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        多服務(wù)臺(tái)中流失比例的高負(fù)荷極限的模擬仿真

        2014-12-18 18:08:29張瑩劉建民
        現(xiàn)代電子技術(shù) 2014年24期
        關(guān)鍵詞:服務(wù)系統(tǒng)

        張瑩+劉建民

        摘 ?要: 為了得到多服務(wù)臺(tái)隊(duì)列中流失率的高負(fù)荷極限,通過(guò)對(duì)有顧客流失的[G/G/1/K]隊(duì)列進(jìn)行推廣得到[G/GI/m/K]隊(duì)列,在高負(fù)荷條件下,獲得了有[m]個(gè)服務(wù)臺(tái)的隊(duì)列系統(tǒng)中隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程、流失過(guò)程的極限定理與流失比例的高負(fù)荷極限。以[M/M/m/K]隊(duì)列為例,用Matlab編程進(jìn)行模擬仿真,驗(yàn)證了理論結(jié)果的合理性,這是分析多服務(wù)臺(tái)隊(duì)列系統(tǒng)的一種新方法。

        關(guān) 鍵 詞: [G/GI/m/K]隊(duì)列; 高負(fù)荷; 隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程; 流失比例; 模擬仿真

        中圖分類(lèi)號(hào): TN911?34 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào): 1004?373X(2014)24?0028?03

        Analog simulation for heavy?traffic limit of loss proportion in many?server queues

        ZHANG Ying, LIU Jian?min

        (College of Science, Changan University, Xian 710064, China)

        Abstract: To get the heavy?traffic limit for the loss proportion in many?server queues, the model of [G/G/1/K]queue with customer loss is extended to the model of[G/GI/m/K]. The limit theorems for the queue?length process, loss process and the heavy?traffic limit for the loss proportion in the system were obtained under the condition of heavy traffic. Taking the[M/M/m/K]queue as an example, the analog simulation was conducted with Matlab programming to verify the reasonability of the theoretical result. It is a new way to analyze the many?server queues.

        Keyword: [G/GI/m/K]queue; heavy?traffic; queue?length process; loss proportion; simulation

        0 ?引 ?言

        在現(xiàn)實(shí)生活中大家經(jīng)常遇到的是多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)且隊(duì)伍較長(zhǎng)的現(xiàn)象,例如銀行和醫(yī)院中的排隊(duì)現(xiàn)象,這其實(shí)就是高負(fù)荷條件下的多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)。在高負(fù)荷情況下研究多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)已有很多文章,如Whitt研究了帶放棄的多服務(wù)臺(tái)的流體模型[1],Whitt給出[G/GI/n/m]隊(duì)列的擴(kuò)散逼近[2]。Whitt和Hal fin研究了多指數(shù)服務(wù)臺(tái)隊(duì)列的高負(fù)荷極限[3]。Whitt研究有阻塞的服務(wù)系統(tǒng)的高負(fù)荷極限,討論了局部高負(fù)荷極限[4]。Whitt研究了單服務(wù)臺(tái)隊(duì)列中流失比例的高負(fù)荷極限[5]。關(guān)于高負(fù)荷條件下多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)的模擬仿真研究的也比較多,例如霍明的并聯(lián)多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)的仿真建模研究[6]以及鄧年華的基于Matlab的多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬[5],陳實(shí)的多服務(wù)臺(tái)混合制排隊(duì)模型[M/G/s/k]的仿真研究[7]。本文是在高負(fù)荷情況下,對(duì)有顧客流失的[G/GI/m/K]隊(duì)列模型進(jìn)行了研究,給出隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程、流失過(guò)程及流失比例的高負(fù)荷極限,同時(shí)給出基于Matlab編程的仿真算法,進(jìn)行模擬仿真。

        1 ?模型建立

        本文研究的是[G/GI/m/K]隊(duì)列模型,一個(gè)一般平穩(wěn)到達(dá)過(guò)程,到達(dá)率為[λ],獨(dú)立同分布的服務(wù)時(shí)間且服從一般分布,[m]個(gè)服務(wù)臺(tái),平均服務(wù)率為[μii=1,2,…,m],等待空間的額外最大容量為[K],服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)(FCFS)。設(shè)到達(dá)過(guò)程與服務(wù)過(guò)程是相互獨(dú)立的,服務(wù)強(qiáng)度為[ρ],則有:

        [ρ=λμ1+μ2+…+μm] (1)

        設(shè)[Uk,V1,k,V2,k,…,Vm,k:k≥1]是一非負(fù)隨機(jī)變量序列,其中[Uk]表示的是第[k-1]個(gè)顧客與第[k]個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔,[Vi,ki=1,2,…,m]表示的是第[i]個(gè)服務(wù)臺(tái)潛在服務(wù)時(shí)間序列,則相應(yīng)的部分和為:

        [Suk=U1+U2+…+Uk] (2)

        [Svi,k=Vi,1+Vi,2+…+Vi,k; ? i=1,2,…,m] (3)

        且:

        [Su0=Svi,0=U0=Vi,0=0] (4)

        相應(yīng)的計(jì)數(shù)過(guò)程為:

        [At=maxk≥0:Suk≤t] (5)

        [Nit=maxk≥0:Svi,k≤t, ?t≥0] (6)

        令[N]為疊加過(guò)程,定義為:

        [Nt=N1t+N2t+…+Nmt, ? t≥0] ? ? (7)

        由以上的定義可知:[At]表示的是[0,t]內(nèi)共到達(dá)的顧客數(shù),[Nt]表示的是[0,t]內(nèi)共服務(wù)完的顧客數(shù),記[Qt]為[t]時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng),[Lt]為[0,t]內(nèi)共流失的顧客數(shù),考慮一個(gè)上面描述的隊(duì)列系統(tǒng)序列,則相應(yīng)的刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程為時(shí)間用[n]來(lái)刻畫(huà),空間用[cn]來(lái)刻畫(huà),[t]表示向下取整:

        [Sunt=c-1nSun,nt-λ-1nnt] (8)

        [Svn,it=c-1nSvn,i,nt-μ-1n,intAnt=c-1nAnnt-λnnt] (9)

        [Nn,it=c-1nNn,int-μn,int] (10)

        [Nnt=c-1nNnnt-μnnt] (11)

        [Qnt=c-1n?Qnnt] (12)

        [Lnt=c-1n?Lnnt] (13)

        式中[μn=μn,1+…+μn,m]。

        為了陳述結(jié)論,令[?]表示依分布收斂,[D≡D0,+∞,R,M1≡D,M1]表示在[M1]拓?fù)湎略赱0,+∞]上除0點(diǎn)外左極限存在的右連續(xù)實(shí)值函數(shù)空間,[Dk=D,M1k]為[k]維[D]乘積空間,[Dm+1,WM1]表示的是在[WM1]拓?fù)湎碌腫m+1]維[D]乘積空間,[Discx]表示函數(shù)[x]的不連續(xù)點(diǎn)的集合,[=d]表示依分布相等,[e]表示在[D]上的恒等函數(shù),即[et=t],[x?y]表示復(fù)合函數(shù)。

        令[?0,ψL0:D→D2]的一維反射映射,且在0處有下界,滿足:

        [?0x=x+ψL0x]

        且令[?0,k,ψL0,ψUk:D→D3]的二維反射映射,且在0處有下界,在[k]處有上界,滿足[8]:

        [?0,kx=x+ψL0x-ψUkx]

        式中:[ψL0x]為下界修正函數(shù);[ψUkx]為上界修正函數(shù)。

        2 ?[G/GI/m/K]隊(duì)列的隨機(jī)過(guò)程極限

        2.1 ?隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程與流失過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程極限

        定理1 (隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程與流失過(guò)程的高負(fù)荷極限) 考慮上面所述的[G/GI/m/K]隊(duì)列模型序列,假定系統(tǒng)初始狀態(tài)為空,在[Dm+1,WM1]上:

        [Sun,Svn,1,Svn,2,…,Svn,m?Su,Sv1,Sv2,…,Svm] (14)

        設(shè)[cn→∞], [ncn→∞],[μn,i→μi,0<μi<∞],有:[ηn=n?μn-λncn→η, ?-∞<η<+∞] (15)

        [Kncn→k, ?0

        且假定:

        [PSu0=0=PSvi0=1] (17)

        [PDiscSvi?μie?DiscSvj?μje=?=1] (18)

        [PDiscSvi?μie?DiscSu=?=1] (19)

        則有:

        [Qn,Ln?Q,L= ? ? ??0,ki=1mSvi-Su-ηe,ψUki=1mSvi-Su-ηe] (20)

        2.2 ?流失比例的探究

        因?yàn)閇Lt]表示的是[[0,t]]內(nèi)共流失的顧客數(shù),記[Πt]為[[0,t]]內(nèi)的流失比例,則[Πt=Ltmax1,At],且其相應(yīng)刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程為[Πnt=nΠnntcn]

        定理2:在定理1的條件下,若在[D0,∞,R,M1]上:

        [Πn?Π] (21)

        其中[Πt=Ltt],[t≥0],假定當(dāng)[t>0]時(shí),[Pt∈DiscL=0],對(duì)于所有的[t>0],當(dāng)[n→∞]時(shí):

        [ncnΠnnt?Πt] (22)

        且:

        [Πnntμn-λn?Πtη] (23)

        式中[η]是式(15)中的極限,若當(dāng)[t→∞]時(shí)[Πt?π],則有:

        [ncnΠnnt?π] (24)

        式中[π]是某一確定的流失比例。

        3 ?模擬仿真

        3.1 ?算法設(shè)計(jì)

        為了方便排隊(duì)系統(tǒng)的信息記錄及仿真算法的研究,本文構(gòu)建這樣一個(gè)狀態(tài)矩陣A為一個(gè)[8×s]矩陣,[s]為考慮的[0,t]到達(dá)的前[s]個(gè)顧客,矩陣的每一列存放著一名顧客的所有信息及此顧客到達(dá)時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài),則以第[i]列為例,矩陣每一行所存放的具體信息如表1所示。

        在算法中:[r]表示平均到達(dá)率;[μ]表示平均服務(wù)率;[k]為等待空間容量;[m]為服務(wù)臺(tái)數(shù);[loss]為流失比例。根據(jù)到達(dá)過(guò)程產(chǎn)生顧客的間隔到達(dá)時(shí)間,則可得到每個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)刻,并初始化矩陣A的第一行,根據(jù)服務(wù)時(shí)間服從的分布產(chǎn)生顧客的服務(wù)時(shí)間,流失比例的計(jì)算應(yīng)用第2節(jié)中的定義式。

        表1 狀態(tài)矩陣A

        由于前[m]個(gè)顧客到達(dá)時(shí)均不需要排隊(duì),因此可初始化矩陣A的前[m]列。當(dāng)?shù)赱ii>m]個(gè)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí),會(huì)遇到如三種情況:情況1為 顧客到達(dá)時(shí)有空閑的服務(wù)臺(tái),顧客不需要等待直接接受服務(wù);情況2為顧客到達(dá)時(shí)無(wú)空閑服務(wù)臺(tái),顧客進(jìn)入等待隊(duì)列;情況3為顧客到達(dá)時(shí)等待空間已滿,顧客被阻塞而流失。這樣通過(guò)對(duì)顧客的到達(dá)進(jìn)行分析,得到相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo),同時(shí)初始化矩陣A。

        3.2 ?算例分析

        現(xiàn)在給出算例分析,以[M/M/m/K]為例:考慮一[M/M/m/K]隊(duì)列的模型序列,在第[n]個(gè)模型中:令刻畫(huà)常數(shù)[cn=n],顧客的平均到達(dá)率[r=m?1+1n],各個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率都相同為[u=1],則服

        務(wù)強(qiáng)度為[ρ=rm],令等待空間容量[k=30],[s=n],即考慮在[0,t]內(nèi)到達(dá)的前[n]個(gè)顧客。

        3.2.1 ?對(duì)顧客基本信息的分析

        對(duì)到達(dá)的前100個(gè)顧客進(jìn)行分析(m=100)如圖1所示。從圖1中的(a)部分可得到當(dāng)顧客的離開(kāi)時(shí)刻與到達(dá)時(shí)刻相同時(shí),則該顧客為被阻塞而流失的顧客;從(c)部分可得到當(dāng)顧客的等待時(shí)長(zhǎng)為0時(shí),主要為兩種情況:顧客到達(dá)時(shí)有空閑的服務(wù)臺(tái)顧客直接接受服務(wù);顧客到達(dá)等待空間已滿,顧客因被阻塞而流失;而 (d)、(e)、(f)部分分別表示了顧客到達(dá)時(shí)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng)、流失顧客數(shù)及流失率。

        圖1 到達(dá)前100個(gè)顧客分析圖

        3.2.2 ?探討流失比例[loss]與[m,n]的關(guān)系

        模擬在[n]與[m]取不同的值的情況下的流失比例(橫坐標(biāo)均為時(shí)間,縱坐標(biāo)均為流失比例),如圖2所示。

        在圖2中,當(dāng)[n]的取值相同服務(wù)臺(tái)數(shù)[m]不同時(shí),服務(wù)強(qiáng)度相同但平均到達(dá)率不同;當(dāng)服務(wù)臺(tái)數(shù)[m]相同[n]取不同的數(shù)值時(shí),平均到達(dá)率不同從而服務(wù)強(qiáng)度不同。服務(wù)強(qiáng)度與流失比例對(duì)比,如表2所示。

        由于到達(dá)時(shí)間間隔與服務(wù)時(shí)間均為產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù),每次的模擬結(jié)果均不相同且有時(shí)相差很大,但是當(dāng)[n=10 ?000]時(shí),可觀察到流失比例基本上趨近于一個(gè)確定值,當(dāng)[n]取值更大時(shí),通過(guò)多次的模擬計(jì)算,也可得到同樣的結(jié)論,這與推論結(jié)論相符,所以建立的仿真算法是有效且可行的。

        圖2 n,m取值不同時(shí)的流失比例

        4 ?結(jié) ?語(yǔ)

        本文給出[G/GI/m/K]隊(duì)列在高負(fù)荷下隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程、流失過(guò)程及流失比例的高負(fù)荷極限,并且以[M/M/m/K]為例,給出關(guān)于流失比例的模擬仿真。根據(jù)[K]的不同取值可被應(yīng)用到不同的隨即服務(wù)系統(tǒng),當(dāng)[K=m]時(shí),可被應(yīng)用到呼叫中心服務(wù)系統(tǒng),當(dāng)[K>m]且為具體某一個(gè)值時(shí)可被應(yīng)用到隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)(如銀行系統(tǒng))。通過(guò)對(duì)更新方法與隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法,該仿真算法還可被應(yīng)用到其他的隊(duì)列系統(tǒng),如[G/M/m/K]或[M/G/m/K]等隊(duì)列系統(tǒng),顯然當(dāng)[m=1]時(shí)為單服務(wù)臺(tái)隊(duì)列系統(tǒng)。

        參考文獻(xiàn)

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        圖1 到達(dá)前100個(gè)顧客分析圖

        3.2.2 ?探討流失比例[loss]與[m,n]的關(guān)系

        模擬在[n]與[m]取不同的值的情況下的流失比例(橫坐標(biāo)均為時(shí)間,縱坐標(biāo)均為流失比例),如圖2所示。

        在圖2中,當(dāng)[n]的取值相同服務(wù)臺(tái)數(shù)[m]不同時(shí),服務(wù)強(qiáng)度相同但平均到達(dá)率不同;當(dāng)服務(wù)臺(tái)數(shù)[m]相同[n]取不同的數(shù)值時(shí),平均到達(dá)率不同從而服務(wù)強(qiáng)度不同。服務(wù)強(qiáng)度與流失比例對(duì)比,如表2所示。

        由于到達(dá)時(shí)間間隔與服務(wù)時(shí)間均為產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù),每次的模擬結(jié)果均不相同且有時(shí)相差很大,但是當(dāng)[n=10 ?000]時(shí),可觀察到流失比例基本上趨近于一個(gè)確定值,當(dāng)[n]取值更大時(shí),通過(guò)多次的模擬計(jì)算,也可得到同樣的結(jié)論,這與推論結(jié)論相符,所以建立的仿真算法是有效且可行的。

        圖2 n,m取值不同時(shí)的流失比例

        4 ?結(jié) ?語(yǔ)

        本文給出[G/GI/m/K]隊(duì)列在高負(fù)荷下隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程、流失過(guò)程及流失比例的高負(fù)荷極限,并且以[M/M/m/K]為例,給出關(guān)于流失比例的模擬仿真。根據(jù)[K]的不同取值可被應(yīng)用到不同的隨即服務(wù)系統(tǒng),當(dāng)[K=m]時(shí),可被應(yīng)用到呼叫中心服務(wù)系統(tǒng),當(dāng)[K>m]且為具體某一個(gè)值時(shí)可被應(yīng)用到隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)(如銀行系統(tǒng))。通過(guò)對(duì)更新方法與隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法,該仿真算法還可被應(yīng)用到其他的隊(duì)列系統(tǒng),如[G/M/m/K]或[M/G/m/K]等隊(duì)列系統(tǒng),顯然當(dāng)[m=1]時(shí)為單服務(wù)臺(tái)隊(duì)列系統(tǒng)。

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        [10] BILLINGSLEY P. Convergence of probability measures [M]. 2nd ed. New York: Wiley, 1999.

        圖1 到達(dá)前100個(gè)顧客分析圖

        3.2.2 ?探討流失比例[loss]與[m,n]的關(guān)系

        模擬在[n]與[m]取不同的值的情況下的流失比例(橫坐標(biāo)均為時(shí)間,縱坐標(biāo)均為流失比例),如圖2所示。

        在圖2中,當(dāng)[n]的取值相同服務(wù)臺(tái)數(shù)[m]不同時(shí),服務(wù)強(qiáng)度相同但平均到達(dá)率不同;當(dāng)服務(wù)臺(tái)數(shù)[m]相同[n]取不同的數(shù)值時(shí),平均到達(dá)率不同從而服務(wù)強(qiáng)度不同。服務(wù)強(qiáng)度與流失比例對(duì)比,如表2所示。

        由于到達(dá)時(shí)間間隔與服務(wù)時(shí)間均為產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù),每次的模擬結(jié)果均不相同且有時(shí)相差很大,但是當(dāng)[n=10 ?000]時(shí),可觀察到流失比例基本上趨近于一個(gè)確定值,當(dāng)[n]取值更大時(shí),通過(guò)多次的模擬計(jì)算,也可得到同樣的結(jié)論,這與推論結(jié)論相符,所以建立的仿真算法是有效且可行的。

        圖2 n,m取值不同時(shí)的流失比例

        4 ?結(jié) ?語(yǔ)

        本文給出[G/GI/m/K]隊(duì)列在高負(fù)荷下隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程、流失過(guò)程及流失比例的高負(fù)荷極限,并且以[M/M/m/K]為例,給出關(guān)于流失比例的模擬仿真。根據(jù)[K]的不同取值可被應(yīng)用到不同的隨即服務(wù)系統(tǒng),當(dāng)[K=m]時(shí),可被應(yīng)用到呼叫中心服務(wù)系統(tǒng),當(dāng)[K>m]且為具體某一個(gè)值時(shí)可被應(yīng)用到隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)(如銀行系統(tǒng))。通過(guò)對(duì)更新方法與隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法,該仿真算法還可被應(yīng)用到其他的隊(duì)列系統(tǒng),如[G/M/m/K]或[M/G/m/K]等隊(duì)列系統(tǒng),顯然當(dāng)[m=1]時(shí)為單服務(wù)臺(tái)隊(duì)列系統(tǒng)。

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