歐松林，李金海，袁建國(guó)，孫金海，閻躍鵬

（1.重慶郵電大學(xué) 光纖通信技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065；2.中國(guó)科學(xué)院微電子研究所，北京100029）

0 引 言

GNSS（global navigation satellite system）的捕獲系統(tǒng)通常包括相關(guān)峰的計(jì)算、信噪比的提升、檢測(cè)與判決3個(gè)部分，而檢測(cè)與判決部分的作用是判斷系統(tǒng)是否捕獲到信號(hào)以及確定系統(tǒng)的檢測(cè)概率。檢測(cè)與判決部分通常包含很多種形式，如單次檢測(cè)、多次的唐檢測(cè)以及系統(tǒng)檢測(cè)等。

文獻(xiàn)［1－7］主要闡述了單次檢測(cè)和唐檢測(cè)的檢測(cè)概率并給出了相關(guān)的性能分析，但這些檢測(cè)判決的分析卻沒(méi)有結(jié)合整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析。系統(tǒng)檢測(cè)概率是整個(gè)捕獲系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)的一個(gè)重要指標(biāo)，它不僅依賴(lài)于系統(tǒng)中每個(gè)單元的單次檢測(cè)概率，而且還和捕獲策略息息相關(guān)。系統(tǒng)檢測(cè)分析方法最早來(lái)源于擴(kuò)頻通信中關(guān)于檢測(cè)概率的討論，文獻(xiàn)［8，9］首先提出了擴(kuò)頻通信中最大值檢測(cè)算法，接著文獻(xiàn)［10］將最大值分析方法引入到GNSS系統(tǒng)中，主要分析了最大值捕獲策略下的系統(tǒng)檢測(cè)概率、系統(tǒng)漏檢概率等。但最大值策略下的系統(tǒng)性能卻不太理想，存在系統(tǒng)檢測(cè)概率較低和系統(tǒng)漏檢概率高的問(wèn)題。

為了解決這一問(wèn)題，本文首先分析了單次檢測(cè)概率和虛警概率，然后從概率的角度以最大值捕獲策略為例分析了GNSS的系統(tǒng)檢測(cè)概率、系統(tǒng)漏檢概率、系統(tǒng)虛警概率；最后本文提出了兩種常見(jiàn)GNSS系統(tǒng)中關(guān)于檢測(cè)概率低和漏檢概率高這一問(wèn)題的解決方法，并給出了相應(yīng)的仿真結(jié)果。

1 單次檢測(cè)與判決

假設(shè)事件H0表示檢測(cè)衛(wèi)星不存在，輸入信號(hào)中僅有噪聲；H1表示檢測(cè)衛(wèi)星存在，輸入信號(hào)中既有信號(hào)部分也有噪聲部分；同時(shí)假設(shè)單次檢測(cè)的門(mén)限值為Vt。這樣單次檢測(cè)概率和單次虛警概率可以表示成如下形式［1］

由文獻(xiàn)［2］可知采用平方律檢波時(shí)f（x｜H1）是服從非中心卡方分布，f（x｜H0）是服從中心卡方分布，因此可以用信噪比來(lái)表示上述關(guān)系，得到如下表達(dá)式

從而得到單次檢測(cè)門(mén)限值為

將式（4）代入式（2）可以得到檢測(cè)概率的表達(dá)式

式中：A2／σ2和信噪比SNR 是由直接關(guān)系的，而這個(gè)信噪比又和相干積分時(shí)間是由關(guān)系的，因此就直接把相干積分時(shí)間、信噪比和檢測(cè)概率相互聯(lián)系了起來(lái)，其表達(dá)式為

式中：I0（·）——修正的第一類(lèi)零階貝塞爾（Bessel）函數(shù)，Qk——廣義k階Marcum Q 函數(shù)。

2 系統(tǒng)檢測(cè)與判決

對(duì)GNSS系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，捕獲是一個(gè)對(duì)多普勒頻移和碼相位的二維搜索過(guò)程。假設(shè)碼相位的個(gè)數(shù)為H，多普勒頻的個(gè)數(shù)為L(zhǎng)，系統(tǒng)的捕獲過(guò)程相當(dāng)于要檢測(cè)一個(gè)由M＝HL 個(gè)單元組成的整體，其中每個(gè)單元都具有和單次檢測(cè)相同的檢測(cè)概率pd、虛警概率pf。我們定義系統(tǒng)檢測(cè)概率為PD，系統(tǒng)虛警概率為PFA，系統(tǒng)漏檢概率為PMD，在下文中將采用PD、PMD和PFA為主要指標(biāo)對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行評(píng)價(jià)。為了更好的建模分析，假設(shè)概率分布符合如下約束：

（1）符合H1分布的單元最多只有一個(gè)，這個(gè)單元被記為XA，這就意味著在整個(gè)搜索空間中只有一個(gè)XA，其概率分布為fA（x）；

（2）除去符合XA的單元，其余的單元隨機(jī)變量符合假設(shè)H0，這些單元被記為Xn，其概率分布為f0（x）；

（3）隨機(jī)變量XA均勻分布在整個(gè)搜索空間中，其出現(xiàn)在任意一個(gè)單元中的概率為1／M；

（4）搜索空間中的所有單元都是相互獨(dú)立的。

基于上面的假設(shè)，本文以最大值捕獲策略為例，分析GNSS的系統(tǒng)檢測(cè)與判決。所謂最大值捕獲策略就是計(jì)算出整個(gè)搜索空間中所有碼相位和多普勒頻移的相關(guān)函數(shù)，找出其中的最大值，并對(duì)最大的相關(guān)峰進(jìn)行判決。如果相關(guān)峰的最大值比門(mén)限值大，那么就認(rèn)為衛(wèi)星被捕獲到，并且通過(guò)相關(guān)峰出現(xiàn)的位置可以計(jì)算出碼相位和多普勒頻移。

2.1 最大值捕獲策略的系統(tǒng)檢測(cè)概率

從上面的最大值捕獲介紹中可以看出如果采用最大值捕獲，只有當(dāng)XA所在的相關(guān)峰為整個(gè)搜索空間中的最大值且這個(gè)值超過(guò)門(mén)限值時(shí)，才能被系統(tǒng)檢測(cè)到。因此系統(tǒng)檢測(cè)概率PD可以寫(xiě)成如下形式

式中：Vt——判決門(mén)限。從XA的定義中可以知道當(dāng)XA的值是最大值，同時(shí)其值大于或者等于其它所有隨機(jī)變量時(shí)上式可以取等號(hào)，因此有下式

由式（6）、式（7）可以得到

從上面得到的隨機(jī)變量的分布可以得到檢測(cè)概率的表達(dá)式如下

式中：除了XA＝Xn的一項(xiàng)外，其它的M－1 項(xiàng)都相等，所以式（9）中的相等項(xiàng)可以寫(xiě)成

當(dāng)XA＝Xn時(shí)，其表達(dá)式為

因此系統(tǒng)檢測(cè)概率為

當(dāng)Pf（Vt）非常小且M 非常大時(shí)，檢測(cè)概率可以簡(jiǎn)化成如下形式

2.2 最大值捕獲策略的系統(tǒng)漏檢概率

系統(tǒng)漏檢出現(xiàn)在衛(wèi)星存在卻沒(méi)有被檢測(cè)到，換句話(huà)說(shuō)就是每個(gè)單元的相關(guān)峰值都比門(mén)限值小時(shí)才會(huì)發(fā)生漏檢。這時(shí)漏檢概率跟采用的捕獲策略無(wú)關(guān)，因此系統(tǒng)的漏檢概率可以表示為

式中的乘積項(xiàng)同樣有M－1項(xiàng)相同，它們是XA不在的單元，另外一項(xiàng)是XA＝Xn時(shí)的單元，所以可以得到下式

所以系統(tǒng)的漏檢概率可以表示成

2.3 最大值捕獲策略的系統(tǒng)虛警概率

系統(tǒng)的虛警概率是指檢測(cè)判決輸出錯(cuò)誤的概率，這就意味著噪聲單元的相關(guān)峰值超過(guò)門(mén)限值。單次虛警概率通常指的是沒(méi)有信號(hào)時(shí)的虛警概率，而系統(tǒng)虛警概率除了沒(méi)有信號(hào)時(shí)的虛警概率外，還有信號(hào)存在時(shí)的虛警概率。為了避免相互混淆，我們用PaFA表示信號(hào)不存在時(shí)的虛警概率，用PpFA表示信號(hào)存在時(shí)的虛警概率。信號(hào)存在時(shí)的虛警概率指的是衛(wèi)星存在，但系統(tǒng)卻錯(cuò)誤的判決了衛(wèi)星信號(hào)存在的位置。本文分別給出了兩種系統(tǒng)虛警概率的表達(dá)式，首先分析信號(hào)不存在時(shí)的系統(tǒng)虛警概率。

最大值捕獲時(shí)，當(dāng)M 個(gè)單元的相關(guān)峰值超過(guò)門(mén)限值Vt時(shí)就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤判決，所以信號(hào)不存在時(shí)的系統(tǒng)虛警概率變?yōu)槿缦滦问?/p>

接著分析信號(hào)存在時(shí)的虛警概率。根據(jù)定義可知，當(dāng)信號(hào)存在時(shí)系統(tǒng)的虛警概率表明XA不是M 個(gè)單元的相關(guān)峰的最大值，但是最大相關(guān)峰值卻超過(guò)了門(mén)限值Vt。因此PpFA可以寫(xiě)成如下形式

由前面的概率分布可以將PpFA表示為

觀(guān)察式（18）可以發(fā)現(xiàn)式中的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)與前面關(guān)于系統(tǒng)檢測(cè)概率和系統(tǒng)漏檢概率的公式相同，因此PpFA可以簡(jiǎn)寫(xiě)成如下的形式

式 （19）和前文關(guān)于PpFA的定義是相一致的，即1－PD－PMD表示XA不是M 個(gè)單元的相關(guān)峰的最大值，但是最大相關(guān)峰值卻超過(guò)了門(mén)限值Vt。式 （19）說(shuō)明信號(hào)存在時(shí)的虛警概率只依賴(lài)于系統(tǒng)檢測(cè)概率和系統(tǒng)漏檢概率。

3 仿真分析

為了得到第二節(jié)中相關(guān)結(jié)論的仿真分析結(jié)果，需要知道單次檢測(cè)概率、單次虛警概率和概率密度分布，將式（3）、式（5）歸一化后可以得到單次檢測(cè)概率和單次虛警概率，式（20）則說(shuō)明了XA的概率密度分布

式中：λ——?dú)w一化后的信噪比，其值為λ＝2SNR，β是歸一化后的系統(tǒng)門(mén)限。

將式（20）、式（21）、式（22）代入式（12）可以得到最大值捕獲策略下的系統(tǒng)檢測(cè)概率

將式（21）、式（22）代入式（16）可以得到最大值捕獲策略下的系統(tǒng)漏檢概率

為了得到系統(tǒng)檢測(cè)概率、系統(tǒng)漏檢概率、有信號(hào)時(shí)的虛警概率和無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率之間的關(guān)系，本文采用蒙特卡洛仿真得到性能曲線(xiàn)。其中參數(shù)設(shè)置為載噪比取實(shí)際環(huán)境中常見(jiàn)的40dB－Hz，相干積分時(shí)間為1ms，仿真時(shí)采用的總的搜索單元M＝2046，即碼相位方格H＝186，多普勒頻移方格L＝11。

仿真分為兩步，首先假設(shè)一定的無(wú)信號(hào)時(shí)系統(tǒng)總的虛警概率，由式（17）可以得到各搜索策略下的單次虛警概率，將單次虛警概率代入式（21）得到門(mén)限值，從而由式（22）推出單次檢測(cè)概率；第二步將得到的單次虛警概率、單次檢測(cè)概率、門(mén)限值代入式（23）、式（24）可以得到最大值捕獲策略下的系統(tǒng)檢測(cè)概率和系統(tǒng)漏檢概率，然后畫(huà)出曲線(xiàn)得到圖1、圖2和圖3。為了能對(duì)比說(shuō)明最大值捕獲策略和其它捕獲策略的不同，我們?cè)趫D1到圖3中加入了順序捕獲策略的仿真結(jié)果，所謂順序捕獲就是按順序計(jì)算出每一個(gè)單元的相關(guān)峰，一旦一個(gè)單元的相關(guān)峰值被計(jì)算出來(lái)，則立刻與門(mén)限值進(jìn)行比較。如果相關(guān)峰值超過(guò)門(mén)限值，就認(rèn)為衛(wèi)星被捕獲到，其它剩余的搜索單元就停止搜索。

圖1 PaFA 和PpFA 之間的關(guān)系

圖2 PaFA 和PD 之間的關(guān)系

圖3 PaFA 和PMD 之間的關(guān)系

從圖1中可以看出有信號(hào)時(shí)的虛警概率隨著無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率的增加而增加，并且很明顯的可以看出對(duì)于任意門(mén)限值，無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率總是大于有信號(hào)時(shí)的虛警概率。造成這一現(xiàn)象的根本原因在于門(mén)限值是根據(jù)無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率推導(dǎo)出來(lái)的，而門(mén)限值對(duì)有信號(hào)時(shí)的虛警概率也有著巨大的影響。

衡量一個(gè)系統(tǒng)性能好壞的一個(gè)重要指標(biāo)就是ROC（receiver operating characteristic）曲 線(xiàn)，而 圖2 畫(huà) 出 了 系 統(tǒng) 檢測(cè)概率和無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率的ROC 曲線(xiàn)，圖3畫(huà)出了系統(tǒng)漏檢概率和無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率的ROC 曲線(xiàn)。從圖2中可以看出最大值捕獲的檢測(cè)概率隨著虛警概率的增加而增加，但順序捕獲的檢測(cè)概率卻隨著虛警概率的增加而減少，這說(shuō)明最大值捕獲的檢測(cè)概率和虛警概率同時(shí)隨著捕獲門(mén)限的減小而增大，也就是說(shuō)不能通過(guò)簡(jiǎn)單的改變門(mén)限值的設(shè)定而提高檢測(cè)性能，這個(gè)和單次檢測(cè)是的結(jié)論是一致的。而順序捕獲則正好相反，檢測(cè)概率和虛警概率隨著門(mén)限值的減小而減小。從圖3中可以看出系統(tǒng)的漏檢概率隨著虛警概率的增加而降低，虛警概率增加說(shuō)明系統(tǒng)錯(cuò)誤的檢測(cè)到了信號(hào)，那么漏檢概率必然減少。綜合圖2和圖3可以看出當(dāng)載噪比為40dB－Hz，系統(tǒng)虛警概率為0.05時(shí)，單次虛警概率為1×10－6，這個(gè)虛警概率在單次檢測(cè)中性能良好。但我們發(fā)現(xiàn)這時(shí)的系統(tǒng)檢測(cè)概率卻僅為47%，而系統(tǒng)的漏檢概率卻高達(dá)45%，很顯然這種程度的性能指標(biāo)對(duì)于GNSS接收機(jī)的捕獲系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是不能接受的。為了解決這一問(wèn)題，本文提出了以下兩種方法。

其中一種方法是提高整個(gè)系統(tǒng)的接收載噪比，具體方法可以通過(guò)延長(zhǎng)相干積分時(shí)間、增加非相干積分次數(shù)以及引入差分相干來(lái)實(shí)現(xiàn)。根據(jù)相干積分、非相干積分的理論可知，多增加一倍的相干積分時(shí)間就能夠得到3dB 的信噪比增益，而增加兩倍非相干積分就能得到2.6dB 左右的信噪比增益。這種方法相對(duì)于普通的GNSS接收機(jī)來(lái)說(shuō)僅僅增加了幾毫秒的總積分時(shí)間，基本上不影響定位時(shí)間，因此該方案是可行的。我們改變系統(tǒng)的載噪比為42dB－Hz，其它參數(shù)不變，如圖4所示。

圖4 增加載噪比后PaFA 和PD 之間的關(guān)系

從圖4中可以明顯的看到載噪比為42dB－Hz、虛警概率為0.05 時(shí)，系統(tǒng)檢測(cè)概率接近90%，相對(duì)于載噪比40dB－Hz時(shí)，系統(tǒng)性能有了較為明顯的改善。這個(gè)檢測(cè)概率和虛警概率在普通的GNSS接收機(jī)系統(tǒng)中是可以接受的。很顯然隨著系統(tǒng)檢測(cè)概率的增加，系統(tǒng)的漏檢概率也會(huì)隨之降低。因此我們可以到以下結(jié)論：在同樣虛警概率的條件下，載噪比的提高不僅可以提高單次檢測(cè)概率，也能夠提高系統(tǒng)檢測(cè)概率。

另一種方法是在系統(tǒng)中結(jié)合多種檢測(cè)算法，如在系統(tǒng)檢測(cè)概率中增加唐檢測(cè)算法或者增加N 中取M 算法，在此僅分析增加唐檢測(cè)算法后的系統(tǒng)性能。以順序捕獲為例，增加唐檢測(cè)算法的流程如下：每個(gè)單元的單次檢測(cè)后的相關(guān)峰并不馬上與門(mén)限值進(jìn)行比較，而是在其后接上一個(gè)唐檢測(cè)算法模塊。如果相關(guān)峰值經(jīng)過(guò)多次搜索過(guò)后沒(méi)有達(dá)到門(mén)限值，則認(rèn)為信號(hào)捕獲失敗，繼續(xù)搜索下一個(gè)單元；反之如果唐檢測(cè)過(guò)程中相關(guān)峰值多次超過(guò)門(mén)限值，那么就認(rèn)為信號(hào)捕獲成功，然后終止整個(gè)系統(tǒng)的搜索。設(shè)置系統(tǒng)信噪比為40dB－Hz，其它參數(shù)和前文相同，如圖5所示。

圖5 增加唐檢測(cè)算法后PaFA 和PD 之間的關(guān)系

從圖5中可以看出增加唐檢測(cè)算法后，系統(tǒng)虛警概率為0.05時(shí)，系統(tǒng)的檢測(cè)概率已經(jīng)超過(guò)90%，這個(gè)方法比提高信噪比到42dB－Hz所獲得的系統(tǒng)性能改善還要大。就實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度而言，常見(jiàn)的GNSS接收機(jī)都會(huì)在單次檢測(cè)后增加捕獲確認(rèn)算法，可以采用多個(gè)通道同時(shí)并行處理。因此這種方法對(duì)于系統(tǒng)硬件來(lái)說(shuō)并沒(méi)有較大的改動(dòng)，僅需要針對(duì)每種不同的檢測(cè)策略對(duì)原有的唐檢測(cè)算法稍加改動(dòng)即可。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以最大值策略下的系統(tǒng)檢測(cè)概率、系統(tǒng)虛警概率和系統(tǒng)漏檢概率為研究對(duì)象，根據(jù)概率論的相關(guān)理論基礎(chǔ)，得到了系統(tǒng)檢測(cè)概率、系統(tǒng)虛警概率和系統(tǒng)漏檢概率的表達(dá)式，分析了其和單次檢測(cè)概率之間的關(guān)系，利用無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率推導(dǎo)出有信號(hào)時(shí)的虛警概率的表達(dá)式，在GNSS接收機(jī)的設(shè)計(jì)中必須要考慮到這兩種虛警概率共同的影響。最后利用蒙特卡洛方法進(jìn)行了MATLAB 仿真，得到如下結(jié)論：

（1）捕獲策略不影響系統(tǒng)的漏檢概率；

（2）有信號(hào)時(shí)的虛警概率隨著無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率的增加而增加，且對(duì)于任意門(mén)限值，無(wú)信號(hào)時(shí)的虛警概率總是大于有信號(hào)時(shí)的虛警概率；

（3）最大值捕獲的檢測(cè)概率隨著虛警概率的增加而增加，但順序捕獲的檢測(cè)概率卻隨著虛警概率的增加而減少。最大值捕獲的檢測(cè)概率和虛警概率同時(shí)隨著捕獲門(mén)限的減小而增大，而順序捕獲則正好相反。系統(tǒng)的漏檢概率隨著虛警概率的增加而降低；

（4）提高接收信號(hào)的載噪比和增加唐檢測(cè)算法都能夠明顯的提高系統(tǒng)的檢測(cè)性能和減少系統(tǒng)的漏檢概率。

文中得到的一系列結(jié)論為GNSS捕獲系統(tǒng)在實(shí)際環(huán)境中的運(yùn)用提供了一定的理論依據(jù)。

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