王穎澤，宋新南

(江蘇大學能源與動力工程學院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

彈性體熱沖擊問題的研究對于各種承受變溫載荷結構的疲勞分析和壽命預測具有重要的實用價值.在熱沖擊下，材料變形加速誘發(fā)的動態(tài)熱應力的幅值遠大于穩(wěn)態(tài)熱應力，為此在研究熱沖擊問題時，首先考慮彈性體的動態(tài)響應.但當熱作用周期急劇縮短以至于達到甚至小于材料的熱松弛時間時，熱量將以有限的波速傳遞，熱量傳遞呈現延遲特性并誘發(fā)有別于傳統(tǒng)導熱的非傅里葉效應［1-2］.此時，要想全面的揭示熱沖擊的本質特征，除了考慮材料變形的加速過程外，還要計及快速加熱過程的非傅里葉效應以及材料變形率與溫度場之間的耦合效應.H.M.Lord等［3］充分考慮快速加熱過程的非傅里葉效應，提出了能夠描述熱以有限速度傳播的L-S理論，同時文獻［4］和［5］也分別基于雙延遲效應和能量非耗散假設先后提出了能夠刻畫固體“次聲”效應的G-L理論和G-N理論.在這些理論中，由于控制方程中需要引入延遲項和耦合項，在準確描述快速傳熱過程的同時，加大了問題求解的數學難度.為此，當前圍繞熱沖擊問題的求解分析主要從2種途徑展開，第1種是采用直接解耦的方法，在忽略耦合項的基礎上單獨求解溫度場，然后在求解應力-應變場時計入溫度的影響，從而得到數學上的簡化［6-8］;第2種則是借助于積分變換及數值反演技術或直接采用數值模擬手段對控制方程進行耦合求解［9-11］.從工程角度來看，第1種處理方法可以得到便于分析的解析解，但由于其弱化了耦合項的作用，為此得到的相關結論具有一定的局限性，而第2種方法則可以給出計及耦合效應的熱彈性響應的分布規(guī)律，但在數值求解過程中無法避免的離散誤差和截斷誤差將導致溫度場和應力場的波動效應無法充分展現，同時也不便于深入研究各種因素對熱彈性響應的影響［12］.為此，文中基于L-S廣義熱彈性理論，在現有研究的基礎上，針對熱沖擊問題的瞬時特性，借助于積分變換的極限性質，推導計及非傅里葉效應以及變形率與溫度間耦合效應的一維熱彈性響應的漸進解.通過求解分析，得到快速加熱條件下熱彈性響應的分布規(guī)律，并給出延遲項和耦合項對熱彈性響應的影響規(guī)律.

1 問題的數學描述

考慮一均質、各向同性，初始時刻均勻分布溫度T0的半無限大體，當t＞0時刻，邊界突然施加一個溫度為T1的作用，如圖1所示.

圖1 半無限體的熱沖擊問題示意圖

根據材料的本構關系可有

式中:u(x，t)為彈性體的位移;T(x，t)為彈性體的溫度分布.

根據L-S理論，考慮加熱過程中的非傅里葉效應和熱力耦合效應，在描述位移場和溫度場的控制方程中引入延遲項和耦合項，則可得到如下的描述熱沖擊問題的廣義耦合熱彈性控制方程:

相應的初始、邊界條件為

式中H(t)為單位Heaviside函數.

2 熱彈性響應的耦合求解

2.1 控制方程的量綱一化

為了便于分析，引入以下量綱一變量:

式中ε和δ分別表征延遲和耦合效應的量綱一特征參量.

將上述量綱一變量分別代入控制方程(3)和(4)以及初始、邊界條件(5)和(6)中，進行量綱一化可得(為了便于表達去掉量綱一變量右上角的星號)

相應的量綱一應力可寫成如下的形式:

2.2 變換域內控制方程的求解

分別對量綱一化的控制方程(8)和(9)進行

式中ri為系數方程r4-s［(1+εs)(1+ δ)+s］r2+s3(1+εs)=0的特征根.

根據邊界條件:當 ξ→0 時，φ(ξ，s)和 φ'(ξ，s)均為零，由此可推得通解(17)中所有正實數根所對應的系數均為0，則其通解可改寫為

式中Laplace變換可得

式中 φ(ξ，s)為)或

方程(16)為一4階齊次微分方程，其通解可寫成如下的形式:

為系數方程的兩負實數根.

分別結合ˉ(ξ，s)和所對應的邊界條件，可得到變換域內溫度場和位移場的表示式為

采用同樣的推導方法對方程(12)和(13)進行求解，可得到變換域內熱應力場的表示式為

2.3 時間域內控制方程的漸進求解

理論上，只要分別對式(19)-(22)進行Laplace逆變換，即可得到時間域內熱彈性響應的表達式，而實際問題中由于表達式過于復雜，無法采用解析的方法獲取其逆變換解.但考慮到熱沖擊的瞬時特性，其作用周期及其短暫，而基于延遲特性誘發(fā)的非傅里葉效應以及變形與溫度場之間的耦合效應主要對加熱過程的初始動態(tài)響應產生影響［12］，當外部熱作用時間急劇縮短時，表征熱沖擊行為的作用周期也隨之縮短.

根據Laplace變換的性質可知，當響應時間t取小值時，其影像s取大值，當s→∞時，通過適當整理可將表達式(19)-(22)的各項近似寫成如下形式:

將式(23)分別代入式(19)-(22)中進行整理，則可得便于逆變換的形式，通過逆變換可得到t取小值時熱彈性響應的解析表達式:

3 求解與分析

根據式(24)-(27)可知，在快速加熱條件下，當考慮熱量傳播的延遲特性后，由外部熱擾動作用形成的沖擊效果以波的形式向前傳播，且溫度場、位移場和應力變場的建立均由波速為和的2組彈性波疊加而成.由k1和k2的表達式可知，波速的大小由表征延遲和耦合效應的特征系數ε和δ確定.通過計算，常溫下金屬材料鋁和不銹鋼的ε值分別為 4.14 和 0.564，δ值分別為 0.021 和0.026，而對于多孔材料和高分子材料而言其ε和δ要比常規(guī)金屬大上1個量級［13］，為此，為了便于揭示常規(guī)材料在溫變載荷作用下的熱沖擊特性，其表征延遲和耦合效果的特征參量ε和δ的分別在(0，3)和(0，1)區(qū)間取值.

圖2給出的是在不同δ條件下，彈性波波速隨特征參量ε的變化規(guī)律.隨著ε的增加，延遲效果增大，v1和v2均呈現遞減的趨勢，當ε→0時，v1→1，而v2→∞，延遲效果對速度為v2的彈性波失效，相應的彈性體內各物理場將隨著外部熱擾動而同步響應，此時的熱量的傳遞退化為常規(guī)的傅里葉導熱.結合圖3還可以看到，耦合效果對2組波波速的影響有所不同的，隨著δ的增大，v1逐漸減小，而v2則增大，這表明耦合效果對于熱彈性響應的影響較為復雜.

圖2 不同δ下彈性波波速隨ε的分布

圖3 不同δ下溫度場、位移場和應力場隨時間的變化曲線

圖3分別給出了在特征參量ε=3.0時，彈性體內ξ=1.0位置處在不同δ條件下，溫度場、位移場和應力場的分布曲線.由前面的分析可知，各個物理場的建立分別是由速度不同的2組彈性波的疊加而成.從圖中可以看到，由于延遲效應的存在，彈性體內熱彈性響應不再與外部擾動同步，在τ＜k2時，由于彈性波前尚未到達該區(qū)域，各物理場尚未建立;當τ=k2時，速度為v2的彈性波波先到達該區(qū)域，受其影響，該區(qū)域的溫度和應力劇烈變化，形成一次階躍現象;隨后當τ=k1時，速度為v1的彈性波波前也到達該區(qū)域，在其影響下，該區(qū)域的溫度和應力再次突變，形成2次階躍現象.由此可知，在彈性波傳播過程中，由于波速的不同，先后在彈性體內形成2次階躍.結合圖2可知，由于耦合效應對2組彈性波的波速影響不同，在2組彈性波疊加下，耦合效應對于熱彈性響應的影響則體現在2次階躍出現的時機、間隔以及峰值大小之上.隨著δ的減小，2次階躍的間隔逐漸縮短，相應的形成的溫度和應力峰值逐漸增大.

圖4給出了在特征參量 ε=3.0，δ=1.0時，彈性體溫度場和應力場的分布.從圖中可以清楚地看到彈性波在彈性體內的傳播過程，當τ=1.0時，彈性波波前分別到達ξ1=k1和ξ2=k2處，并先后形成2次階躍，隨著彈性波的傳播，階躍不斷向彈性體內部推移，在推移的過程中階躍的間隔范圍逐漸增大，相應地彈性波的疊加區(qū)域也逐漸增大，彈性體內各物理場逐漸趨向連續(xù)的分布.

圖4 彈性體內溫度場和應力場的分布

圖5給出了延遲和耦合效應對彈性體內溫度場和應力場的影響.從圖5a給出的溫度場分布的影響可以看到，當ε=0時，熱量在彈性體內的傳遞遵循傅里葉導熱規(guī)律，溫度場呈現連續(xù)分布，當ε＞0時，溫度場的建立產生延遲，在延遲效應下，溫度呈現階躍性分布，且隨著δ的增大，延遲效果和階躍效果逐漸減弱，這說明耦合效應將削弱由延遲效應帶來的影響.對于圖5b應力的分布而言，延遲效應的存在除了使應力場呈現階躍分布外，還使應力峰值減小，這表明延遲效應在一定程度上削弱了熱沖擊的作用效果.

圖5 延遲和耦合效應對熱彈性響應的影響

4 結論

1)當外部熱擾動的作用周期急劇縮短時，熱量在彈性體內將以有限的波速傳播，溫度場的建立將滯后于熱擾動，這種延遲效應的存在將導致溫度場的分布呈現階躍式分布，并在溫度波波前所到達區(qū)域形成巨大的溫度梯度.受其影響，在相同區(qū)域將形成尖峰應力，但由于彈性波之間的相互疊加，削弱了熱沖擊的作用效果，即盡管由于延遲效應的存在造成熱量在局部區(qū)域內積聚，但總的熱沖擊效果卻由于彈性波的相互吸收作用而減弱，這也是在研究快速加熱或冷卻問題時需要特別重視的地方.

2)由變形率與溫度場之間的耦合效應對于熱彈性響應產生顯著的響應，且隨著耦合作用的增大，影響程度越顯著，同時當延遲效應存在時，耦合效應的存在將削弱延遲效應帶來的影響，這表明在分析非傅里葉效應下的熱沖擊行為時，要計入耦合效應的影響效果.

References)

［1］張 浙，劉登瀛.超急速傳熱時球體內非穩(wěn)態(tài)熱傳導的非傅里葉效應［J］.工程熱物理學報，1998，19(5):601-605.Zhang Zhe，Liu Dengying.Non-Fourier effects in rapid transient heat conduction in a spherical medium［J］.Journal of Engineering Thermophysics，1998，19(5):601-605.(in Chinese)

［2］Moosaie A.Non-Fourier heat conduction in a finite medium with insulated boundaries and arbitrary initial conditions［J］.International Communications in Heat and Mass Transfer，2008，35(1):103-111.

［3］Lord H M，Shulman Y.A generalized dynamical theory of thermoelasticity［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1967，15(5):299-309.

［4］Green A E，Lindsay K A.Thermoelasticity［J］.Journal of Elasticity，1972，2(1):1-7.

［5］Green A E，Naghdi P M.Thermoelasticity without energy dissipation［J］.Journal of Elasticity，1993，31(3):189-208.

［6］Huang H M，Su F，Sun Y.Thermal shock of semi-infinite body with multi-pulsed intense laser radiation［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2010，23(2):175-180.

［7］Yilbas B S，Al-Aqeel N.Analytical investigation into laser pulse heating and thermal stresses［J］.Optics and Laser Technology，2009，41(2):132-139.

［8］王穎澤，張小兵，葛風華.急速熱沖擊作用下實心球體的熱彈性響應分析［J］.江蘇大學學報:自然科學版，2012，33(4):414-419.Wang Yingze，Zhang Xiaobing，Ge Fenghua.Thermoelastic response of a solid sphere under transient thermal shock［J］.Journal of Jiangsu University:Natural Science Edition，2012，33(4):414-419.(in Chinese)［9］Tian X G，Shen Y P.Study on generalized magnetothermoelastic problems by FEM in time domain［J］.Acta Mech Sinica，2005，21(4):380-387.

［10］Wang X，Xu X.Thermoelastic wave induced by pulsed laser heating［J］.Applied Physics A:Materials Science and Processing，2001，73(1):107-114.

［11］Bagri A，Eslami M R.A unified generalized thermoelasticity solution for cylinders and spheres［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2007，49(12):1325-1335.

［12］Wang Y Z，Zhang X B，Song X N.A unified generalized thermoelasticity solution for the transient thermal shock problem［J］.Acta Mechanica，2012，223(4):735-743.

［13］王洪鋼.熱彈性力學概論［M］.北京:清華大學出版社，1989.