徐道臨，成傳望，周加喜

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

眾所周知，大多工程應(yīng)用上的產(chǎn)品都受到了振動(dòng)的破壞和影響［1］．使用被動(dòng)的減振器是我們常采用的減振方法［2］．減振系統(tǒng)發(fā)揮作用的前提條件是，外界的激擾頻率必須大于系統(tǒng)倍固有頻率［1－2］．由于隔振系統(tǒng)的固有頻率與彈簧的剛度成正比，所以彈簧的剛度越小，隔振系統(tǒng)的固有頻率也就越小，隔振頻帶被拓寬，但同時(shí)會(huì)帶來(lái)很大的靜位移，使得隔振系統(tǒng)容易不穩(wěn)定［3－4］．近幾十年來(lái)，人們嘗試用一種QZS隔振系統(tǒng)來(lái)解決這個(gè)弊端［5］．QZS系統(tǒng)具有較低的動(dòng)態(tài)剛度和較高的靜態(tài)剛度的特性，在靜平衡位置處的動(dòng)剛度為零［1－2，6］，滿足系統(tǒng)低的靜位移和低的固有頻率的特性．

實(shí)現(xiàn)QZS特性通常是并聯(lián)正剛度與負(fù)剛度機(jī)構(gòu)．準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的經(jīng)典設(shè)計(jì)形式是用兩根對(duì)稱傾斜的彈簧和豎直線性彈簧組合來(lái)實(shí)現(xiàn)［1－2，6］．其他的形式包括周加喜等［7］利用4 根斜彈簧和一根豎直彈簧組合．徐道臨等［8］采用氣動(dòng)式可調(diào)彈簧來(lái)設(shè)計(jì)QZS系統(tǒng)．Platus等［9］利用彈簧和受軸壓的梁進(jìn)行組合設(shè)計(jì)．使用正倒擺并聯(lián)［10］；利用具有軟彈簧特性的高度變形的擠壓環(huán)［11－12］．Carrella等［13－15］使用磁力彈簧的特性來(lái)設(shè)計(jì)QZS系統(tǒng)．徐道臨等［16］使用磁性彈簧制作QZS 系統(tǒng)，并用試驗(yàn)證明其具有良好的低頻隔振效果．

綜合以上隔振器的設(shè)計(jì)特點(diǎn)，本文提出一種新穎的QZS隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，該QZS 隔振系統(tǒng)由一塊屈曲的彈簧鋼板（負(fù)剛度）和一塊豎直橡膠墊（正剛度）組成．另外，屈曲的彈簧鋼板和橡膠墊之間裝配簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)緊湊，可調(diào)節(jié)，使用方便．

本文將給出該新型隔振系統(tǒng)的詳細(xì)設(shè)計(jì)方案．首先，基于Abaqus軟件分析和Matlab仿真，給出QZS隔振系統(tǒng)力與位移的近似表達(dá)式與系統(tǒng)的剛度曲線．其次，通過(guò)理論計(jì)算，找出系統(tǒng)準(zhǔn)零剛度的特性出現(xiàn)時(shí)，豎直橡膠墊需滿足的關(guān)系．最后，利用諧波平衡法，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，給出力傳遞率近似解析表達(dá)式，根據(jù)阻尼比對(duì)傳遞率的影響，評(píng)估系統(tǒng)的隔振性能．

1 準(zhǔn)零剛度隔振器模型

通常情況下，QZS系統(tǒng)特性的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)把正剛度單元和負(fù)剛度單元并聯(lián)起來(lái)．本文將屈曲的彈簧鋼板和豎直橡膠墊組合，設(shè)計(jì)一款新型準(zhǔn)零剛度隔振器，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1（不考慮被隔振設(shè)備）所示．

圖1 QZS系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Schematic representation of the QZS system

圖1描述的是準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的初始狀態(tài)，在A點(diǎn)，一塊剛度系數(shù)為k的無(wú)壓縮豎直橡膠墊與一塊屈曲的彈簧鋼板相連接．x表示被隔振設(shè)備從A點(diǎn)開始在豎直方向上所產(chǎn)生的位移．當(dāng)被隔振設(shè)備置于A點(diǎn)時(shí)，豎直的橡膠墊被壓縮，屈曲的彈簧鋼板向下產(chǎn)生位移．通過(guò)合理參數(shù)設(shè)計(jì)，在質(zhì)量塊的靜載作用下，當(dāng)A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，位移為x＝h時(shí)，B點(diǎn)就是該準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的靜平衡位置．此時(shí)，屈曲的彈簧鋼板面處于水平狀態(tài)．在這種情況下，被隔振設(shè)備的質(zhì)量完全由豎直橡膠墊所支撐．此時(shí)，屈曲的彈簧鋼板在垂直方向上提供負(fù)剛度，而豎直橡膠墊則提供正剛度，兩者屬于并聯(lián)關(guān)系．本文研究的重點(diǎn)是被隔振設(shè)備在靜平衡位置附近的微幅振動(dòng)情況．

根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖，建立其在靜載（被隔振設(shè)備）作用下處于平衡位置的實(shí)驗(yàn)裝置模型圖，如圖2所示．屈曲的彈簧鋼板上面放置著被隔振設(shè)備，其中鋼板的周邊被限制在一個(gè)調(diào)節(jié)箍環(huán)里，調(diào)節(jié)箍環(huán)放置在帶有凹槽的底座上．調(diào)節(jié)箍環(huán)的作用是調(diào)節(jié)鋼板的屈曲量大?。Q直的橡膠墊直接與鋼板接觸，并且下面連接著推力球軸承和調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)．底部調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)可以調(diào)節(jié)橡膠的預(yù)壓量，以便實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度條件．推力球軸承是為了減小調(diào)節(jié)的阻力．

圖2 QZS系統(tǒng)的模型圖Fig．2 The prototype of the QZS system

1．1 屈曲鋼板的Abaqus分析

考慮圖1所示的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，將中間的豎直橡膠墊移去，用Abaqus軟件分析屈曲鋼板（負(fù)剛度單元）的力學(xué)特性．符號(hào)h代表屈曲后的鋼板在初始狀態(tài)時(shí)從A點(diǎn)到B點(diǎn)的垂直距離．為了探索鋼板屈曲后的載荷與位移關(guān)系，設(shè)置鋼板的初始缺陷位移為0．2mm，并將鋼板的周邊進(jìn)行固定，加溫度場(chǎng)使鋼板屈曲，再給屈曲后的鋼板逐漸施加位移約束x，直至鋼板達(dá)到另一個(gè)屈曲的穩(wěn)態(tài)，在此過(guò)程中記錄約束力載荷f的變化情況．因此，可以得到約束力載荷f與位移x的關(guān)系曲線圖，進(jìn)一步求導(dǎo)得出屈曲鋼板的剛度曲線圖．屈曲鋼板的力與位移的關(guān)系曲線如圖3所示，剛度曲線如圖4所示．

圖3 屈曲鋼板的力與位移關(guān)系曲線圖Fig．3 Force－displacement of the buckling steel plate

圖4 屈曲鋼板的剛度曲線圖Fig．4 The stiffness of the buckling steel plate

從圖3和圖4中可以看到，彈簧鋼板屈曲之后，施加一個(gè)載荷，使之從一個(gè)屈曲穩(wěn)態(tài)跳到另一個(gè)穩(wěn)態(tài)時(shí)，屈曲的鋼板出現(xiàn)了負(fù)剛度的特性．

1．2 屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)的Abaqus分析

同時(shí)考慮豎直橡膠墊的正剛度和屈曲鋼板的負(fù)剛度作用，如圖1所示的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，用Abaqus軟件分析屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)的力學(xué)特性．同樣設(shè)置鋼板的初始缺陷為0．2mm，加溫度場(chǎng)使鋼板屈曲，此時(shí)給準(zhǔn)零系統(tǒng)施加一個(gè)垂向力，選擇適當(dāng)彈性材料的橡膠墊，使得屈曲鋼板呈水平狀態(tài)時(shí)，力與位移的關(guān)系曲線出現(xiàn)水平拐點(diǎn)，如圖5所示．這個(gè)拐點(diǎn)就是準(zhǔn)零系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的垂向力是產(chǎn)生準(zhǔn)零條件的額定靜載荷，在平衡點(diǎn)的系統(tǒng)剛度近似為零，如圖6所示．

圖5 屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)力與位移曲線圖Fig．5 Force－displacement of the QZS system

由圖5和圖6可知，當(dāng)給屈曲鋼板并聯(lián)一個(gè)適當(dāng)?shù)呢Q直橡膠墊時(shí)，屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)在平衡態(tài)會(huì)出現(xiàn)零剛度的特性，我們通常稱這個(gè)位置為系統(tǒng)的平衡位置．在平衡位置附近振動(dòng)，系統(tǒng)始終表現(xiàn)出微剛度的特性．出現(xiàn)這種特性的原因是豎直橡膠提供的正剛度與屈曲鋼板產(chǎn)生的負(fù)剛度在平衡位置剛好抵消．

圖6 屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)剛度曲線圖Fig．6 The stiffness of the QZS system

1．3 力與位移關(guān)系近似表達(dá)式

為了方便后續(xù)的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，必須得到屈曲鋼板準(zhǔn)零系統(tǒng)的力與位移關(guān)系曲線（圖5）的數(shù)學(xué)表達(dá)式．通過(guò)Abaqus中分析出來(lái)的QZS系統(tǒng)的力與位移關(guān)系曲線圖，假設(shè)一個(gè)冪級(jí)數(shù)函數(shù)，采用最小二乘擬合法，通過(guò)Matlab擬合出準(zhǔn)零系統(tǒng)的力與位移的表達(dá)式為：

式中：y＝x－h(huán)，y為系統(tǒng)的位移；f為系統(tǒng)的受力．

圖7給出了Abaqus分析數(shù)據(jù)和Matlab 最佳擬合曲線．由圖7可知，分析數(shù)據(jù)和最佳擬合曲線吻合得非常好，式（1）滿足工程設(shè)計(jì)精度．

圖7 屈曲板準(zhǔn)零系統(tǒng)力與位移關(guān)系最佳擬合曲線圖Fig．7 The fitting curve of force－displacement of the QZS system

1．4 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的剛度

由圖6的曲線趨勢(shì)可知，屈曲板準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的剛度曲線可以用一個(gè)二次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)．通過(guò)導(dǎo)數(shù)概念可以知道，如果屈曲板準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力與位移關(guān)系能表示成一個(gè)三次多項(xiàng)式，那么QZS系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析將會(huì)變得容易很多．因此，可以將QZS系統(tǒng)力與位移的關(guān)系曲線經(jīng)過(guò)縱坐標(biāo)平移，采用最小二乘擬合法，擬合成一個(gè)三次多項(xiàng)式如下：

圖8給出了QZS系統(tǒng)力與位移關(guān)系的三次方最佳擬合曲線．由圖8可知，力與位移關(guān)系和三次方最佳擬合曲線也吻合得比較好，滿足工程設(shè)計(jì)精度．

圖8 屈曲板準(zhǔn)零系統(tǒng)力與位移關(guān)系三次方最佳擬合曲線圖Fig．8 The fitting curve of force－displacement of the QZS system

那么，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的剛度近似表達(dá)式為：

式（3）中只有y的平方項(xiàng)，故在進(jìn)行后續(xù)動(dòng)力學(xué)分析時(shí)剛度的解析表達(dá)式可以用近似表達(dá)式來(lái)替代，這樣大大簡(jiǎn)化了計(jì)算．

2 動(dòng)力學(xué)分析

2．1 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

從前面的分析可知，QZS在其靜平衡位置附近剛度趨近于零．為了保證質(zhì)量為m的被隔振設(shè)備放于QZS系統(tǒng)上時(shí)，系統(tǒng)處于平衡位置，即鋼板壓至水平狀態(tài)．此時(shí)，被隔振質(zhì)量完全由被壓縮的豎直橡膠墊支撐，被隔振設(shè)備質(zhì)量m要滿足條件：

式中：k為豎直橡膠墊的剛度．

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)包括被隔振設(shè)備，屈曲彈簧鋼板和豎直橡膠墊．當(dāng)在被隔振設(shè)備上作用一個(gè)幅值大小為f0的激擾力時(shí)，可以進(jìn)行如下3個(gè)假設(shè)：1）系統(tǒng)的回復(fù)力表達(dá)式可以用邁克勞林級(jí)數(shù)的3階進(jìn)行展開；2）系統(tǒng)在平衡位置時(shí)具有零動(dòng)剛度的特性；3）被隔振設(shè)備始終在平衡位置附近進(jìn)行微幅振動(dòng)．因此，在簡(jiǎn)諧波激擾力的作用下，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以近似寫成不含線性項(xiàng)的達(dá)芬方程．進(jìn)行無(wú)量綱化后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

式中：y為系統(tǒng)的位移；r為屈曲板的半徑；c為系統(tǒng)的阻尼；m為被隔振質(zhì)量；f0為簡(jiǎn)諧激勵(lì)的幅值；ω0為簡(jiǎn)諧激勵(lì)的頻率；k為豎直橡膠墊的剛度；a為力與位移三次方關(guān)系曲線系數(shù)．

諧波平衡法在求解強(qiáng)非線性方程時(shí)具有適用性和簡(jiǎn)單性等優(yōu)點(diǎn)［17］．因此，在本文中，我們運(yùn)用諧波平衡法［18］對(duì)式（5）在激擾頻率時(shí)的響應(yīng)進(jìn)行求解．用單諧波平衡法來(lái)求解非線性振動(dòng)方程在大部分情況下是可行的，在國(guó)際上也是通用的［1，2，6，19］，只在小部分情況下會(huì)產(chǎn)生較大誤差．本文假設(shè)外界激擾頻率在系統(tǒng)的響應(yīng)頻率中占主導(dǎo)地位，那么可以將式（5）的解設(shè)為＾y＝Acos（Ωτ＋j），因此系統(tǒng)的幅頻曲線方程為：

根據(jù)文獻(xiàn)［19］的方法，得出系統(tǒng)的向下跳躍頻率Ωd為：

激振力的幅值為＾f，傳遞至基礎(chǔ)的力為：

那么該傳遞力幅值應(yīng)為：

傳遞至基座的力幅值與激擾力幅值的比值稱為力的傳遞率．所以，可以將力的傳遞率近似表示為：

從式（10）可以看出，QZS的傳遞率隨著阻尼比ζ的變化而變化．下面將以數(shù)值仿真的形式來(lái)展現(xiàn)阻尼比對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響．

阻尼比ζ對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響趨勢(shì)如圖9所示．從圖中可以清楚地看到，阻尼比對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)衰減性能很敏感．當(dāng)阻尼比ζ＝0．005時(shí)，傳遞率曲線在很大程度上向右彎曲，這表明阻尼比過(guò)小時(shí)衰減結(jié)果并不理想．當(dāng)阻尼比ζ＝0．01時(shí)，共振區(qū)附近的振動(dòng)顯著減小，衰減頻域被拓寬，但是高頻區(qū)的衰減效果變差．當(dāng)阻尼比ζ＝0．1 時(shí)，共振峰完全消失，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)不會(huì)像線性系統(tǒng)那樣經(jīng)歷共振問(wèn)題，這是該系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)．

圖9 當(dāng)γ＝5．3，＾f ＝0．01時(shí)，阻尼比ζ對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響Fig．9 The magnitude of the force transmissibility forγ＝5．3，＾f ＝0．01and different values ofζ

2．2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)隔振特性

為了體現(xiàn)QZS隔振系統(tǒng)的隔振特性，可以將之與線性系統(tǒng)的隔振性能進(jìn)行對(duì)比．假設(shè)QZS隔振系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)滿足式（4），兩種系統(tǒng)的被隔振設(shè)備的質(zhì)量相同．從式（10）可知，QZS 隔振系統(tǒng)的傳遞率與系統(tǒng)參數(shù)γ成正比，γ的值越小，QZS隔振系統(tǒng)的傳遞率就越小，隔振效果越顯著．當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率大于向下跳躍頻率，即Ωd＜1時(shí)，由于向下跳躍頻率是QZS 隔振系統(tǒng)起始減振的頻率，所以，此時(shí)QZS隔振系統(tǒng)的隔振性能是優(yōu)于線性隔振系統(tǒng)的，外界激擾力幅值大小應(yīng)滿足下式：

圖10 為QZS 系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的傳遞率比較圖．從圖中我們可以比較線性系統(tǒng)與準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的隔振效果．假設(shè)系統(tǒng)的阻尼比ζ＝0．01，無(wú)量綱的激擾力為＾f＝0．01，被隔振設(shè)備質(zhì)量m＝10．從圖10中我們可以清楚地看出QZS隔振系統(tǒng)的隔振頻帶大大寬于線性隔振系統(tǒng)，QZS隔振系統(tǒng)的隔振效果明顯優(yōu)于線性系統(tǒng)．

圖10 QZS系統(tǒng)和線性系統(tǒng)的傳遞率比較圖Fig．10 Transmissibility of QZS system and linear system

3 結(jié) 論

本文針對(duì)低頻隔振，采用一種屈曲彈簧鋼板的負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與橡膠墊正剛度機(jī)構(gòu)組合，設(shè)計(jì)了一種屈曲板準(zhǔn)零剛度非線性隔振器．這種隔振器的特點(diǎn)是在靜平衡位置附近具有高靜低動(dòng)剛度特性．通過(guò)Abaqus分析和Matlab擬合得到了準(zhǔn)零系統(tǒng)的力與位移關(guān)系表達(dá)式，從而求出了系統(tǒng)各參數(shù)之間與豎直橡膠墊的剛度系數(shù)的關(guān)系．通過(guò)Matlab 數(shù)值仿真，詳細(xì)地分析了該QZS系統(tǒng)的隔振特性，并與線性隔振系統(tǒng)進(jìn)行了力傳遞率的比較．屈曲板準(zhǔn)零剛度非線性隔振器相對(duì)于線性隔振系統(tǒng)具有2個(gè)突出優(yōu)點(diǎn)：1）能夠顯著提高低頻段的隔振效率；2）在適當(dāng)小阻尼下，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)沒有共振問(wèn)題．

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