徐少剛，夏雪琴

(浙江海洋學(xué)院，浙江舟山 316022)

牛頓環(huán)實驗是一個古老而又非常重要的光學(xué)實驗，一般用它來測量平凸透鏡的曲率半徑十分方便，這個實驗在我校已開設(shè)許多年了。目前數(shù)據(jù)處理方法主要有:逐差法和最小二乘法，用人工計算既繁瑣又篇幅大，占用了我們學(xué)生較多的學(xué)習時間，并且往往運算容易出差錯，得不到十分理想的實驗結(jié)果，這樣必然會影響學(xué)生的學(xué)習積極性和教學(xué)效果。隨著計算機軟件的迅速發(fā)展，如用Matlab軟件的功能函數(shù)進行最小二乘法曲線擬合，得到平凸透鏡的曲率半徑，而且還能進行誤差理論分析，一方面簡化了數(shù)據(jù)處理過程，提高了實驗結(jié)果的準確度;另一方面提高了大學(xué)生應(yīng)用軟件的能力，并且對實驗數(shù)據(jù)處理方法上的一種創(chuàng)新，激發(fā)了大學(xué)生對學(xué)習大學(xué)物理實驗的興趣，提高了教學(xué)質(zhì)量。

1 實驗原理

在一塊平面玻璃上安放上一焦距很大的平凸透鏡，使其凸面與平面相接觸，在接觸點附近就形成一層空氣膜。當用一平行的準單色光垂直照射時，在空氣膜上表面反射的光束和下表面反射的光束在膜上表面相遇相干，形成以接觸點為圓心的明暗相間的環(huán)狀干涉圖樣，稱為牛頓環(huán)，其如圖1。

圖1 牛頓環(huán)光路示意圖

可改為 D2K=4KRλ(K=0，1，2，…)

用Matlab軟件作圖并處理實驗數(shù)據(jù)，作出D2K～K的關(guān)系圖。

令y=D2K;x=K;k=4Rλ，可得到擬合直線方程y=kx+b，并從其斜率k中求出平凸透鏡曲率半徑R的值。

2 實驗數(shù)據(jù)記錄

已知鈉光的波長 λ =5.893×10－7m，儀器誤差5 × 10－6m，R標=0.880 0 m，見表1。

表1 透鏡曲率半徑測量數(shù)據(jù)

3 Matlab軟件處理實驗數(shù)據(jù)

3.1 得到y(tǒng)與x的數(shù)據(jù)表

令DK=XL－XR，x=K，y=DK2，用Matlab軟件編寫程序計算:

＞ ＞ x= ［55 50 45 40 35 30 25 20 15 10］

＞ ＞ c1= ［0.032394 0.032112 0.031902 0.031638 0.031338 0.031036 0.030702 0.030318 0.029918 0.02941］

%XL的值

＞ ＞ c2= ［0.021538 0.021786 0.022062 0.022314 0.0226 0.022918 0.023338 0.023602 0.024026 0.024506］

%XR的值

＞＞c3=c1－c2

%DK=(XL－XR)的值

＞ ＞ y=c3.^2%

y-DK2的值

數(shù)據(jù)見表 2［2］。

表2 由D2K與K之間關(guān)系得到y(tǒng)與x的數(shù)據(jù)

3.2 用polyfit功能函數(shù)作y與x的擬合圖

3.2.1 用Matlab軟件最小二乘法公式求出斜率k、相關(guān)系數(shù)γ

y=kx+b用最小二乘法求出曲線的斜率k、相關(guān)系數(shù)γ，

Matlab程序:

＞ ＞ a=polyfit(x，y，1)

結(jié)果得:k=0.2079e－ 5，b=0.3307e－ 5

3.2.2 用plot函數(shù)繪y與x的擬合圖2

Matlab程序:

＞ ＞x1=10:5:55;k=2，

＞＞y1=a(1)*x1+a(2);

＞ ＞ plot(x，y，’* ’，x1，y1，’k’)，xlabel(‘P’)，ylabel(‘I’)，grid on，

Matlab擬合圖，見圖2。

圖2 Matlab繪y與x的擬合圖

所以擬合直線方程為:y=0.207 9×10－5x+0.330 7 × 10－5

4 Matlb軟件最小二乘法誤差分析計算

4.1 Matlab 程序

＞ ＞ yn=a(1)*x+a(2)，xn=(y－a(2))/a(1)，

＞ ＞ sigmayn=sqrt((yn－y)*(yn－y)’/(k*(k－1)))，

%DK的絕對誤差ΔY

＞ ＞ sigmaxn=sqrt((xn－x)*(xn－x)’/(k*(k－1)))，

%K的絕對誤差ΔX

＞ ＞ xp=mean(x)，yp=mean(y)，

Lxx=(x－xp)*(x－xp)’，

%

＞ ＞ Lxy=(x－xp)*(y－yp)’，

Lyy=(y－yp)*(y－yp)’，

＞ ＞ r=Lxy/sqrt(Lxx*Lyy)，

線性相關(guān)系數(shù)r

＞ ＞ R=a(1)/(4*5.893*0.0000001)，

%曲率半徑ˉR

＞ ＞ R0=0.88，deth=(R － R0)/R0，

%百分差ER

＞ ＞ y2=0.000107，x2=50，b=a(2)，

＞＞sigmah=R*sqrt((sigmayn/(y2－b))^2+(sigmaxn/x2)^2)，

%ΔR

＞＞deth1=sigmah/R，

%相對不確定度EˉR

4.2 誤差結(jié)果得

sigmayn=9.9912e － 007

sigmaxn=0.4807

sigmah=0.012

r=0.9999

R=0.8818

deth=0.0020

death1=0.0136

線性相關(guān)系數(shù)r=0.9999接近于1，說明k、b的值準確性高且可用，擬合直線方程為:y=0.2079 ×10－5x+0.3307 ×10－5線性擬合度高。

曲率半徑的最佳值:ˉR0.881 8 m，

D2K的絕對誤差 ΔY=sigmayn=9.991 2e－007，

K 的絕對誤差 ΔX=sigmaxn=0.480 7，R 的絕對誤差 ΔR=sigmah=0.012。

5 實驗結(jié)論

通過上面用Matlab軟件的功能函數(shù)對實驗數(shù)據(jù)進行處理，很快得到如下實驗結(jié)果:

平凸透鏡的曲率半徑:

R=ˉR±ΔR=(8.82±0.12)×10－1m

相對不確定度:

百分差:

根據(jù)上面的數(shù)據(jù)處理和誤差分析可知，Matlab軟件的功能函數(shù)最小二乘法對牛頓環(huán)實驗進行數(shù)據(jù)處理精度高，而且程序運行簡便，計算快捷、高效;因此，大學(xué)生在物理實驗中用Matlab軟件對牛頓環(huán)實驗進行數(shù)據(jù)處理，是對傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理方法上的一種創(chuàng)新，提高了大學(xué)生學(xué)習積極性，同時也提高了大學(xué)物理實驗的教學(xué)質(zhì)量。

［1］王曉雄.利用Origin擬合方法處理牛頓環(huán)數(shù)據(jù)［J］.大學(xué)物理實驗，2011，24(2).

［2］劉浩.新型基于彩色熒光燈的牛頓環(huán)實驗［J］.大學(xué)物理實驗，2012，25(5).