文建平，曹軍義

(1.西安科技大學 機械工程學院，陜西 西安 710054；2.西安交通大學 機械工程學院，陜西 西安 710049)

0 引言

開關磁阻電機體積小、結構簡單、不需要稀土材料、調(diào)速范圍寬且在調(diào)速范圍內(nèi)都有高的效率、啟動電流小、有較強的過載啟動能力的特點，使采用開關磁阻電機的驅(qū)動系統(tǒng)在電動汽車、家用電器、紡織機械等領域得到了廣泛關注[1]。

但開關磁阻電機為雙凸極可變磁阻電機，自身結構具有磁路飽和非線性、可控參數(shù)多等特點，增加了開關磁阻電機調(diào)速系統(tǒng)的控制難度，基于線性模型的傳統(tǒng)PID控制方式對動態(tài)非線性開關磁阻電機的調(diào)速系統(tǒng)已難以獲得很好的性能，而開關磁阻電機的數(shù)學線性模型是在忽略許多非線性因素的基礎上建立，與實際運行狀況差異較大及定量計算誤差較大，適于定性分析。準線性模型的建立是將磁化曲線分段線性化處理及忽略相間耦合，基于該模型的計算仍存在較大誤差，非線性模型較準確地表示了開關磁阻電機的電磁特性，但復雜的非線性模型要求控制器有更高的處理速度[2]。

傳統(tǒng)PID控制對于非線性特性的開關磁阻電機調(diào)速控制難以取得理想的效果，但其簡單易于實現(xiàn)的特點使得PID調(diào)速控制得到廣泛應用，為了改善其控制性能，文獻[3，4]將模糊控制理論與 PID控制結合，設計了模糊PID控制方法。文獻[5]在PID控制基礎上應用模糊控制、免疫機理和自適應PSD控制律，設計了開關磁阻電機的智能控制。文獻[6]將神經(jīng)網(wǎng)絡與常規(guī)PID控制結合，建立神經(jīng)網(wǎng)絡PID控制器。文獻[7]采用非線性狀態(tài)反饋控制律的自抗擾控制技術，實現(xiàn)了自抗擾控制器。

本文中基于簡單易實現(xiàn)的PI控制，建立開關磁阻電機的分數(shù)階PI調(diào)速控制策略。分數(shù)階微積分拓展了整數(shù)階PI調(diào)節(jié)的參數(shù)取值范圍，使系統(tǒng)參數(shù)有更廣的穩(wěn)定域，并設計了分數(shù)階積分的離散化算法，使其適應非線性開關磁阻電機，獲得好的控制特性。

1 SRM的數(shù)學模型

根據(jù)磁阻最小原理，開關磁阻電機的轉(zhuǎn)矩是由磁路選擇最小磁阻的趨勢產(chǎn)生的，而磁路的非線性，可根據(jù)磁共能來計算轉(zhuǎn)矩，其取決于轉(zhuǎn)子位置和繞組電流的瞬時值，為了簡化模型，通常忽略磁路飽和和邊緣效應，電感與電流無關，轉(zhuǎn)矩可表示為：

式中，i是定子繞組電流；L是相繞組電感；θ是轉(zhuǎn)子位置角。

電機的轉(zhuǎn)矩與電流的方向無關，與相電感隨轉(zhuǎn)子位置角的變化有關，當d L/dθ為正、繞組有電流流過時，電機產(chǎn)生驅(qū)動轉(zhuǎn)矩?？刂齐娏鞯拇笮〖稗D(zhuǎn)子的位置可實現(xiàn)電機的轉(zhuǎn)矩控制。

根據(jù)力學原理，電機轉(zhuǎn)矩的平衡方程式可表示為：

式中，TL是負載轉(zhuǎn)矩；B是摩擦系數(shù)；J是電機系統(tǒng)等效轉(zhuǎn)動慣量；ωr是電機機械角速度。

電機穩(wěn)態(tài)運行時的電磁轉(zhuǎn)矩平衡方程式為：

2 分數(shù)階PI調(diào)速控制

2.1 分數(shù)階微積分

分數(shù)階微積分是微積分的統(tǒng)一認識，主要是相對于傳統(tǒng)整數(shù)階微積分而言。統(tǒng)一的微積分算子包括分數(shù)階和整數(shù)階微積分算子?？擅枋鰹閇8]：

式中，a和t分別是微積分算子的積分上界和下界；α為微積分的階數(shù)，R(α)表示實數(shù)，當α為整數(shù)時，表示整數(shù)階微積分；當α為大于零的實數(shù)時，aDαt表示分數(shù)階微分；當α為小于零的實數(shù)時，aDαt表示為分數(shù)階積分。

分數(shù)階微積分把微積分的階次推廣到分數(shù)領域，應用分數(shù)階微積分理論描述的系統(tǒng)模型可更接近真實地反映物理對象。

2.2 分數(shù)階PI控制器設計

在常規(guī)的PID控制器中，積分由分數(shù)階積分來完成，即分數(shù)階 PIαDλ控制器，用微分方程表示：

式中，u(t)是控制器的輸出；Kp是比例系數(shù)；Ki是積分時間常數(shù)；Kd是微分時間常數(shù)；α是積分階數(shù)；λ是微分階數(shù)；e(t)是控制器輸入。

分數(shù)階控制器的連續(xù)傳遞函數(shù)為：

從上述的方程式(5)和(6)中可看出，分數(shù)階微積分不同的 α、λ 取值，可獲得不同類型的 PIαDλ控制器。

為了實現(xiàn)分數(shù)階微積分的工程應用，需要獲得分數(shù)階PIαDλ控制器的離散數(shù)學模型，即對分數(shù)階微積分算子進行合理的近似離散化。

在分數(shù)階PIαDλ控制器的離散過程中，本文采用雙線性變換離散化方法，計算出關于變量z的無理方程，然后通過連分數(shù)展示式對其進行近似有理化處理，獲得滿足控制精度要求的離散分數(shù)階控制器，sα的離散化模型為：

式中，T為采樣周期。

分數(shù)階 PIαDλ控制器的構成如圖1所示。

圖 1 分數(shù)階 PIαDλ控制器

圖2給出了采用分數(shù)階電流控制器與轉(zhuǎn)速控制器的三相6/4極開關磁阻電機轉(zhuǎn)速閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的構成示意圖。

圖2 SRM分數(shù)階PI調(diào)速控制

3 仿真分析

為了驗證提出的控制方法的有效性，在MATLAB/Simulink環(huán)境中，建立了三相6/4極開關磁阻電機的分數(shù)階PI調(diào)速控制模型，如圖3所示。speed control和current control分別是分數(shù)階PI速度控制器和分數(shù)階PI電流控制器。仿真測試中，兩個控制器的參數(shù)選取為：Kp=20，Ki=10，Kd=0，分數(shù)階微積分的階數(shù) α=0.3，λ=0，近似有理項數(shù)為7。PWM開關信號采用電流斬波控制方式。

在仿真過程中，開關磁阻電機的開通角和關斷角均為固定值，電機為Simulink中自帶的模型，額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，額定功率為 60 kW。

圖3 分數(shù)階PI調(diào)速控制模型

對所設計的仿真模型，施加2 000 r/min的給定轉(zhuǎn)速，系統(tǒng)在空載的條件下起動，轉(zhuǎn)速響應波形如圖4所示。分數(shù)階PI調(diào)速控制下的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速響應過程與常規(guī)的PI調(diào)速控制相比較，響應速度更快速平穩(wěn)，穩(wěn)態(tài)誤差也得到改善。

圖4 空載時轉(zhuǎn)速響應波形

當電機穩(wěn)態(tài)運行在給定轉(zhuǎn)速狀態(tài)時，給系統(tǒng)突加50 N·m的負載轉(zhuǎn)矩，電機a相電流波形如圖5所示，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速波形曲線如圖6所示。在負載轉(zhuǎn)矩突變過程中，采用分數(shù)階PI調(diào)速控制的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速能快速跟蹤給定轉(zhuǎn)速，波動更小，系統(tǒng)具有較高的控制精度，相對應的系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩響應波形如圖7所示，系統(tǒng)在快速跟蹤給定轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)矩波動也得到有效改善。

圖5 a相電流波形

4 結論

本文在開關磁阻電機調(diào)速系統(tǒng)中，將常規(guī)PI控制與分數(shù)階微積分理論結合，建立了分數(shù)階PI雙閉環(huán)調(diào)速控制系統(tǒng)，通過仿真試驗，對系統(tǒng)進行了測試，仿真結果表明了系統(tǒng)在空載起動以及抗負載干擾等工況下，具有好的跟蹤速度及控制精度。

圖6 施加負載轉(zhuǎn)矩時轉(zhuǎn)速響應波形

圖7 轉(zhuǎn)矩輸出波形

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