安 凱

（山東航天電子技術研究所，煙臺 264003）

0 引言

碎片云軸向最大速度（以下稱前端速度）是對航天器內部儀器設備毀傷程度評價的一個重要因素。儀器設備的外殼能否被擊穿以及擊穿面積的大小都與碎片云的前端速度密切相關，而前端速度又與撞擊航天器外殼的空間碎片的速度大小以及航天器外殼的結構、材質與厚度等多種因素有關[1-8]。由于超高速碰撞發(fā)生在空間，要真實地獲取碎片云 前端速度極其困難，因此地面模擬試驗便成為獲取碎片云前端速度的主要途徑。地面模擬試驗主要手段是用二級輕氣炮發(fā)射彈丸撞擊靶板。影響碎片云前端速度的因素很多，至少包括彈丸直徑、彈丸速度和靶板厚度，即建立的碎片云前端速度模型至少應是一個三元函數(shù)。而多元函數(shù)的建模不僅需要更多的試驗樣本，運算的復雜度也更高，因此許多研究者采用無量綱化的方法，將多元函數(shù)建模問題轉換為一元函數(shù)建模問題。例如文獻[4]和文獻[5]將無量綱化變量V1/V0作為無量綱化變量t/D的函數(shù)，通過建立V1/V0的模型間接獲得V1的模型，則無量綱化模型的形式為V1/V0=[a(t/D)+b]c，式中：V1是碎片云的前端速度；t是靶板厚度；D是彈丸直徑；V0是彈丸撞擊速度；a、b和c是擬合樣本數(shù)據時的待定系數(shù)[8]。

無量綱化模型的一個明顯缺陷是，在t/D一定時V1/V0只能是一個常數(shù)。而文獻[3]中的試驗數(shù)據顯示，當t/D=0.026，V0分別為4.67 km/s、6.54 km/s、6.7 km/s 時，V1/V0分別為0.985、1.032、1.030?？梢娺@種“無量綱化”的方法與試驗數(shù)據存在一定差異，其原因就是獨立變量個數(shù)太少。本文將建立包含彈丸直徑、彈丸速度和靶板厚度3 個變量的碎片云前端速度三元函數(shù)，然后利用多元函數(shù)的擬合方法建立碎片云前端速度的預測模型。

1 試驗及相關數(shù)據

1.1 試驗數(shù)據

本文采用二級輕氣炮發(fā)射球形彈丸進行超高速撞擊試驗，彈丸材料為2017-T4 鋁合金，靶板材料采用6061-T6 單層鋁合金板（600 mm×600 mm）。試驗進行了6 次，并采用閃光X 射線高速攝影機全程拍攝撞擊過程。試驗數(shù)據見表1。

表1 6 次超高速撞擊試驗數(shù)據Table 1 Data of six hypervelocity collision tests

1.2 相關數(shù)據

文獻[3]給出了一組二級輕氣炮的超高速撞擊試驗數(shù)據，試驗所采用的2017-T4 鋁合金球形彈丸的直徑分別為6.35 mm、9.53 mm 和12.70 mm，6061-T6 鋁合金單層靶板的厚徑比t/D及試驗數(shù)據見表2[3]。

由表2的數(shù)據計算可得出V1和t，最終獲得建模所需要的4 個獨立變量（t、D、V0、V1），見表3。在用表2中的樣本序號數(shù)據計算所得結果填入表3中時，只是將表2中序號分別為4、9 和16 的樣本數(shù)據計算結果依次排在表3的最后，其余樣本數(shù)據及計算結果的相對排序維持不變。

表2 超高速撞擊試驗數(shù)據Table 2 Data of the hypervelocity collision test

表3 建模變量數(shù)據Table 3 Variables for model setting

續(xù)表3

考慮到模型預測精度的驗證問題，將試驗數(shù)據分為樣本數(shù)量不同的兩組，樣本較多的一組用來建立擬合模型，以保證用于建模的樣本中t/D有更多的值；而樣本較少的一組用來驗證所建立的模型。因此，選擇表3中的最后3 個樣本作為驗證樣本；用表3中的前22 個樣本以及表1的全部6 個樣本來建立擬合模型。

2 碎片云前端速度的模型及預測

2.1 前端速度模型的建立

在彈丸和靶板的材料一定時，碎片云前端速度V1主要取決于靶板材料厚度t、彈丸直徑D和撞擊速度V0，因此V1=f(t,D,V0)。

建立三元函數(shù)f(t,D,V0)的數(shù)值模型的關鍵是建模方法的選擇。神經網絡建模法雖然已經被證明具有很好的逼近效果，并在許多建模問題中得到應用[9]，但所建模型的學習時間太長，參數(shù)較多，改變彈丸和靶板材料后重新建模十分困難。而采用多元多項式逼近建模方法，只要函數(shù)在某一點展開的Taylor 級數(shù)足夠高，就可以無限逼近原函數(shù)。

一個三元函數(shù)的二階Taylor 展開式可以表示為

式中：aij，ai是f(t,D,V0)的二階Taylor 展開式的系數(shù)；c=f(0, 0, 0)。

式(1)可改寫成矩陣形式為

即稱之為三元二階多項式模型（以下簡稱多項式模型）。其中Ω=[a11a22a33a12a13a23a1a2a3c]。

分別以ti，Di，V0i和V1i(i=1,2,…,n)表示第i個試驗數(shù)據，并將這些數(shù)據代入式(2)得到：

記Y=[V11V12…V1n]T；

則有Y=AΩT。根據最小二乘法原理，使擬合的方均根誤差達到最小的解[10]為

為保證式(3)在det(Ω)=0 時仍然有解，不妨取ΩT=A+Y，其中A+表示矩陣A的廣義逆矩陣[8]。

式(2)為碎片云前端速度模型，是具有3 個獨立變量的函數(shù)。將表1和表3中的前22 個數(shù)據樣本代入該模型后得ΩT=[-0.0027 -0.0312 0.0124 0.9080 -0.0480 -0.0222 -8.6977 0.3590 1.1430 -0.5494]。

為了直觀地了解碎片云前端速度模型的擬合效果，圖1依次繪出了表1和表3的前22 個建模樣本點的前端速度，以及由碎片云前端速度模型計算得到的相應的前端速度的擬合值，可以看出絕大多數(shù)的擬合點都與原數(shù)據計算所獲得的前端速度點十分接近。

圖1 前端速度模型的擬合效果Fig.1 Fitting curves of the maximal axial velocity

2.2 前端速度的預測

為了檢驗多項式模型的建模精度，將表3中的最后3 個樣本作為驗證樣本代入模型，依次得到碎片云的前端速度的預測結果分別為6.745 2 km/s、7.401 3 km/s、6.520 2 km/s。而與其對應的3 個碎片云的前端速度的試驗值分別為6.901 0 km/s、7.608 8 km/s、6.586 5 km/s。結果顯示，這3 個預測結果的方均根誤差為0.154 6，平均相對誤差為1.99%。

3 多項式模型與無量綱化模型的比較

首先考慮無量綱化模型對于表3中的22 個建模樣本的擬合問題。當c為任意實數(shù)時這是一個不能線性化的非線性最小二乘問題，目前大多采用隨機搜索法來解決此類問題。為確定搜索的初始點，將無量綱化模型改寫為

這是一個關于t/D的線性模型，當V1/V0≠0 時而當a=0、b=1 時，等式(4)右端 的值是1，因此1/c應當在0 的附近尋求。

選擇a=0，b=1，c=10 作為初始條件，則目標函數(shù)為

其中V1i，V0i，ti和Di分別表示V1，V0，t和D的第i個樣本。利用文獻[11]所給出的二階段變半徑隨機搜索算法可以求得=±105，= (m10-5×0.830 9, 1±10-5×0.028 6)。

結果顯示，這3 個預測結果的方均根誤差為0.227 9，平均相對誤差為3.03%。

與多項式模型的預測結果對比可以看出，無量綱化模型無論預測結果的方均根誤差還是平均相對誤差都要來得大，而且本身不能轉化為線性模型，參數(shù)的求解十分復雜。

4 結束語

本文提出的預測碎片云前端速度的三元二階多項式模型屬于線性模型，因此其中的參數(shù)可以利用最小二乘法求解；但為避免非奇異問題，逆矩陣一律由廣義逆矩陣代替。該模型具有更強的泛化能力，可以更好地擬合試驗樣本，對前端速度具有更好的預測效果。

（References）

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