許 輝，周 奇，張立麗

(1．中國艦船研究設計中心，湖北 武漢430064;2．江蘇自動化研究所，江蘇 連云港222006)

0 引 言

船舶作為一個復雜的龐大系統(tǒng)，涉及到操縱、阻力、耐波、結構、振動與噪聲、工藝、材料等多個方面，這些方面之間存在著相互影響、相互制約的耦合關系，因此船舶設計是一個多學科、多變量、多約束的復雜工程設計問題。就傳統(tǒng)方法而言，船舶設計過程中對每個專業(yè)的分析單獨進行，設計問題是以串行設計的方法來解決。為了追求整體最優(yōu)，設計者往往需要對整個設計流程進行反復迭代，每進行一次循環(huán)，都要做大量的協(xié)調工作，不可避免地導致設計周期過長的問題。同時，由于割裂了學科間耦合關系，設計的結果往往失去了全局最優(yōu)性，而陷入局部最優(yōu)。

20世紀80年代，多學科設計優(yōu)化(multidisciplinary design optimization，MDO)興起于航空航天領域，以Sobieski和Kroo 為代表的科學家在這方面做了開創(chuàng)性的工作［1－2］。MDO 是一種通過充分探索和利用工程系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機制來設計復雜產品及其子系統(tǒng)的方法論［1］。隨著MDO的發(fā)展，涌現(xiàn)出諸如多學科可行方向法(multidisciplinary feasible method，MDF)、單學科可行方向法(individual discipline feasible，IDF)、并行子空間優(yōu)化算法(concurrent subspace optimization，CSSO)、協(xié)同優(yōu)化算法(collaborate optimization，CO)、兩級集成系統(tǒng)綜合(bi-ievel integrated system synthesis，BLISS)等優(yōu)化框架。其中，Kroo 等［3］提出的協(xié)同優(yōu)化算法由于具有良好的學科自治性和并行處理能力，一直被認為是多學科優(yōu)化中最具前途的優(yōu)化算法。

本文在分析傳統(tǒng)CO 求解多學科設計優(yōu)化問題易出現(xiàn)缺陷原因的同時，提出一種基于模擬退火算法和序列二次算法的混合協(xié)同優(yōu)化，并將其應用于齒輪減速箱和纖維加強型懸臂梁輕量化設計優(yōu)化問題中驗證其有效、實用性。

1 基于混合優(yōu)化策略的協(xié)同優(yōu)化

1.1 協(xié)同優(yōu)化算法的數(shù)學描述及求解流程

CO 是Kroo 等針對單級多學科優(yōu)化方法在解決大型復雜系統(tǒng)工程時出現(xiàn)的低效率和大計算量問題，提出的具有兩級結構的多學科優(yōu)化策略。CO 將優(yōu)化問題分為一個系統(tǒng)級和并行的多個學科級。

系統(tǒng)級的數(shù)學描述形式如下:

CO 算法的學科級數(shù)學描述形式為:

式中:Ji(xi)為學科級的優(yōu)化目標函數(shù);xij為學科級i 的第j 個共享變量;xil為學科級i 的局部設計變量;為系統(tǒng)級傳遞給學科級i 的第j 個共享變量;g(xij，xil)為學科級局部約束條件。

1.2 基于混合優(yōu)化策略的協(xié)同優(yōu)化

雖然CO 在工程應用領域得到了廣泛的應用，但CO 的收斂性并沒有得到嚴格的數(shù)學證明。同時，在實際運用過程中CO 表現(xiàn)出計算方面的困難。NASA 在IDF、MDF 及CO 的收斂性能進行測試與評估的過程中，發(fā)現(xiàn)CO 解決齒輪減速箱、電器封裝、丙烷燃燒等十大測試實例存在計算成本大、對初始點敏感甚至無法收斂等缺陷。究其原因在于CO 獨特的一致性約束表現(xiàn)形式:CO 算法中系統(tǒng)級優(yōu)化的一致性等式約束條件形式是2－范數(shù)形式，其導數(shù)在最優(yōu)解處的Jacobia 矩陣是奇異矩陣將導致系統(tǒng)級Kuhn－Tucker 條件無法滿足，優(yōu)化求解時采用基于梯度的優(yōu)化方法，常出現(xiàn)無法收斂或收斂陷入局部最優(yōu)的尷尬境地。針對這種情況，國內外學者繼承標準CO 兩級優(yōu)化框架的基礎上致力于提高CO 的數(shù)值穩(wěn)定性。研究工作主要包含2 個方面:一是采用近似技術建立系統(tǒng)級約束的代理模型降低計算成本，光滑數(shù)值噪聲［5－6］。如響應面近似模型、徑向基神經網絡模型、Kriging 模型;另一方面是采用罰函數(shù)的方法將系統(tǒng)級有約束問題轉化為無約束優(yōu)化問題，以降低優(yōu)化迭代難度，提高總體收斂效率［7－8］。

隨著計算機技術的飛躍發(fā)展，遺傳算法、模擬退火算法、粒子群算法等現(xiàn)代智能優(yōu)化算法在系統(tǒng)工程、自動化、航空航天、船舶與海洋工程等領域得到了廣泛地應用。若采用具有優(yōu)秀全局搜索能力的智能算法取代系統(tǒng)級中基于梯度的優(yōu)化算法，在一定程度上能保證協(xié)同算法的魯棒性，但應該注意智能算法需要更多的目標函數(shù)和約束函數(shù)的計算次數(shù)，當各學科的分析模型很復雜時，會導致計算成本過大的問題。文獻［9］從理論上證明了在系統(tǒng)級優(yōu)化中，當初始點已在最優(yōu)解附近時，基于梯度的優(yōu)化算法能迅速地收斂到最優(yōu)解。綜合以上分析提出基于混合優(yōu)化策略的協(xié)同優(yōu)化。

SA－SQP－CO 在繼承標準協(xié)同優(yōu)化學科自治和并行設計的基礎上作了以下2 個方面的改進:

1)采用具有全局搜索能力的模擬退火算法和基于梯度的序列二次優(yōu)化的混合策略取代傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化系統(tǒng)級中的基于梯度的優(yōu)化算法。

SA 算法是一種啟發(fā)式的隨機尋優(yōu)算法，它模擬了物理退火過程，從一個給定的初始高溫開始，利用具有概率突跳特性的Metropolis 抽樣策略在解空間中隨機搜索，伴隨溫度的不斷下降重復抽樣過程，最終得到問題的全局最優(yōu)解。SA 具備優(yōu)秀的全局搜索能力，但在求解過程中，當搜索到最優(yōu)解附近解域時，收斂速度迅速降低大大增加了計算成本，此時采用SQP 算法進行替代SA 算法能迅速收斂。

SA－SQP－CO 具體流程如圖2所示。

2 算例分析

2.1 齒輪減速器優(yōu)化問題

齒輪減速器優(yōu)化算例是NASA 評估多學科設計優(yōu)化方法性能的10 個標準算例之一［10］。該設計問題包括7 個設計變量，如圖3所示，其中x1為齒面寬度，x2為齒輪模數(shù)，x3為小齒輪齒數(shù)，x4和x5為軸承間距，x6和x7為軸的直徑。目標是滿足齒輪的彎曲應力和接觸應力以及軸的位移和應力等約束條件下使得減速箱的質量最輕。其優(yōu)化數(shù)學模型表述如下:

其中:

式中:

以上各式中，設計變量取值范圍為:2.6 ≤x1≤3.6，0.7 ≤x2≤0.8，17 ≤x3≤28，7.3 ≤x4，x5≤8.3，2.9 ≤x6≤3.9，5 ≤x7≤5.5(單位:cm)。

按照多學科協(xié)同優(yōu)化設計思想，將齒輪箱優(yōu)化設計問題分解為1 個系統(tǒng)級和3 個學科級，系統(tǒng)級設計變量為z1，z2，z3，學科1 的設計變量為x1，x2，x3，x4，x6;學科2 的設計變量為x1，x2，x3，x5，x7;學科3 的設計變量為x1，x2，x3。

按照CO 算法的思想，對優(yōu)化模型進行改造如下:

1)系統(tǒng)級優(yōu)化模型

式中:

2)子學科1 的優(yōu)化模型

3)子學科2 的優(yōu)化模型

4)子學科3 的優(yōu)化模型

表1 列出了NASA 給出的4 個不同起始點，其中A，B，C 為可行域內的點，D 為可行域外的點。

表1 初始設計點Tab.1 Initial design points

為便于傳統(tǒng)協(xié)同優(yōu)化收斂，采用Alexandrov 提出的松弛因子法，將系統(tǒng)級一致性等式約束，i=1，2，3 作松弛處理為，ε=10－4，i=1，2，3。求解時系統(tǒng)級采用可行方向法，學科級采用序列二次規(guī)劃法，4 個初始點下的優(yōu)化結果如表2所示。

SA－SQP－CO 模擬退火優(yōu)化階段中松弛因子ε1取10－2，序列二次優(yōu)化階段ε2取10－5。4 個初始點下的優(yōu)化結果如表3所示。

表2 傳統(tǒng)CO 優(yōu)化結果［8］Tab.2 The optiminal results of traditional CO

表3 SA－SQP－CO 優(yōu)化結果Tab.3 The optiminal results of SA－SQP－CO

由表2和表3 可看出，在起始點A 處，松弛CO算法無法收斂。SA－SQP－CO 系統(tǒng)經過二階段優(yōu)化迭代其優(yōu)化目標值為2 987.706 kg，略小于文獻［11］給出的參考值2 994 kg，降低了齒輪箱的質量，說明采用SA－SQP－CO 能有效解決協(xié)同優(yōu)化算法收斂性差的缺陷，同時避免了求解陷入局部最優(yōu)的問題。

當起始點選在最優(yōu)解附近C和可行域外D 時，松弛協(xié)同優(yōu)化和SA－SQP－CO 都能收斂至最優(yōu)，但從優(yōu)化結果可以看出SA－SQP－CO 的優(yōu)化解基本一致即魯棒性要優(yōu)于松弛協(xié)同優(yōu)化。圖4 給出了不同初始點下系統(tǒng)級目標函數(shù)迭代過程。

圖4 不同起始點處SA－SQP－CO 系統(tǒng)級迭代歷史Fig.4 System-level iteration history of SA－SQP－CO at different points

3 懸臂梁優(yōu)化問題

其中:

圖5 承受拋物線型載荷的纖維加強懸臂梁Fig.5 Fiber-reinforced composite cantilever beam subject to a parabolic distributed load

表4 參數(shù)意義及取值Tab.4 Values and meanings of the remain variables

按照協(xié)同優(yōu)化框架將此優(yōu)化問題分解為一個系統(tǒng)級和應力、變形2 個學科級優(yōu)化問題。應力學科1 的約束條件為g1，g3，g4，g5，變形學科2 的設計變量為g2，g4，g6。優(yōu)化模型如下:

1)系統(tǒng)級優(yōu)化模型

2)子學科1 的優(yōu)化模型

3)子學科2 的優(yōu)化模型

分別采用CO和SA－SQP－CO 對優(yōu)化問題求解，優(yōu)化結果列于表4 中。從結果可看出，CO和SA－SQP－CO 均能獲得較初始點更優(yōu)的解，但SA－SQP－CO 下降優(yōu)化程度更大，其中CO 較初始質量下降21.11%，SA－SQP－CO 下降38.78%。從最優(yōu)化設計方案處各約束條件的取值來看，SA－SQP－CO 優(yōu)化算法獲得的方案能更大程度的利用材料。

表5 優(yōu)化結果比較Tab.5 Comparison results between CO and SA－SQP－CO

4 結 語

分析了標準協(xié)同優(yōu)化求解多學科問題易出現(xiàn)缺陷原因的同時，提出了一種基于模擬退火算法和序列二次算法的混合協(xié)同優(yōu)化。齒輪減速箱優(yōu)化和纖維加強型懸臂梁輕量化問題表明SA－SQP－CO 相對于標準協(xié)同優(yōu)化算法主要有如下優(yōu)點:

1)采用模擬退火算法來優(yōu)化系統(tǒng)級，避免了基于梯度的優(yōu)化算法對數(shù)學模型表達形式的挑剔，當模擬退火算法搜索到最優(yōu)解域附近時采用序列二次算法大大加快系統(tǒng)級收斂速度。同時，模擬退火算法和序列二次算法混合策略顯著提高了優(yōu)化解的全局最優(yōu)性;

2)在二階段優(yōu)化過程中采用動態(tài)松弛因子，提高了收斂效率。

在艦船多學科優(yōu)化運用中，各學科分析可以引入各類先進的數(shù)值仿真軟件。如快速性學科的Fluent，Shipflow 等，操縱性學科的Shipma，Napa 等替代經驗公式來提高設計精度。

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