張豪魁 許炎彬 王林源

摘 要：針對(duì)在寬頻段存在頻譜采樣率高的問題，運(yùn)用貝葉斯壓縮感知進(jìn)行頻譜稀疏采樣及重構(gòu)，然而檢測過程存在運(yùn)行時(shí)間慢的缺點(diǎn)，因此本文提出了一種基于直積與QR分解的測量矩陣構(gòu)造法用于Bayes CS頻譜檢測過程，仿真結(jié)果表明，提出的新算法能有效降低檢測時(shí)間以及提高頻譜檢測精度。

關(guān)鍵詞：貝葉斯壓縮感知；測量矩陣；超寬帶；頻譜檢測

1 基于頻域建模的頻段頻譜檢測算法

基于測量的統(tǒng)計(jì)模型一般分為時(shí)域模型和頻域模型[1]。時(shí)域模型的信道脈沖響應(yīng)是時(shí)變離散橫向?yàn)V波器的輸出形式，濾波器的響應(yīng)是建立在所測量的多徑傳播信號(hào)的幅度、時(shí)延和相位的統(tǒng)計(jì)特性基礎(chǔ)上的；而頻域模型是建立在再生的信道頻率響應(yīng)的基礎(chǔ)之上的，頻域模型要比時(shí)域模型簡單得多。

基于以上思想我們對(duì)接收端的傳輸信道上的信號(hào)類型進(jìn)行頻域建模，考慮到實(shí)際的通信在接收端進(jìn)行頻譜檢測，由于不知道在信道上除了主通信用戶外還存在別的調(diào)制到該通信信道上的信號(hào)類型，我們在頻域建模時(shí)就考慮在通信信道上除了有UWB信號(hào)，還有WB信號(hào)，窄帶信號(hào)和干擾信號(hào)以及噪聲。頻域建模模型如下圖1所示：

基于BCS的接收端高頻段的頻譜感知與檢測不僅能估計(jì)信號(hào)的參數(shù)，還能估計(jì)信號(hào)的誤差帶，保證了估計(jì)參數(shù)的不確定性測量，以及在沒有任何先驗(yàn)假設(shè)情況下獲取最小的采樣數(shù)目[2]。通過下面的仿真實(shí)驗(yàn)分析也驗(yàn)證了BCS能直接、準(zhǔn)確檢測各信號(hào)頻譜，同時(shí)與CS的正交匹配追蹤OMP檢測做了比較，基于BCS的頻譜檢測具有檢測采樣數(shù)目少，但花費(fèi)時(shí)間長的劣勢，通過研究發(fā)現(xiàn)利用改進(jìn)的確定觀測矩陣能避免常規(guī)的隨機(jī)觀測占用系統(tǒng)內(nèi)存過大及檢測耗時(shí)長的問題，改進(jìn)后的算法在給定的頻域信道頻譜模型上能較好完成頻譜感知與檢測任務(wù)。利用BCS方法進(jìn)行接收端頻譜感知與檢測的模型如下圖2所示：

2 一種新的測量矩陣構(gòu)造

⑴選取合適的低維正交“種子”向量?！胺N子”向量個(gè)數(shù)與其維數(shù)n相等，理想狀態(tài)下，選取的“種子”向量組成的矩陣U應(yīng)該為著正交矩陣（如高斯正交矩陣）， ，E單位矩陣；若不滿足該條件，則應(yīng)保證矩陣U的行向量和列向量內(nèi)部之間兩兩正交。

⑵根據(jù)初始向量維數(shù)n與高維列向量維數(shù)N，計(jì)算循環(huán)直積的次數(shù) ，初始值 ， ，其中i=2，3，4，…，k。

⑶經(jīng)過k次循環(huán)直積獲得的矩陣Rk為N階矩陣且行向量和列向量內(nèi)部之間兩兩正交，根據(jù)矩陣分析QR分解相關(guān)定理，矩陣 Rk可通過新QR分解獲得正交矩陣。

⑷從循環(huán)直積獲得的矩陣列向量之間相互正交，矩陣Rk為可逆矩陣，對(duì)Rk進(jìn)行QR分解得到Rk=UkTk，其中Tk為上三角矩陣，Uk為正交矩陣，階數(shù)等于測量矩陣的列數(shù)N。同時(shí)正交矩陣 去除了Uk列向量之間的相關(guān)關(guān)系。

⑸從Uk中選取測量數(shù)M行構(gòu)成新的測量矩陣。即：

其中C為選取的M行對(duì)應(yīng)下標(biāo)的集合， 即為新構(gòu)成的測量矩陣。

⑹對(duì)新構(gòu)成的測量矩陣 進(jìn)行歸一化處理，使其滿足符合RIP準(zhǔn)則[3]。

3 算法驗(yàn)證與實(shí)驗(yàn)分析

仿真條件：針對(duì)一個(gè)復(fù)雜電磁環(huán)境信道，頻帶50G，采樣頻率100G，其中包含有UWB信號(hào)（帶寬500M），寬帶信號(hào)（帶寬125M）。窄帶信號(hào)（帶寬25M），干擾信號(hào)（帶寬25M）以及隨機(jī)分布的高斯白噪聲。頻率采樣間隔為25MHz，令同一種信號(hào)在同一個(gè)信道內(nèi)幅度相同，信噪比為20dB，采樣矩陣為1024*2048的高斯隨機(jī)矩陣，新算法的為KQ觀測矩陣；壓縮比為1/2。仿真結(jié)果如下圖3所示：

通過之前的頻譜建模方法，建模是在以25M帶寬為一個(gè)子信道的帶寬，UWB信號(hào)頻譜建模占用分別從第200個(gè)、第500個(gè)、第800個(gè)信道開始，WB信號(hào)信號(hào)頻譜建模占用從150個(gè)、第300個(gè)、第1800個(gè)信道開始，對(duì)于窄帶和干擾信號(hào)頻譜占用分別為第10個(gè)、第600個(gè)、第1000個(gè)信道，實(shí)驗(yàn)分析可以看出：建立的頻譜模型占用的信道標(biāo)號(hào)跟在實(shí)驗(yàn)中利用改進(jìn)的BCS算法所得到的各頻譜占用信道的情況完全相同，通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)在信道信噪比為20dB時(shí)，利用改進(jìn)的算法完全符合建模的情況。這也體現(xiàn)了改進(jìn)的算法的有效性。如下圖4所示為利用BCS、QBCS對(duì)頻譜進(jìn)行檢測的誤差隨信道信噪比變化曲線圖：

相較于BCS，在10dB條件下，QBCS對(duì)UWB信道的估計(jì)更加準(zhǔn)確，特別是對(duì)窄帶干擾信道的估計(jì)接近于真實(shí)值，虛驚率比BCS還要低，降低了33.3%。在20dB條件下，QBCS相較于BCS對(duì)UWB信道的估計(jì)也更加準(zhǔn)確，特別是對(duì)窄帶干擾信道的估計(jì)接近于真實(shí)值，虛驚率比BCS低，降低了85.72%。

4 結(jié)束語

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于BCS理論，對(duì)處理UWB頻譜檢測優(yōu)勢非常明顯。特別是通過對(duì)算法的優(yōu)化和改進(jìn)，加快了算法的收斂速度，提高了重構(gòu)精度，降低了信道預(yù)報(bào)的虛警率。

[參考文獻(xiàn)]

[1]王艷芬，于洪珍，等.超寬帶多徑信道的頻域建模與仿真[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用.2007（33），第138頁.

[2]Shihao Ji，Ya Xue，Carin L.，“Bayesian Compressive Sensing”， IEEE Trans.on Signal Processing，2008，56（6），2346-2356.

[3]D.L.Donoho，“Compressed Sensing”，IEEE Trans.on Information Theory.2006，52（4）：1289-1306.