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        坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)的相關(guān)性分析

        2014-12-24 06:53:56張亞囡
        科技視界 2014年20期
        關(guān)鍵詞:關(guān)聯(lián)矩陣協(xié)方差廣義

        張亞囡

        (國投新集公司板集煤礦 地測科,安徽 利辛236700)

        坐標(biāo)系統(tǒng)是測量中很重要的一個部分,我們進(jìn)行平面測量,空間測量都需要對應(yīng)的坐標(biāo)系來對其進(jìn)行計算。坐標(biāo)系統(tǒng)的相互轉(zhuǎn)換是坐標(biāo)計算的核心點,為了獲取不同用途的坐標(biāo)數(shù)據(jù),我們需要進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。 而坐標(biāo)轉(zhuǎn)換主要涉及到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。 這里我們主要研究坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)的相關(guān)性分析。

        GPS 單點定位的坐標(biāo)以及相對定位中解算的基線向量屬于WGS-84 大地坐標(biāo)系,而使用的測量成果一般都是屬于某一國家坐標(biāo)系或地方坐標(biāo)系[1]。所以應(yīng)用中心必須進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,才能進(jìn)行正常使用。 坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換包括不同參心大地坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換,參心大地坐標(biāo)系統(tǒng)與地心大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換以及大地坐標(biāo)與高斯平面坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換等。進(jìn)行兩個不同空間直角坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,需要求出坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換參數(shù)。 因此需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換參數(shù)的相關(guān)性分析。

        求解7 參數(shù),當(dāng)公共點多于3 個時,便可用最小二乘法來求解7 個轉(zhuǎn)換參數(shù), 各個參數(shù)間相關(guān)性就可以由協(xié)方差元素求得, 即為Q 為求解7 個轉(zhuǎn)換參數(shù)所得到的協(xié)方差矩陣[2]。 參數(shù)組與參數(shù)組之間的相關(guān)性就稱為廣義相關(guān)性。 將7 個參數(shù)分成兩組,3個平移參數(shù)看成一組X,3 個旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1 個尺度參數(shù)看成另一組,將求解7 個參數(shù)得到的協(xié)方差陣寫為:

        x,y 的線性關(guān)聯(lián)陣Myx為:

        若x,y 的相關(guān)秩為r,r=rk(Myx)=rk(x,y),求出Myx的特征根,非零特征根有r 個, 表示為λ1,λ2,…,λr則x,y 的廣義相關(guān)系數(shù)可以用以下幾種方式表示:

        所以要證明七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中平移參數(shù)、 旋轉(zhuǎn)參數(shù)及尺度參數(shù)之間強(qiáng)相關(guān)性,只需證明其廣義相關(guān)系數(shù)接近1 即可[3]。

        1 數(shù)據(jù)分析

        在一區(qū)域GPS 網(wǎng)上,有公共點既有在WGS-84 坐標(biāo)系上的坐標(biāo),又有在北京54 坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。 假設(shè)在一個區(qū)域GPS 網(wǎng)內(nèi), 共有4個公共點,并且4 個公共點既有在WGS-S84 坐標(biāo)系上的坐標(biāo), 又有在北京54 坐標(biāo)系上的坐標(biāo),該網(wǎng)范圍: 南北約有130km;東西約有70k m對一個工程而言, 這是比較大的一個GPS 網(wǎng), 可以相當(dāng)于我國大城市所覆蓋的范圍了,但相對于地球來說卻是很小的一個區(qū)域。

        表1 是四組公共點坐標(biāo)。

        采用最小二乘法,求解7 個參數(shù),由公式:

        求得,為了方便計算,其中平移參數(shù)單位取為m,旋轉(zhuǎn)參數(shù)單位取為1/30s,尺度參數(shù)單位取為k×10-6中的k。

        表1 公共點坐標(biāo)

        根據(jù)公共點的坐標(biāo),我們可以算出七個參數(shù)的值。

        下面就是一組七個參數(shù)的數(shù)值:

        x=-1444716.36 ,y= 6366858.38,z=-2803229.13

        α= -0.68020946,β=-0.96949331,γ=-0.00642779

        k=-1.7404629

        由七參數(shù)列出協(xié)方差陣為:

        表2 參數(shù)轉(zhuǎn)換的協(xié)方差陣

        2 坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)之間的相關(guān)性分析

        坐標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換參數(shù)之間的相關(guān)性,對平移參數(shù),旋轉(zhuǎn)參數(shù),縮放參數(shù)之間的相關(guān)性分別進(jìn)行分析。 目前,傳感技術(shù)與測量技術(shù)的迅速發(fā)展和普及,除了點位坐標(biāo)外,獲取的同名信息種類也不斷的增加。相對定位技術(shù)提供高精度基線向量,自由度傳感器則可以直接提供各種姿態(tài)信息等,各種技術(shù)的測量精度也是有所差別,所以如何充分利用多傳感信息數(shù)據(jù)解算轉(zhuǎn)換參數(shù)將會是信息融合中的新問題。我們采用公共點點位的分析方法,去將各類同名信息逐一加以考察,即對平移、旋轉(zhuǎn)與縮放變換是否具有敏感性,從而可以確定其對相應(yīng)轉(zhuǎn)換參數(shù)的貢獻(xiàn)量及其計算方法。

        表3 參數(shù)之間的相關(guān)性

        3 平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)和縮放參數(shù)之間的相關(guān)性

        根據(jù)上文,我們分別定義平移參數(shù)為x0,y0,z0;旋轉(zhuǎn)參數(shù)為α,β,γ;縮放參數(shù)為k 。

        根據(jù)表3 參數(shù)之間的相關(guān)性,就可以分別定義兩組參數(shù):

        通過計算,可以對上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣為:

        根據(jù)計算可以解出的特征根為:0,0,0,1。由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣的秩為3。 然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來解算,則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù),Pi=1(i=①,②,...,⑤)。 由此我們可以得到的結(jié)論是平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的。

        4 平移參數(shù)與縮放參數(shù)之間的相關(guān)性

        根據(jù)上文,我們分別定義平移參數(shù)為x0,y0,z0;縮放參數(shù)為k。

        根據(jù)表1-3 參數(shù)之間的相關(guān)性,就可以分別定義兩組參數(shù):

        通過計算,對上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣Mxy為:

        所以解出的特征根為:1。 由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣Mxy的秩.然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來解算,則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù),Pi=1(i=①,②,..,⑤)。 由此可以得到結(jié)論是平移參數(shù)和縮放參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的。

        5 平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間的相關(guān)性

        根據(jù)上文,我們分別定義平移參數(shù)為x0,y0,z0;旋轉(zhuǎn)參數(shù)為α,β,γ。

        根據(jù)表3 參數(shù)之間的相關(guān)性,可以分別定義兩組參數(shù):

        通過計算,對上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣為:

        所以解出的特征根為:0,1,1,0。由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣的秩.然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來解算,則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù),Pi=1(i=①,②,...,⑤)。 由此可以得到結(jié)論是平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間是強(qiáng)相關(guān)的。

        6 縮放參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)之間的相關(guān)性

        根據(jù)上文,我們分別定義旋轉(zhuǎn)參數(shù)為α,β,γ;縮放參數(shù)為k 。

        根據(jù)表3 參數(shù)之間的相關(guān)性,可以分別定義兩組參數(shù):

        通過計算,對上面兩組算得線性關(guān)聯(lián)矩陣Mxy為:

        解出的特征根為:0。由此特征根可得線性關(guān)聯(lián)矩陣的Mxy秩.然后根據(jù)廣義相關(guān)系數(shù)定義來解算,則由非零特征根可求出相關(guān)系數(shù),Pi=1(i=①,②,...,⑤)。 故旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)是完全不相關(guān)的。

        綜合分析可得:通過上面幾個參數(shù)的相關(guān)性分析,在七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型中,3 個平移參數(shù)與3 個旋轉(zhuǎn)參數(shù)及縮放參數(shù)之間是強(qiáng)相關(guān)的,平移參數(shù)和縮放參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的, 平移參數(shù)與旋轉(zhuǎn)參數(shù)是強(qiáng)相關(guān)的,旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)是完全不相關(guān)的。

        大部分的實際工程應(yīng)用中, 測區(qū)一般都不是很大。 在同一測區(qū)測定兩次或者已知點坐標(biāo)有微小的變化,由于七參數(shù)間的相關(guān)性,求出的參數(shù)在數(shù)值上可能將會差別很大, 如平移參數(shù)的變化可能達(dá)到很大。然而只要沒有粗差, 轉(zhuǎn)換殘差仍然會是很小, 所以轉(zhuǎn)換結(jié)果也不會有大的差異。 因此七參數(shù)轉(zhuǎn)換模型仍然是有效和可用的。 在小區(qū)域應(yīng)用時, 旋轉(zhuǎn)參數(shù)和縮放參數(shù)對各點的影響基本一樣, 所起的作用可以包含在平移參數(shù)中的。

        [1]余學(xué)祥,呂偉才.空間直角坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣轉(zhuǎn)換到高斯平面上的計算公式[J].測繪信息與工程,1997,22(4):18-21.

        [2]楊元興.應(yīng)用最小二乘法進(jìn)行平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[J].地礦測繪,2010,26(1):44-45.

        [3]郭秋英,胡振琪.GPS 衛(wèi)星坐標(biāo)的計算[J].全球定位系統(tǒng),2006,13(4):13-14.

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