上官宏，劉 祎，張 權(quán)，桂志國(guó)＋

（1.中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051；2.中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051）

0 引 言

正電子發(fā)射斷層成像（positron emission tomography，PET），融合了核物理學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、醫(yī)學(xué)影像學(xué)和分子生物學(xué)等前沿學(xué)科，能夠代表現(xiàn)今核醫(yī)學(xué)技術(shù)的先進(jìn)水平，在腦功能成像和癌癥的早期診斷中提供重要的檢測(cè)信息［1，2］。Bayesian理論指出，MAP算法在ML類算法的基礎(chǔ)上添加一項(xiàng)正則化約束即先驗(yàn)分布信息，能夠更加準(zhǔn)確的描述投影數(shù)據(jù)的物理模型。但是先驗(yàn)信息選取不當(dāng)時(shí)，則可能影響重建圖像的平滑、邊緣及噪聲特性。所以如何準(zhǔn)確地描述先驗(yàn)信息，對(duì)PET 重建具有非常重要的意義［3－5］。1982年，Shepp和Vardi首先提出了MLEM 算法，該算法能夠考慮系統(tǒng)的物理效應(yīng)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，但速度較慢容易產(chǎn)生棋盤效應(yīng)。2007年，Yan提出了迭代間各向異性擴(kuò)散濾波的正則化MLEM（MLEM－PDE），該算法在去除噪聲的同時(shí)，能很好的保持圖像的邊緣信息。但是MLEM－PDE所采用的P－M（Perona－Malik）擴(kuò)散模型僅考慮圖像的梯度信息，無(wú)法有效保持低梯度值處的細(xì)節(jié)信息，且對(duì)孤立噪聲的去除效果不佳［5－9］。本文提出了一種結(jié)合圖像灰度方差的正逆各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型，該模型采用圖像的梯度算子和局部灰度方差共同表征圖像的特征，同時(shí)考慮前向擴(kuò)散和后向擴(kuò)散，對(duì)圖像的不同區(qū)域進(jìn)行不同的處理。此外，在模糊理論的基礎(chǔ)上改進(jìn)了MLEM－PDE 算法，形成了基于灰度方差和正逆擴(kuò)散結(jié)合的優(yōu)質(zhì)PET 重建算法（GVFAB－PML）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新算法克服了傳統(tǒng)模型造成的過(guò)度平滑，重建出更加優(yōu)質(zhì)的圖像。

1 基本理論

1.1 PET統(tǒng)計(jì)模型

1982年，Shepp和Vardi首先提出了觀測(cè)數(shù)據(jù)的泊松模型，在PET 重建中，采用的離散模型形式為

式中：y＝［y1，y1，…，yN］T表示觀測(cè)投影數(shù)據(jù)；f＝［f1，f2，…，fM］T表示圖像向量，H 為系統(tǒng)矩陣，ε為非泊松噪聲。基于最大似然估計(jì)理論，MLEM 算法表示為

1.2 P－M 擴(kuò)散模型

各向異性擴(kuò)散濾波器源于經(jīng)典的熱傳導(dǎo)方程，Perona和Malik提出的各向異性擴(kuò)散模型如下式所示

這里f是梯度算子，g（ f ）為控制擴(kuò)散強(qiáng)度的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)。1990年，Perona和Malik提出

2002年，Gilboa等提出正逆各向異性擴(kuò)散模型，把圖像中梯度較大的地方定義為邊緣；梯度較低的部分定義為背景和噪聲，對(duì)圖像的不同區(qū)域進(jìn)行不同的處理。其表達(dá)式如下

式中：Kf——正向擴(kuò)散閾值與K 作用相同大致相同，Kb——逆向擴(kuò)散中心點(diǎn)，與ω共同控制后向擴(kuò)散的作用范圍，α調(diào)節(jié)正向和逆向擴(kuò)散的比重。

1.3 非局部MRF二次先驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

2005年，Buades等最先提出了NL－Means算法，基本思想是：當(dāng)前像素值由圖像中所有與它結(jié)構(gòu)相似的像素加權(quán)平均得到。2009 年，Chen等［10］基于非局部均值思想設(shè)計(jì)了一種非局部MRF二次先驗(yàn)?zāi)Ｐ停缦率?/p>

式中：UNL——先驗(yàn)?zāi)芰?，ωkj＿NL——非局部像素k和像素j之間的權(quán)值，Z（k）——配分函數(shù)。

2 重建算法

2.1 結(jié)合圖像灰度方差的正逆各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型

針對(duì)正逆各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型僅考慮圖像梯度信息的不足，本文將2010年Chao［11，12］提出的圖像灰度方差引入擴(kuò)散模型，用圖像灰度方差和梯度共同表征圖像的特征。認(rèn)為邊緣鄰域內(nèi)的梯度值和灰度方差都比較大，而背景區(qū)和含有豐富細(xì)節(jié)處的梯度值比較小，但后者處灰度方差要明顯大于前者。為了防止細(xì)節(jié)信息丟失，提出的改進(jìn)擴(kuò)散模型如下所示

記f 為圖像的灰度值，在3×3鄰域中計(jì)算其灰度方差

式中：珚f——3×3鄰域中的平均灰度。因?yàn)榛叶确讲畹姆秶@著大于梯度的范圍，將灰度方差按比例縮小，使灰度方差和梯度相互兼容。對(duì)于一個(gè)8位灰度圖像，標(biāo)準(zhǔn)化方差定義為

2.2 基于灰度方差和正逆擴(kuò)散結(jié)合的優(yōu)質(zhì)PET重建算法

傳統(tǒng)最大似然算法考慮了系統(tǒng)的物理模型和觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特性，重建結(jié)果較FBP 算法更加優(yōu)越。但隨迭代次數(shù)增加，MLEM 棋盤效應(yīng)嚴(yán)重，重建結(jié)果不穩(wěn)定導(dǎo)致圖像退化。針對(duì)此問(wèn)題，本文使用先驗(yàn)懲罰項(xiàng)對(duì)MLEM 算法進(jìn)行約束，提出了基于灰度方差和正逆擴(kuò)散結(jié)合的優(yōu)質(zhì)PET重建算法（GVFAB－PML）。每次迭代重建之前，先對(duì)當(dāng)前重建圖像進(jìn)行正逆擴(kuò)散濾波，然后將Chen 等［12］提出的MRF先驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵氲阶畲笏迫凰惴ㄖ校捎脩土P最大似然算法重建。該算法主要分為兩大步驟：

（1）基于改進(jìn)正逆擴(kuò)散模型的各向異性擴(kuò)散

（2）PML重建算法

若將MRF非局部二次先驗(yàn)?zāi)Ｐ妥鳛閼土P項(xiàng)引入到最大似然算法中，則目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

繼而，得出其迭代更新方程

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 實(shí) 驗(yàn)

本文采用Matlab2008進(jìn)行算法仿真，利用兩組體模數(shù)據(jù)進(jìn)行重建：體模1為shepp－logan頭部剖面模型；體模2為Thorax胸腔截面模型，體模大小均為128×128，投影數(shù)據(jù)Sinogram 光子總量近似為1.01×106，投影參數(shù)為：128×128，即128個(gè)投影方向（均勻分布在0°～180°內(nèi)）并且每個(gè)方向上有128個(gè)探測(cè)器對(duì)。系統(tǒng)矩陣A 經(jīng)過(guò)歸一化處理，其規(guī)模為（128×128）×（128×128）。在仿真實(shí)驗(yàn)中，算法的參數(shù)都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和重建結(jié)果手動(dòng)設(shè)定的最優(yōu)值。本文所有方法迭代次數(shù)為100，全局控制參數(shù)設(shè)為0.9105，鄰域窗口大小為3×3。體模數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)如圖1所示。

本文設(shè)計(jì)了一系列仿真實(shí)驗(yàn)，來(lái)驗(yàn)證算法有效性，本文算法GVFAB－PML、PML－PDE 與NL－PML，以及傳統(tǒng)的MAP、MLEM 等的重建結(jié)果如圖2、圖4所示，各迭代算法重建結(jié)果的局部放大圖如圖3所示。比較圖2（a）～圖2（g）和圖4（a）～圖4（g）可以看出，GVFAB－PML、PMLPDE、NL－PML重建效果較傳統(tǒng)算法優(yōu)越性顯著，可見(jiàn)各項(xiàng)異性擴(kuò)散思想的引入極大的改善了重建圖像質(zhì)量。比較圖2（d）～圖2（f）和圖4（d）～圖4（f）可知GVFAB－PML、PML－PDE、NL－PML噪聲平滑效果都比較好，其中新算法GVFAB－PML去噪效果最好，重建圖像與真實(shí)圖像很接近。在邊緣保持方面，比較圖3（d）～圖3（f）可以看出，NL－PDE算法中間的細(xì)小物體部分有大量偽影產(chǎn)生邊緣不清晰。PML－PDE算法破壞了物體的邊緣結(jié)構(gòu)，特別是中間的細(xì)小部分產(chǎn)生了明顯的形變。GVFAB－PML算法相對(duì)而言能較好的保持邊緣，基本保留原有特征。綜上，新算法GVFAB－PML在噪聲去除和邊緣保持方面表現(xiàn)良好，具有優(yōu)越性。

圖1 體模數(shù)據(jù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)

圖2 體模1各重建算法結(jié)果

圖3 體模1各重建算法結(jié)果局部放大

圖4 體模2各重建算法結(jié)果

3.2 重建結(jié)果量化分析

本文采用均方誤差（root mean squared error，RMSE）和信噪比（signal to noise ratio，SNR）來(lái)量化分析各重建算法的性能

從圖5（a）可知，本文算法GVFAB－PML具有最小的均方誤差，這說(shuō)明它的重建結(jié)果與原始圖像最接近。且隨著迭代次數(shù)的增加，曲線趨于平穩(wěn)。同理從圖5（b）可以看出，GVFAB－PML算法信噪比最大，在多次迭代后仍然具有較好的噪聲特性，逐漸收斂趨于平穩(wěn)，算法優(yōu)越性得到直觀體現(xiàn)。為了更加清楚的描述各質(zhì)量參數(shù)，表1給出了本文所用重建算法的量化數(shù)據(jù)。

分析表1可知，由于各項(xiàng)異性擴(kuò)散思想的引入，GVFAB－PML、PML－PDE算法較NL－PDE，以及傳統(tǒng)的MAP、MLEM 算法在噪聲平滑方面有大幅度的改善。與其它幾種算法相比，NL－PML 算法的去噪表現(xiàn)非常優(yōu)異，量化的反映了非局部均值濾波和各向異性擴(kuò)散算法在降噪方面的優(yōu)越性。同理分析均方誤差，MAP算法均方誤差值很大，說(shuō)明邊緣細(xì)節(jié)信息丟失，偽影嚴(yán)重。GVFAB－PML、PML－PDE算法較NL－PML，以及傳統(tǒng)的MAP、MLEM 的重建質(zhì)量得到改善，細(xì)節(jié)更加清晰。從表中數(shù)據(jù)可以看出，本文算法GVFAB－PML 在細(xì)節(jié)保持方面的改善最為明顯。綜上分析，GVFAB－PML算法在圖像質(zhì)量改善和噪聲平滑方面都有改進(jìn)，算法可行性得到驗(yàn)證。

圖5 各重建算法評(píng)估參數(shù)變化曲線

表1 圖1中所示重建圖像的評(píng)估對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種結(jié)合圖像灰度方差的正逆各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型，該模型采用圖像的梯度算子和局部灰度方差共同表征圖像的特征，同時(shí)考慮正向擴(kuò)散和逆向擴(kuò)散，對(duì)圖像的不同區(qū)域進(jìn)行不同的處理。文中GVFAB－PML 算法，結(jié)合了模糊理論和各向異性擴(kuò)散的優(yōu)點(diǎn)，克服了傳統(tǒng)模型造成的過(guò)度平滑，保留了細(xì)節(jié)信息。

設(shè)計(jì)了一系列仿真實(shí)驗(yàn)，來(lái)驗(yàn)證所提算法的優(yōu)越性。給出了整體和局部對(duì)比圖，對(duì)比分析了各算法的噪聲平滑效果及細(xì)節(jié)特性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，無(wú)論從視覺(jué)效果還是客觀準(zhǔn)則來(lái)看，GVFAB－PML 算法在圖像質(zhì)量改善和噪聲平滑方面都有改進(jìn)，算法可行有效。

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