點(diǎn)間距遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)的基礎(chǔ)上就能夠推導(dǎo)出Prieto等（2009）的算式。Nakahara（2012）針對(duì)衰減κ＝0.01k（Q＝50）和κ＝0.1k（Q＝5）兩種情況，在0≤kr≤10的范圍內(nèi)，對(duì)三個(gè)算式（20）、（23）、（24）對(duì)行了比較。確定了不論哪種情況下，當(dāng)kr≠0時(shí)，三個(gè)算式在5%范圍內(nèi)均存在一致性。也就是說(shuō)，當(dāng)衰減很弱時(shí)（κ≤0.1k），Prieto等（2009）的算式結(jié)果是十分接近的。Prieto等（2009）利用周期在7.5s到20s區(qū)間，觀測(cè)點(diǎn)間距在500km以內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了解析。相關(guān)參數(shù)如表1所示，kr的最大值為45～140，衰減系數(shù)與κ＝0.002k—0.01k相對(duì)應(yīng)。圖2是當(dāng)κ＝0.01k和κ＝0.1k時(shí)，將（20）、（23）、（24）式的極小值（負(fù)值）絕對(duì)值與極大值用直線連結(jié)的包絡(luò)線用對(duì)數(shù)表示后的結(jié)果。這與Prieto等（2009）的圖6相對(duì)應(yīng)。由此可見(jiàn)，衰減的大小在kr?1的范圍內(nèi)可通過(guò)曲線的斜率進(jìn)行推斷。此外，通過(guò)圖2的雙圖可知，3個(gè)公式幾乎一致。通過(guò)表1我們能夠確定，在左圖κ＝0.01k且逐漸減少的情況下，Prieto等（2009）的解析可以在近似成立的范圍內(nèi)進(jìn)行。

表1 Prieto等（2009）使用的參數(shù)

圖2 包絡(luò)線歸一化互譜與歸一化臺(tái)站間距kr關(guān)系。方程（20）、（23）和（24）的包絡(luò)線分別用實(shí)線、點(diǎn)線和虛線表示。к＝0.01k（左圖）和к＝0.1k（右圖）

另一方面，近期Lawrence和Prieto（2011）基于Prieto等（2009）的算式，在美國(guó)西部對(duì)衰減構(gòu)造進(jìn)行了層析成像研究。但是，一定要注意，采用的公式是針對(duì)均質(zhì)構(gòu)造進(jìn)行理論推導(dǎo)的結(jié)果。在非均質(zhì)構(gòu)造情況下，不能采用（20）式，要在（19）式中針對(duì)非均質(zhì)構(gòu)造使用格林函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，但現(xiàn)在這方面的理論研究還不是很充分。也就是說(shuō)，針對(duì)非均勻介質(zhì)的衰減構(gòu)造，基于（24）式進(jìn)行衰減成像的合理性，今后還有必要進(jìn)一步驗(yàn)證。

5 結(jié)論

本論文對(duì)利用地震波干涉法推定衰減構(gòu)造的理論背景進(jìn)行了考察。針對(duì)非均勻衰減性介質(zhì)的地震波干涉法進(jìn)行了探討，證明了地震波干涉法在僅當(dāng)噪聲源的分布能很好補(bǔ)償衰減時(shí)嚴(yán)密成立。進(jìn)一步導(dǎo)出了空間自相關(guān)法與地震波干涉法的理論關(guān)系。在那之后，為進(jìn)一步理解Prieto等（2009）的內(nèi)容，近來(lái)對(duì)采用空間自相關(guān)法推定衰減構(gòu)造的方法進(jìn)行了檢查。其結(jié)果是：這一公式是針對(duì)均勻衰減性介質(zhì)，在衰減小且觀測(cè)點(diǎn)間距遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)的情況下導(dǎo)出的是近似式。這一結(jié)果對(duì)空間自相關(guān)法和地震波干涉法的理論關(guān)系影響重大?；谶@一結(jié)果，Prieto等（2009）的公式也應(yīng)該適用于相對(duì)均勻的介質(zhì)。在非均質(zhì)領(lǐng)域中，層析成像的合理性還未明確，今后還要進(jìn)行必要的理論探討。